流体力学,丁祖荣,上册,课后习题解析

流体力学流体力学 B 篇题解篇题解 B1 题解题解 BP1.1.1 根据阿佛迦德罗定律，在标准状态下（T = 273K，p = 1.01310 5 Pa）一摩尔 空气（28.96）含有 6.02210 23 个分子。在地球表面上 70 km 高空测量得空气密度为 8.75 10 -5 /m 3。 试估算此处 10 3m3 体积的空气中，含多少分子数 n (一般认为 n 10 6 时， 连续介质假设不再成立) 答： n = 1.8210 3 提示：计算每个空气分子的质量和 103m3体积空气的质量 解： 每个空气分子的质量为 g1081. 4 10022. 6 g96.28 23 23 m 设 70 km 处 103m3体积空气的质量为 M g1075. 8)m1010)(kg/m1075. 8( 20318335 M 3 23 20 1082. 1 g1081. 4 g1075. 8 m M n 说明在离地面 70 km 高空的稀薄大气中连续介质假设不再成立。 BP1.3.1 两无限大平行平板，保持两板的间距= 0.2 mm。板间充满锭子油，粘度为= 0.01Pas，密度为= 800 kg / m 3。若下板固定，上板以 u = 0.5 m / s 的速度滑移，设油 内沿板垂直方向 y 的速度 u (y)为线性分布，试求： (1) 锭子油运动的粘度； (2) 上下板的粘性切应力1、2 。 答： = 1.2510 5 m2/s, 1=2 = 25N/m2。 提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。 解：(1 ) /sm1025. 1 kg/m800 /smkg0.01 25- 3 （2）沿垂直方向（y 轴）速度梯度保持常数， / 21 u dy du = (0.01Ns / m2)(0.5m/s)/(0.210 -3m)=25N/m2 BP1.3.2 20的水在两固定的平行平板间作定常层流流动。设y轴垂直板面，原点在下板 上，速度分布u ( y )为 )( 6 2 3 yby b Q u 式中 b 为两板间距，Q 为单位宽度上的流量。若设 b = 4mm，m/sm33. 0 3 Q。试 求两板上的切应力。w 答： 23N/m 10124. 0 提示：用牛顿粘性定侓求解，两板的切应力相等。 解：由对称性上下板的切应力相等 2 0 2 0 6 )2( 6 d d b Q yb b Q y u y y 查表 =1.00210 3Pas,两板上切应力相等 23 23 2-33 N/m10124. 0 m)104( )Ns/m10/sm)(1.002m33. 0(6 BP1.3.3 牛顿液体在重力作用下， 沿斜平壁 (倾斜角)作定常层流流动， 速度分布u (y) 为 )2( 2 sin 2 yhy g u 式中为液体的运动粘度，h 为液层厚度。试求 (1). 当 0 30时的速度分布及斜壁切应力 1w ； (2). 当 = 90时的速度分布及斜壁切应力 2w ； (3). 自由液面上的切应力 0 。 答：gh w 2 1 1 ； gh w 2 ； 0 = 0 。 提示：用牛顿粘性定侓求解。 解： （1）= 30时，u = g (2 h y- y 2 ) / 4 ghyhg dy du y y w 2 1 )( 2 1 0 0 1 (2)= 90时，u = g (2 h y- y 2 ) / 2 ghy-hg dy du y y 2w 0 0 )( (3) 0)(sin h 0 hy y y-hg dy du BP1.3.4 一平板重mg = 9.81N，面积A = 2 m 2，板下涂满油，沿= 45的斜壁滑下，油 膜厚度h = 0.5 mm 。若下滑速度U =1m/s, 试求油的粘度 。 答：sPa10734. 1 3 提示：油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡，油膜切应力用牛顿粘性定 律求解，速度梯度取平均值。 解：平板受力如图 BP1.3.4 所示，油膜切应力之合力与重力在运动方向的分量平衡 A h U Amgsin sPa101.734 )(1m/s)(2m in45m)(9.81N)s10(0.5sin 3 2 3 UA hmg BP1.3.5 一根直径d =10 mm，长度l =3 cm 的圆柱形轴芯, 装在固定的轴套内，间隙为 = 0.1mm,间隙内充满粘度= 1.5 Pas 的润滑油,为使轴芯运动速度分别为 V= 5cm/s, 5 m/s,50 m/s 轴向推动力 F 分别应为多大。 答：F1= 0.705N, F2 = 70.5N, F3= 705N 。 提示：用牛顿粘性定侓求解，速度梯度取平均值。 解：F =A， V ，A=d l )Ns/m14.1 m100.1 )m)(0.03m(0.01)s/m(1.5N 3- 2 V(V dlV F 当 V1= 510 2 m/s 时，F1= 0.705 N V2=5 m/s 时， F2=70.5N V3=50m/s 时， F3=705N BP1.3.6 一圆柱形机轴在固定的轴承中匀速转动。轴径d = 20 cm, 轴承宽b = 20cm,润滑 油粘度=0.2Pas,轴承转速为n=150r/min。设间隙分别为=0.8 mm,0.08mm,0.008mm 时,求所需转动功率W 。 答:W7740,W774,W4 .77 321 WWW 。 提示：轴承面上的切应力用牛顿粘性定侓求解，所需功率为MW , M 为轴承面 上粘性力对轴心的合力矩， 为角速度。 解:轴承面上的切应力为 2 d dr du 式中15.7rad/s/(60s/min)(150r/min)260/2n 轴承面上的合力矩为 42 1 22 3 2 bd bd d db d AM 所需要的功率为 ) s mN ( 1 062. 0 1 4 2m)(0.2m)(0./s)s)(15.7rad(0.2Pa 4 2 3232 bd MW 当= 0.8 mm 时, 1 W = 77.5 W = 0.08 mm 时, 2 W =775 W = 0.008 mm 时, 3 W = 7750 W BP1.3.7 旋转圆筒粘度计由同轴的内外筒组成，两筒的间隙内充满被测流体，内筒静止， 外筒作匀速旋转。设内筒直径d = 30 cm；高h = 30 cm，两筒的间隙为= 0.2 cm，外筒 的角速度为=15rad/s，测出作用在内筒上的力矩为M = 8.5 N-m, 忽略筒底部的阻力，求 被测流体的粘度 答：=0.176 Pas 提示：M 为轴承面上粘性力对轴心的合力矩，粘性力用牛顿粘性定侓计算,速度梯度 用平均值。 解：作用在内筒上的力 F = M / 0.5 d2M/d 外筒的线速度为 )5 . 0(dV 由牛顿粘性定律 dM dh dh V AF/2 )5 . 0( sPa0.176 )m0.002m)(0.15m(0.3)m(0.3)ad/sr(15 )m10)(0.2mN2(8.5 )50( 2 2 2- 2 d.hd M BP1.4.1 用量筒量得 500ml 的液体，称得液体的重量为 8N，试计算该液体的(1)密度； (2) 重度g；(3) 比重SG。 答： 3 kg/m1631, 3 kN/m16g, SG =1.63. 解： (1) 3 36- 2 kg/m1631 m10500 )m/s)/(9.81(8 Nm (2） 332323 kN/m16m/ )kgm/s1016()m/s81. 9)(kg/m1631(g (3) SG = (1631 kg/m3) / (1000 kg/m3) = 1.63 BP1.4.2 已知水的体积弹性模量为K =210 9 Pa，若温度保持不变，应加多大的压强p 才能使其体积压缩 5% 。 答：p =10 8 Pa 提示：按体积弹性模量的定义计算。 解：由体积弹性模量的定义 /d dp K 式中为体积。与体积变化相应的压强变化为 Pa100.05)Pa)(102( d 89 Kp BP1.4.3 压力油箱压强读数为 310 5 Pa， 打开阀门放出油量 24kg， 压强读数降至 1105 Pa， 设油的体积弹性模量为K=1.310 9 Pa，密度为= 900 kg/m3，求油箱内油原来的体积。 答：=173.55 m3 提示：按体积弹性模量的定义计算。 BP1.4.4 将体积为1的空气从 0加热至 100，绝对压强从 100kPa 增加至 500kPa，试 求空气体积变化量。 答： 1 727. 0 提示：用完全气体状态方程求解。 解：设空气为完全气体，满足状态方程，从状态 1 到状态 2 2 22 1 11 T p T p 11 2 1 1 2 12 273. 0 500 100 273 100273 p p T T 1112 727. 0) 1273. 0()( BP1.4.5 玻璃毛细管的内径为 d=1mm，试计算C10的水在空气中因毛细效应升高的最大值 h。 答：h0.03m 解：查 m msmmkg mN dg h mN 03. 0 10 1 )/81. 9)(/10( )/0742. 0(414 ,/0742. 0 3233 2 2 BP1.4.6 两块互相平行的垂直玻璃平板组成间距 b=1mm 的狭缝，试求C10的水在空气中因 毛细效应升高的值h，并于 BP1.4.5 作比较。 答：h0.015m 图图 BE1.4.2 解：参图 BE1.4.2，计算单位宽度的缝隙中水体的力平衡 hbgcos2 m msmkggb h015. 0 )10)(/9810( 0742. 02cos2 ,0 322 讨论：升高值只有毛细管的一半。 BP1.4.7 C20空气中有一直径为 d1mm 的小水滴， 试用拉普拉斯公式计算内外压强差p。 答：p291.2Pa 解：Pa m mN R p2 .291 105 . 0 )/0728. 0(22 3 2 B2 题解题解 BP2.2.1 已知速度场为 u = 2y (m/s), v = 1 (m/s)，试求通过图 BP2.2.1 中阴影面积（1） （右侧面）和（2） （上侧面）的体积流量 Q1 和 Q 2 。 答：Q 1 =2 m3/s，Q 2 = 6 m3/s 解：由体积流量公式（B2.2.3）式 A AQd)(nv 对面积（1）n = i dA = 2dy /sm22d4d2)(2 3 1 0 1 0 2 1 0 yyyyyQiji 对面积（2）jin s x s y d d d d ， dA=2ds (s 沿 AB线) AA xyyx)yy(s s x s y yQ 1 0 2 0 d2d4dd22d)2 d d d d )(2jiji =/sm622 3 2 0 1 0 2 xy BP2.2.2 不 可 压 缩 粘 性 流 体 在 圆 管 中 作 定 常 流 动 ， 圆 管 截 面 上 的 速 度 分 布 为 )/1 (10 22 Rru cm/s，圆管半径 R=2cm，试求截面上的体积流量 Q，平均速 度 V 和最大速度 m u。 答：Q =20cm3/s，V=5 cm/s，um= 10 cm/s 解： A RR 0 rdr R r rdrudAQ 0 2 2 )-(1202)(nv cm/s102 cm/s5 cm4 /scm20 /scm201)-(220) 4 1 - 2 1 (20 ) 4 1 2 1 (20)(20 2 3 2 322 0 4 2 2 0 2 3 Vu R Q A Q V RR r R rdr R r r m R R BP2.2.3 已知圆管定常流动中截面上的速度分布为 n Rruu)/1 ( m (n -1,-2) 式中 um为圆管轴线上的最大速度，R 为圆管半径。 （1）试验证截面上的平均速度 为)2)(1/(2 m nnuV； （2）取 n= 1/7，求 V。 答：V = 0.8167 um 解： （1）rr R r R u rr R r R u Au RA Q V n R n R d)1 ( 2 d2)1 (d 1 0 2 m 0 2 m 2 （a） 由积分公式 )2)(1( )1 ( )2)(1( )d(1)1 ( 1 d)1 ()1 ( 1 )1 (d 1 d)1 ( 2 0 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 nn R R r nn R R r R r n R r R r R r r n R R r r n R rr R r R R n R n R n R n R n 代入(a)式 )2)(1( 2 )2)(1( 2 m 2 2 m nn u nn R R u V 当 n1/7 时 m m 8167. 0 )2 7 1 )(1 7 1 ( 2 u u V BP2.2.4 在习题 BP2.2.3 的速度分布式中取 n = 1 / 10， 计算动能修正系数， 并与例 B2.2.2 中 n = 1/7 的结果作比较。 答：=1.031 解：由 BP2.2.3 m uV m u m u 0 . 8 6 5 8 2111 10102 2) 10 1 1)( 10 1 ( 2 或 um / V= 1.155。由例 B2.2.2 动能修正系数定义为 1.031 2313 101021.155 )2 10 3 )(1 10 3 ( 15 . 1 2 15 . 1 2 22 3 2 2 3 0 10/3 2 3 R 00 3 10/1 2 3 2 d)1 ( d)1 ( R d)( R R r R r R rr R r V u rr V u R R R m 计算表明，与 1/7 指数分布相比，1/10 指数分布的速度廓线更加饱满，动能修 正系数更接近于 1。 BP2.3.1 设平面流动的速度分布为 u = x2, v = -2 xy, 试求分别通过点（2, 0.5） ， （2, 2.5） ， （2, 5）的流线，并画出第一象限的流线图。 答： 2 x yC 解：流线方程为 x dx y dy xy dy x dx 2, 2 2 积分可得 ln y = - 2 ln x + ln C1, y = C x 2 或 x 2 y = C 通过（2，0.5）时 C = 2 流线为2 2 yx (2，2.5 ) C= 10 10 2 yx (2，5） C= 20 20 2 yx BP2.3.2 设平面不定常流动的速度分布为 u = x + t，v = - y + t，在 t = 0 时刻流体质点 A 位 于点(1,1)。试求（1）质点 A 的迹线方程， （2）t=0 时刻过点（1, 1）的流线方程并 与迹线作比较。 答：1 )2( ; 1212 ) 1 ( xyteytex tt ， 解： （1）由, 1, d d 1 teCxtx t x t t = 0 时 x = 1, C 1 = 2 由1)()d(, d d 222 teCCeteectteeyty t y tttttt t = 0 时 y = 1, C2 = 2, 迹线方程为 x = 2et - t 1, y = 2 e t + t 1 (2 ) 由 ty y tx x dd ， （x + t）(- y + t ) = C , t = 0 时 x = y = 1，C = - 1, 此时的流线方程为 x y = 1 BP2.3.3 设平面不定常流动的速度分布为u = xt, v= 1, 在t = 1时刻流体质点A位于(2,2)。 试求(1)质点 A 的迹线方程； (2)在 t=1、2、3 时刻通过点（2, 2）与流线方程, 并 作示意图说明。 答： 1/2 1 (1) (2ln1)1,(2) ln 2 x yyxC t 解： （1）由xtu t x d d ，txtxdd ，解得 1 2 2 1 lnCtx 因 t = 1 时，x = 2, 可得 2 1 2ln 1 C。代入上式得 2/1 22 ) 1 2 ln2( 1 2 ln2, 2 1 2 1 2lnln x t t x tx （a） 由1 d d v t y 解得 2 Cty （b） 因 t = 1 时，y = 2 可得 C2 = 1 由(a), (b) 式可得质点 A 的迹线方程为 1) 1 2 ln2( 2/1 x y （2）流线方程为 1 ddy xt x 积分得 3 ln 1 Cyx t 或 3 ln 1 Cx t y t = 1 时 x=y=2，C3 =-ln22，流线方程为 2 2 ln22lnln x xy t=2 时 x=y=2，22ln 2 1 3 C， 流线方程为 2 2 ln 2 1 22ln 2 1 ln 2 1 x xy t=时 x = y = 2，22ln 3 1 3 C， 流线方程为 2 2 ln 3 1 22ln 3 1 ln 3 1 x xy t = 1 时，迹线与流线在点（2，2）相切，随时间的增长，过点（2，2）的流线斜 率越来越小。 BP2.3.4 设平面不定常流动的速度分布为 u = xt, v = - (y+2) t, 试求迹线与流线方程。 答：x(y+2) =C 解：迹线方程为 t ty y xt x d )2( dd 将上式中分母上的 t 消去后，两项分别仅与 x 和 y 有关，只能均为常数。因此迹 线与时间 t 无关 )2( dd y y x x (a) 积分得 Cyx)2ln(ln x ( y + 2 ) = C (b) (a)式也是流线方程，与迹线方程形式相同。 讨论：本例属不定常流场，每一时刻同一点的速度不相同，但由于两个速度分量与时 间成比例关系，流线与迹线的形状均不随时间变化，且相互重合。 BP2.3.5 在流场显示实验中， 从原点连续施放染料液形成脉线。 设速度场由下列规律决定： 0tT0）时， 板间流体在温差作用下发生热对流运动，可用考虑浮力的 N-S 方程描述 式中 Tm= (T0+T1)/2。取 2 2 d d )(0 y u TTg m hu u ， m1 m TT TT T ， h y y 将方程无量纲化后可得 GrT y u 2 2 d d 式中 Gr 称 Grashof 数，是反映热气体自由对流的相似准则数，试推导其表达式。 答：Gr = g2 h3 (T1-Tm) /2 解：将 h uu * ， * 1 )(TTTTT mm ，hyy * 代入 N-S 方程可得无量纲方程 2* *2 2 * 1 d d )(0 y u hh gTTT m 化为 2 1 32 * 2* *2 )( m TThg Gr GrT dy ud BP5.4.4 不可压缩牛顿流体在狭窄通道（如圆柱轴承缝隙）中, 在压强梯度作用下流动，可 用低雷诺数流动的 N-S 方程描述 2 2 d d d d y u x p 试利用特征长度 l， 特征速度 V 和特征压强 p 0对方程无量纲化，确定相似准则 数，并与题 BP5.4.2 作比较。 答：La = p0 l /V 解：设, 0 * p p p l y y l x x V u u代入方程得无量纲方程 , d d d d 2* *2 2* * 0 y u l V x p l p 或 2* *2 * * 0 d d d d y u x p V lp 令 V lp La 0 为拉格朗日数，与 BP5.4.2 结果一致。 BP5.6.1 光滑圆球以速度 V = 1.6 m/s 在水中运动。为求圆球受到的阻力 F，在风洞中用直 径放大到两倍的光滑圆球作模型实验。试求（1）为保证两者流动相似，风洞中的 空气速度 Vm应多大？（2）若在风洞中测到的阻力为 Fm = 0.95 N，原型球的阻力 多大？（空气密度m= 1.28 kg / m3，运动粘度 OHm 2 13） 提示： （1）保证 Re 数相等； （2）保证 Ne 数相等。 答：F = 4.39 N 解： （1）为保证动力相似，主数 Re 应相等 10.4m/s)(13) 2 1 (1.6m/s)( m m m m mm l l VV VllV 查相应的声速为 332m/s，马赫数为 10.4/332=0.03 0.3，仍为不可压缩流动。 （2）由 Ne 数相等 N()N( 39. 4) 2 1 ) 4 .10 6 . 1 ( 28. 1 10 95. 0 22 3 2 2 2 2 222 mmm m mmm m l l V V FF lV F lV F BP5.6.2 在实验室里用缩小到 1/20 倍的模型模拟溢流堰的流动（图见 BP5.2.5） 。若原型上 水头高 H = 3m，试求（1）模型上的水头 H m； （2）若原型流量 Q = 340 m3/s，模 型中流量 Q m应为多大？（3）测得模型堰顶真空度 hvm= 0.2 mH2O (v)，求原型堰 顶真空度 hv 。 提示： （1）保证几何相似； （2）保证 Fr 数相等； （3）保证 Eu 数相等。 答：Hm= 0.15 m，Q m= 0.19m3/s，hv= 4 m H2O(v) 解： （1）为保证几何相似0.15m(3m) 20 1 20 1 , 20 1 h m h h hm (2 ) 为保证动力相似，主数 Fr 相等 gh V gh V m m ， 20 1 2 2 h h V V mm ， 5/2 2 2 )( h h Vh hV Q Q mmmm /sm)/s)m()( 35/235/2 0.19 20 1 (340 h h QQ m m (3 ) 由 Eu 数相等， 222 V gh V gh V p Eu vv 22 m vmv V gh V gh ，(v)(O4mHO)(20)0.2mH 22 2 2 m vmv V V hh BP5.6.3 汽车的高度 h = 2 m，速度 V= 108 km / h，环境温度为 20。为求汽车阻力在风洞 里作模型实验。设风洞中温度为 0，气流速度 Vm= 60 m/s，试求（1）模型汽车 的高度 hm应为多大? （2） 若在风洞中测到阻力 Fm=1500 N， 原型汽车阻力 F 多大？ 提示： （1）保证 Re 数相等； （2）保证 Ne 数相等。 答：h m= 0.874 m，F=1830 N 解：V =10810 3 m/ 3600 s = 30 m/s 查表可得 20时 = 0.151 cm2/s，=1.204 kg/m3 0时 m=0.132 cm2/s，m=1.292 kg/m3 (1)由主数 Re 数相等，保证动力相似 VhhV m mm ， 0 . 8 7 4 m) 0 . 1 5 1 0 . 1 3 2 )( 60 30 m)(2 m m m V V hh （2）由 Ne 数相等 2 2 22 mmm m lV F lV F N)()(1830 0.874 2 60 30 )( 1.292 1.204 1500N)( 22 2 2 2 2 mmm m l l V V FF BP5.6.4 风扇直径为 d1 = 0.2 m 的轴流式风机，转速为 n1=2000 r/min，流量为 Q1 =20 m3/s。 对一动力相似的风机，若风扇直径为 d2= 0.4 m，转速为 n 2 = 1500 r/min，流量 Q2 应为多大？ 提示：参考 BP5.2.9 题。在