高一年级数学竞赛试题

本资料来源于七彩教育网高一年级数学竞赛试题考试时间120分钟 分值150分一、选择题（每题5分，共30分）1非空集合S且若则必有，则所有满足上述条件的集合S共有（ ）A6个 B7个 C8个 D9个2当时，则下列大小关系正确的是（ ） A B C D3有三个命题：（1）空间四边形ABCD中，若AC=BC，AD=BD，则ABCD（2）过平面的一条斜线存在一个平面与垂直（3）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直其中正确的命题个数（ ）0 1 2 34如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳到另一点若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点该蛙从5这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是5若是上的奇函数，则是（ ）奇函数 偶函数 非奇非偶函数 奇偶性与相关6对于每一个实数，设三个函数中的最小值，则的最大值是（ ） 3 7若有样本容量为8的样本平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据为4，现在样本容量为9，则样本平均数和方差分别为（ ） 8已知定义域为R上的函数单调递增，如果且则的值（）可能为 恒大于 恒小于 可正可负二、填空题（每题5分，共30分）9已知是定义在R上的函数，且对任意的，有成立若 10已知是定义在（）上的偶函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围 11在空间直角坐标系中，已知点A的坐标是（1，11），点B的坐标是（4，2，3），点C的坐标是（6，4），则三角形ABC的面积是 12若实数满足条件， 则代数式的取值范围是 13已知函数，那么+= 14用S（）表示自然数n的数字和，例如：S（10）=1+0=1，S（909）=9+0+9=18，若对于任何，都有，满足这个条件的最大的两位数的值是 三、解答题(本题共80分)15（本小题12分）已知向量，其中.（1）求证：；（2）设函数，求的最大值和最小值 16（本小题12分）已知，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围17（本小题14分）已知圆点，过点作圆的切线为切点（1）求所在直线的方程；（2）求切线长；（3）求直线的方程18（本小题14分）右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知（1）设点是的中点，证明：平面；（2）证明：BCAC，并求二面角的大小；（3）求此几何体的体积19（本小题14分）已知一次函数与二次函数，满足，且（1）求证：函数的图象有两个不同的交点A,B；（2）设A1,B1是A,B两点在x轴上的射影,求线段A1B1长的取值范围；（3）求证：当时,恒成立.20（本小题14分）设为自然数，已知，求参考答案一、选择题：（每小题5分，共40分）题号12345678答案BCDABADC二、填空题：（每小题5分，共30分）9、 10、 11、 12、 13、 4015 14、三、解答题：（共80分）15已知向量，其中.（1）求证：；（2）设函数，求的最大值和最小值 解：（1）所以，（2）当 16（本小题12分）已知，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围解：，2分令，由题意知：当时，恒有，5分当时，不满足题意7分当时，有，解得：或12分17（本小题14分）已知圆点，过点作圆的切线为切点（1）求所在直线的方程；（2）求切线长；（3）求直线的方程解：设切线的斜率为， 切线方程为，即又C（1，2），半经由点到直线的距离公式得：，解之得：或故所求切线PA、PB的方程分别为：4分连结AC、PC，则 ACPA，在三角形APC中 8分解法1：设，则因ACAP，所以， 10分上式化简为： 同理可得： 12分因为A、B两点的坐标都满足方程所以直线AB的方程为 14分解法2：因为A、B两点在以CP为直经的圆上CP的中点坐标为（），又所以以CP为直经的圆的方程为：，又圆C的一般方程为，两式相减得直线AB的直线方程： 14分18（本小题14分）右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知（1）设点O是AB的中点，证明：OC平面A1B1C1；（2）证明BCAC，求二面角BACA1的大小；（3）求此几何体的体积解：（1）证明：作交于，连则因为是的中点，所以则是平行四边形，因此有平面且平面，则面4分（2）如图，过B作截面面，分别交，于，作于，连因为面，所以，则平面又因为，所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角因为，所以，故，即：所求二面角的大小为 9分（3）因为，所以所求几何体体积为 14分19（本小题14分）已知一次函数与二次函数，满足，且（1）求证：函数的图象有两个不同的交点A,B；（2）设A1,B1是A,B两点在x轴上的射影,求线段A1B1长的取值范围；（3）求证：当时,恒成立. 解：（1）由，2分则 4分函数的图象有两个不同的交点A,B； -5分 （2）由，则：， 7分又因为， 9分 （3）设的两根为满足，则， 10分又的对称轴为：于是，由此得：当时， 12分又上为单调递减函数，于是，即当恒成立 14分20（本小题14分）设为自然数，已知，求解：