二重积分的概念及计算

.,1,第10章重积分,10.1二重积分,一、引例,二、二重积分的定义及可积性,三、二重积分的性质,四、曲顶柱体体积的计算,五、利用直角坐标计算二重积分,六、利用极坐标计算二重积分,七、二重积分换元法,.,Page2,解法:类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：xoy面上的闭区域D,顶:连续曲面,侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面,求其体积.,“大化小,常代变,近似和,求极限”,.,Page3,1)“大化小”,用任意曲线网分D为n个区域,以它们为底把曲顶柱体分为n个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲顶柱体,.,Page4,4)“取极限”,令,.,Page5,2.平面薄片的质量,有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.,度为,设D的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“大化小,常代变,近似和,求极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D为n个小区域,相应把薄片也分为小区域.,.,Page6,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第k小块的质量,.,Page7,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,.,Page8,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域D任意分成n个小区域,任取一点,若存在一个常数I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域D上的有界函数,.,Page9,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,.,Page10,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在D上可积.,限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.,在有界闭区域D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域D上除去有,例如,在D:,上二重积分存在;,在D上,二重积分不存在.,.,Page11,三、二重积分的性质,(k为常数),为D的面积,则,.,Page12,特别,由于,则,5.若在D上,6.设,D的面积为,则有,.,Page13,7.(二重积分的中值定理),证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域D上,为D的面积,则至少存在一点,使,使,连续,因此,.,Page14,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:积分域D的边界为圆周,它与x轴交于点(1,0),而域D位,从而,于直线的上方,故在D上,.,Page15,例2.判断积分,的正负号.,解:分积分域为,则,原式=,猜想结果为负但不好估计.,舍去此项,.,Page16,例3.判断,的正负.,解：,当,时，,故,又当,时，,于是,.,Page17,例4.估计下列积分之值,解:D的面积为,由于,积分性质5,即:1.96I2,.,Page18,例5.,估计,的值,其中D为,解:被积函数,D的面积,的最大值,的最小值,.,Page19,8.设函数,D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍,在D上,在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分,则有,.,Page20,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,.,Page21,同样,曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,.,Page22,例6.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,.,Page23,内容小结,1.二重积分的定义,2.二重积分的性质,(与定积分性质相似),3.曲顶柱体体积的计算,二次积分法,.,Page24,被积函数相同,且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1.比较下列积分值的大小关系:,.,Page25,2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0y1,则,的大小顺序为(),提示:因0y1,故,故在D上有,.,Page26,3.计算,解:,.,Page27,4.证明:,其中D为,解:利用题中x,y位置的对称性,有,又D的面积为1,故结论成立.,.,Page28,五、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X型区域,则,若D为Y型区域,则,.,Page29,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,.,Page30,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,.,Page31,例7.计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,.,Page32,例8.计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线,则,.,Page33,例9.计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X型域:,先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,.,Page34,例10.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,.,Page35,例11.计算,其中D由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,.,Page36,解：,原式,例12.,给定,改变积分的次序.,.,Page37,对应有,六、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线=常数,分划区域D为,.,Page38,即,.,Page39,设,则,特别,对,.,Page40,若f1则可求得D的面积,思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试,答:,问的变化范围是什么?,(1),(2),.,Page41,例13.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,.,Page42,注:,利用例13可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当D为R2时,利用例7的结果,得,故式成立.,.,Page43,例14.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,.,Page44,例15.计算,其中D为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,.,Page45,定积分换元法,七、二重积分换元法,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一对应的,.,Page46,证:根据定理条件(2)(3)可知变换T可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换T,在xoy面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,.,Page47,同理得,当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四,边形,故其面积近似为,.,Page48,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,.,Page49,例16.计算,其中D是x轴y轴和直线,所围成的闭域.,解:令,则,.,Page50,例17.计算由,所围成的闭区域D的面积S.,解:令,则,.,Page51,例18.试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D的原象为,的体积V.,.,Page52,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,.,Page53,则,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,.,Page54,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择