数学概念教学的“问题串”设计

1 “问题串”设计及数学概念的有效生成 【摘要】 数学概念是中学数学学科知识的主要组成部分，对概念的理解和运 用是数学教学过程的核心问题。因此，研究数学概念的有效生成是课 堂教学中最有价值的课题之一。本文以教师课堂教学评比的案例为素 材，以学生的认知规律为出发点，探讨了数学概念教学的“问题串” 设计策略，使得数学概念得以有效生成。 【关键词】 “问题串”设计 数学概念生成 在一次高中数学青年教师教学评比中，比赛的形式是说课的一种说教学 片段，内容为普通高中课程标准实验教科书数学必修1.3.1 单调性概念。笔者有幸亲 历了整个比赛过程， 下面结合其中两个具有新意的设计， 谈一谈数学课堂的 “问题 串”设计及数学概念的有效生成。 1 两个教学片段设计的再现 函数单调性是研究函数概念基础上学习的第一个性质，是后面学习反函数、 不等式、导数等内容的基础，又是培养逻辑推理能力的重要素材。新课程对于函 数单调性概念的引出与老教材没什么大的区别，但是新课程引出函数单调性定义 的思路更加清晰， 是一个由形到数、 由直观到抽象的过程， 这就需要我们通过 “问 题串”的设计使函数单调性的概念得以生成。 【设计 1】流程图： 由生活实例生成图象， 函数图象列表研究 （一般到特殊） 特殊两点的比较 （特殊到一般） 任意两点函数值的比较 增函数的概念 “问题串”设计： 问题 1：观察函数 y=x 图象，请问从左向右看呈何变化趋势？ 问题 2：观察并填写下表，说明函数值随自变量从小到大有何变化？ 2 x -2 -1 0 1 2 y=2x 问题 3： 由上表规律可知，对任意两个自变量 x1x2, 是否都有其函数值y1y2？ 设计的理论依据：该设计从形式上看它是由一般到特殊、进而回归一般，由 常量到变量、离散到连续、静止到运动的过程，符合学生的认知规律。通过学生 熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离， 激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性。从知识的构建上渗透了变化 的思想，通过实例研究特殊情况来理解一般问题，缩短心理距离， 降低理解难度， 有利于概念的动态生成。最终形成了函数单调性定义的理性认识。这个设计思路 充分说明了物质是变化的，变化是有规律的，通过学习教会学生用变化的观点看 世界，树立与时俱进的思想意识。 【设计 2】流程图： 由生活实例生成图象 函数图象 点的高低 函数值大小比较 增函数的概念 “问题串”设计： 问题 1：函数 y=x 图象从左向右看呈何趋势？ 问题 2：图象是由什么构成的？ 问题 3：左边的点比右边的点高， 在直角坐标系中可以用什么量来描述点的高 低？ 问题 4：用什么量来描述直角坐标系中两点的左右位置？ 设计的理论依据：该设计从形式上看它是由宏观到微观、进而再回到宏观， 从知识的构建上看是由直观的函数变化趋势的感性认识（来自于生活中的图象） 到对构成图象的基本元素（点）性态研究，让学生对函数单调性产生感性认识， 为引出单调性的概念打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了函数单调性的 本质，最终形成了函数单调性概念的理性认识。 2 反思两个教学片断设计后的再设计 函数单调性的概念教学，学生最大的困难就是难以弄清函数图象的升降这种 定性的表述，与函数值的大小比较这种定量的刻画之间的联系，笔者认为按照以 3 下的教学设计进行教学，可以更好地解决这一问题。 【设计 3】流程图： 由生活实例生成图象， 函数图象 （一般到特殊） 两端点的比较 （特殊到一般） 无数个点的比较 任意两点函数值的比较 增函数的概念 “问题串”设计： 问题 1：给出某地一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图，怎样 描述气温随时间增大的变化情况？ 设计意图：让学生观察由实例生成的图象，体现数学源于生活、服务于生活 的宗旨。 问题 2：函数 y=x，y=x 2 图象从左向右看呈何趋势？ 设计意图：引导学生观察xy， 2 xy图象的特征（可启发学生观察图象 的升降情况） , 在学生得出两个函数的图象都具有特征： “在某些区间上升，某些 区间下降”后，给出单调函数的“直观性定义”：在区间I上，若函数的图象（从 左至右看）总是上升的，则称函数在区间I 上是增函数，区间I 称为函数的增区 间；在区间I上，若函数的图象 （从左至右看） 总是下降的， 则称函数在区间 I上 是减函数，区间 I 称为函数的减区间。 问题 3：对具体两个值ab，若有 f(a)f(b)，能否得出函数在区间 a,b上 y 随 自变量 x增大而增大呢？ 设计意图：将一般问题特殊化，降低思维难度，使学生更容易接受。 问题 4：若在区间 a,b上存在无数个值 x1x2x3,xn, 有 f(x1) f(x2) f(x3) , f(xn)，能否得出函数在区间 a,b上 y 随自变量 x 增大而增大呢？ (举反例 ) 设计意图：将一般问题特殊化之后, 进一步将特殊问题一般化这是教学的一个 难点，上面的问题很好地解决了这一难点。 问题 5：那么 f(x1)， f(x2)与 x1，x2之间要存在什么关系？才能得出函数在区间 a,b上 y 随自变量 x 增大而增大呢？（ “迫使”学生说出“任意”两字。 ） 设计意图：在以上的过程中，学生自己获得“自变量x 增大，则函数值 y 也增 4 大（减少） ”这一数量变化规律后，完成了单调函数的概念用图形语言表述的“直 观性定义”到用数字语言表述的“描述性定义”的过渡，但离单调函数的定义还 有距离， 主要是连续的一批数量的变化关系怎样转化为任意两量的大小定性关系。 在经历了上述活动后，学生获得了函数是增函数的“ 多元联系表示 ” ： )(xf 在 区间 I 上是增函数在区间 I 上 )(xf 的图象是上升的在区间 I 自变量大函数 值亦大在区间 I 上，当 21 xx时，)()( 21 xfxf，这个时候给出增函数的定义 就有一种 “ 水到渠成 ” 的效果了。 问题 6：怎样的函数是减函数？ 设计意图：鼓励学生在理解增函数概念的基础上能用类比的思想自己给出减函 数的概念。 3 单调性概念教学片段设计后的启示 问题是数学的心脏。根据维果茨基的理论：数学教学的有效就在于围绕学生 “最近发展区”设计出一系列小问题，即“问题串”，就好像是促使学生能力提升 的一级级阶梯。它们不仅仅节约了宝贵的课堂时间，还能使学生向各自的高一级 水平发展、 推动或加速学生内部的发展过程。 因此，通过以上“问题串”的设计，学生对函数单调性概念的认识，从直观 到抽象，从理解到应用，由应用又回归到定义，层层相扣，达到了预期的教学效 果。 概念是思维的“细胞”，各种能力 , 如运算、逻辑思维、空间想象能力, 以至于 创新能力等 , 无一不以清晰的概念为基础。 这些能力的强弱与相应概念的理解深度 紧密相连 , 并且能力的发展受相应的概念理解的深度制约。只有着力抓好数学概念 的教学 , 才能使学生全面、正确、深刻的理解概念, 才能提高数学教学质量。要搞 好数学概念教学工作 , 就应根据不同的概念 , 采取灵活多样的教学方法。 对于数学概念的教学，传统的教学方法多以讲授式，方式比较单一。“面向全 体学生”是新课程设计理念之一 , 在数学课堂教学中有计划、 有目的地运用 “问题 串”的形式进行概念教学是贯彻实施面向全体学生课程理念的有效手段。学生是 素质教育的主体，学生对事物的认识是一个由浅入深、循序渐进的过程。在数学 概念教学中，合理地进行“问题串”设计，在数学教学中对一个特定的情境或特 定的学习主题用一连串的问题, 如三个或四个小问题提出来降低思维的难度，逐步 地分解难点，以满足不同层次学生学习需要，能使学生全面地了解，深刻地理解 概念，并能在解题中灵活运用。 4 有效进行数学概念教学的“问题串”设计的反思 根据数学教育心理学，一般来说，学生对数学概念的认识经历感知、理解、 保持和应用四种心理过程。而皮亚杰的同化、顺应理论认为：概念的掌握过程无 非是经历了一个同化与顺应的过程。所谓同化，就是把新概念、新知识接纳入到 5 一个已知的认知结构中去； 所谓顺应，就是当原有的认知结构不能纳入新概念时， 必须改变已有的认知结构，以适应新概念。因此，在新课程背景下的数学概念教 学，概念生成的有效性应该是提高高中数学课堂效率的关键。而数学概念教学的 “问题串”设计，刚好和学生对概念的认知过程相吻合。笔者认为，运用“问题 串”的形式进行数学概念教学，有以下的几点优势： 4.1 对数学概念进行“问题串”设计，符合学生的认知规律。 数学的学习过程，实质上是数学认知结构的发展变化的过程，如果教学的难 点起点太高、思维跨度大，会使得一些学生因认知结构不能适应而产生困难，不 利于他们的新认知结构的形成，对数学概念进行“问题串”设计，符合学生的认 知规律，同时也使得我们的教学更具有针对性，教学效果自然也就会更好。 4.2 对数学概念进行“问题串”设计，有利于学生全面、深刻地理解概念的内涵 和外延。 每个数学概念都包含着丰富的内涵和外延，大部分的学生对其理解往往只停 留在表面上而没有去深挖它的内涵，通过“问题串”设计，我们可以让学生觉得 比较枯燥的概念教学生动形象化，由浅入深、循序渐进，使学生全面深刻地理解 其内涵和外延。 4.3 对数学概念进行“问题串”设计，有利于学生把握重点，突破难点。 由于高中数学概念的抽象性，学生很难把握其重点和难点，而通过“问题串” 设计，可以引导学生层层分析，逐步理解概念，从而抓住其重点，突破其难点。 4.4 对数学概念进行“问题串”设计，就是教给了学生研究问题的科学方法。 教师对数学概念的“问题串”设计，不仅是对学生思维认识的一种引导，也 在潜移默化之中对学生进行了方法论的训练，为学生将来进行研究提供了一个一 般的科学方法的启蒙。 总之，我们在进行数学概念教学时，应认真、透彻地分析教材，根据其内容 和学生的理解能力，适当地进行“问题串”设计，合理地引