正项级数敛散性判别法习题课VIP

正项级数敛散性判别法正项级数敛散性判别法: 习题课讲义习题课讲义 理学院 何泽荣 正项级数在无穷级数的研究中具有根本重要性, 它是一般数项级数和 函数项级数的基础和出发点. 因此, 有必要深刻理解、熟练掌握和灵活运用正项级数的审敛 方法。 0, 1 = n n n aa 1. 教材要求掌握的判别法及其相互关系 约定：在下图中，符号表示“等价” ，AB 表示由 A 可以导出 B。 收敛 1. 部分和有上界 2. 比较判别法 3. 比较法的极限形式 n a n S 5. 达朗贝尔比值法 4. 柯西根值法 6. 极限审敛法 2. 对具体应用的一些评注 （1） 方法 1 的重要性在理论方面，它是所有后续判别法的逻辑基础。但是，这一方 法很少直接用于判断一个给定级数的敛散性，主要是因为有界性在许多 情况下难以确定。以下举两例加以说明。 n S 例 1. 试用方法 1 判断 =1 1 n n 的敛散性。 解. 当时，下列不等式成立： 2n 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 =+ +nnnn nL。 从而 2 1 8 1 7 1 6 1 5 1 2 1 4 1 3 1 ,+， 2 1 16 1 10 1 9 1 +L， ., 2 1 2 1 22 1 12 1 11 LL+ + + + kkk 这样， 2 1 2 kS k ，从而 不存在有限上界。故级数 n S =1 1 n n 发散。 例 2. 试用方法 1 判断 =1 1 n p n 的敛散性（21, 0, 0 LL+ nnnn babababaaba 1222 1 此时由于 = + 为偶， 为奇 nb na a a n n , , 1 当 和 中既有大于 1 的数又有小于 1 的数时，达朗贝尔判别法不适用。但由于 ab aba n n n = lim，由柯西判别法知：当 1 + r a a n n n ， 则级数收敛； 若存在 ， 当 时，则级数发散。 NNn 1 n R 例 4 判定级数 = + 1 )() 1( ! n nxx n L 的敛散性，其中 为常数。 0x 解. 由于 1lim 1 = + n n n a a ，达朗贝尔判别法不适用。但由 x n n Rn 1+ = 知 。从 而当 时级数发散；当 时级数收敛；当 xRn n = lim 1x1=x 时，原级数为缺第一项的调和 级数，因此发散。 3. 另一常用判别法：柯西积分判别法 定理定理. 令 ， 这里 为连续的减函数， 则级数 与无穷积分 有 相同的敛散性。 n anf=)(f = 0 nn n a 0 )( n dxxf 例5. 讨论级数 =2 )(ln 1 n p nn 的敛散性，。 0p 解. 此时 p xx xf )(ln 1 )(=，显然 在 )(xf), 2+ 上为减函数且连续。 当 时， 1=p + += + = 2 2 lnln)(xdxxf，原级数发散； 当 时， 1p = + . 1, , 1, 1 )2(ln )( 1 2 p p pdxxf p 故当 时原级数收敛；1p10L+= 432 24 1 6 1 2 1 1ttttet 知 4 24 1 tet。 从而 3 4 24 3 n e n =p 的 p 级数，因此 收敛，从而原级数收敛。 解法解法 2. 试用达朗贝尔判别法。 由于 0 ) 1() 1( 1 lim1lim 3 2 3 32 33 = + =+ nnnn nn nn ，因此 1limlim 33 11 = + + nn n n n n e a a 。用比值法得不到任何结论。再考虑应用拉阿比判别法。 由于 )1( 1 1 ) 1() 1( 33 33 1 1 1 33 33 nnn nn n a a n e e nn nn n n + + = =+ =+ + ，注意到