数学分析课后习题答案20.2

1. 计算第二型曲线积分: (1) L ydxxdy,其中 L 为本节例 2 中的三种情况; (2) + L dydxya)2(,其中 L 为摆线)20)(cos1 (),sin(=ttayttax沿 t 增加 方向的一段; (3) + + L yx ydyxdx 22 ,其中 L 为圆周 222 ayx=+,依逆时针方向; (4) + L xdyydxsin,其中 L 为)0(sin=xxy与x轴所围的闭曲线,依顺时针方向; (5) + L zdzydyxdx,其中 L:为) 1 , 1 , 1 (到)4 , 3 , 2(的直线段. 解 (1)若积分沿抛物线 2 2:xyOB=,则.4xdsdy =从而 = 1 0 1 0 222 . 3 2 2)24(dxxdxxxydxxdy OB 若积分沿直线,2:xyOB=则.2dxdy =从而 . 0)22( 1 0 =dxxxydxxdy OB 若积分沿折线)20( 1:),10(0:,=yxABxyOAOAB,则 . 2 0 2 0 1 0 =+=+= dydxydxxdyydxxdyydxxdy ABOAL (2)因,sin,)cos1 (tdtadydttadx=从而 . 0 2 cos 2 2cos1 )sinsin( sin)cos1 ()cos2( )2( 2 2 0 2 2 0 22 2 0 a tadt t a dttata dttatataaa dydxya L = = += += + (3)L 的参数方程为 ).20( ,sin,cos=ttaytax 从而 . 0 2sin cossincossin 2 0 2 0 2 22 22 = + = + + tdt dt a ttatta yx ydyxdx L (4) . 2 sinsinsin )0sin0()cossin(sin )sin)(sin 0 0 0 0 = += += +=+ xxdxdx dxxdxxxx xdyydxxdyydx AOOAL (5).直线的参数方程是: ).10(31,1,1+=+=+=ttztytx 从而 .13 )146( )31 (3)21 (2)1 ( 1 0 1 0 = += += + dtt dtttt zdzydyxdx L 2. 设质点受力作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成反比.若质点由) 0 , (a 沿椭圆移动到), 0(b,求所作的功. 解 椭圆的参数方程为: ) 2 0(sin,cos =byax )0)(,( ),( 2222 22 = + + += kkykx yx y yx x yxkF 则 ).( 2 sinsin)( cossin)sin(cos )( 22 2 0 22 2 0 2 ba k ttdbak dtttbtatak ydyxdxkQdyPdxW LL = = += +=+= 3. 设一质点受力作用,力的方向指向原点,大小与质点到 xy 平面的距离成反比.若质点沿直 线)0(,=cctzbtyatx从)2 ,2 ,2(cbaN,求力所作的功. 解 z k F =,因为力的方向指向原点,故其方向余弦为: r z r y r x a = = =cos,cos,cos, 其中. 222 zyxr+= 力的三个分力为 ., r z z k R r y z k Q r x z k P= 从而 . 2 ln 2ln 1 )( 222 222 2 1 222 2 1222 222 cba c k cba c k dt t cba c k dt tcbact cbak dz r k dy rz ky dx rz kx W L + = += += + + = += 4. 证明曲线积分的估计公式: LMQdyPdx AB + , 其中 L 为 AB 的弧长,.max 22 ),( QPM AByx += 利用上述不等式估计积分 , )( 22 222 =+ + = Ryx R yxyx xdxydx I 并证明 . 0 lim= R R I 证 (1)因为 + ABAB ds ds dy Q ds dx PQdyPdx)( 且 ),()()()( 222222 QP ds dy ds dx QP ds dy Q ds dx P+= + 从而 =+ + ABAB ABAB LMMdsdsQP ds ds dy Q ds dx PQdyPdx . )( 22 (2)因, 4 )( max 3422 22 222 Ryxyx yx Ryx = + + =+ 所以由(1)知 . 84 2 )( 23222 222 RR R yxyx xdyydx Ryx = + =+ 由于)(0 8 2 +R R IR ,故 . 0 lim= R R I 5. 计算沿空间曲线的第二型曲线积分: (1) L xyzdz,其中1: 222 =+zyxL与zy =相交的圆,其方向按曲线依次经过 1,2,7,8 卦限; (2)dzyxdyxzdxxy L )()()( 222222 + ,其中 L 为球面1 222 =+zyx在第一 卦限部分的边界曲线,其方向按曲线依次经过 xy 平面部分,yz 平面部分和 zx 的平面部分. 解 (1)曲线的参数方程为),20(sin 2 2 ,sin 2 2 ,cos=zyx当 从 0 增加到2时,点),(zyx依次经过 1,2,7,8 卦限,于是 . 16 2 cossin 4 2 2 2 0 2 = dxyzdz L (2)设 )( )()()( 321 222222 RdzQdyPdx dzyxdyxzdxxyI LLL L += += 其中 ), 2 0( 0 sin cos : 1 = = = z y x L ), 2 0( sin cos 0 : 2 = = = z y x L ), 2 0( cos 0 sin : 3 = = = z y x L . 3 4 )cos(sin )()