二级倒立摆数学模型的建立

二级倒立摆数学模型的建立 专业:控制工程姓名：淡丹 学号：1406073一、二级倒立摆系统的组成二级倒立摆主要由以下四部分组成:1.在有限长的轨道L上作直线运动的小车;2.与小车铰接在一起，并能在竖直平面内分别绕q，q点转动的下、上摆;3.驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分;4.使上、下摆稳定在垂直向上的平衡位置，且使小车稳定在轨道中心位置附近的控制器。二级倒立摆的结构简图如图1的监督管理功能，如实时画面，数据采集等;数据采集卡安装在计算机内，用完成模/数、数/模转换;功率放大器用于电压和功率放大;电机是系统的执行元件;电位计是系统的测量元件，它分别检测小车相对于轨道中心点的相对位置、下摆相对于铅垂线的角位移、上摆相对于下摆延长线方向的角位移。图1 倒立摆系统的计算机控制系统二级倒立摆系统的整套机械部件安装在一个钢架上，上面固定着导轨、电机底座和转轮等装置。通过导轨支架安装好小车滑行的导轨，小车用电机和转轮通过传动钢丝实现运动。2、结构参数通过实际物理测量，得到二级倒立摆系统的参数如下:小车的等效质量: =1.0kg;小车与轨道间的滑动摩擦系数:=5.0kg/s;下摆的质量:=0.1481kg;下摆半长:=0.18m;下摆绕其重心的转动惯量:=0.0019;上摆质量:=0.0998kg;上摆半长:=0.24m;上摆绕其重心的转动惯量: = 0.0018;上、下摆重心之间的距离: =0.29m;上、下摆之间的转动摩擦系数: =0.0l/s;下摆和小车之间的转动摩擦系数:=0.01/s;电机及功率放大器的增益: =15Nt/V。3、Lagrange方程介绍Lgarnage方程为(1-1)式中T系统的动能函数，q，Lganarge变量，分别成为广义坐标和广义速度作用于系统上的广义力，(1-2)式中：V系统的势能函数有势力的广义力非有势力的广义力将式(2-2)代入式(2-l)得二、二级倒立摆数学模型的推导二级倒立摆是一个多变量、快速、非线性、强祸合、和绝对不稳定的系统，为了简化建立数学模型的过程，我们做了以下假设:1.上摆、下摆都是一个均匀的刚体;2.力矩电机的输出驱动力与其输入电压成正比，且无滞后地直接作用在小车上;3.车与轨道间的摩擦力仅与小车的速度成正比，下摆与车绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比，上、下摆绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比;4.忽略电机的电感;5.忽略钢丝的弹性。在以上假设前提下，我们采用分析力学中的Lganarge方程来建立系统的数学模型。令:为水平导轨运动的位移，拭、氏分别为下摆和上摆偏移竖直方向的角度。由于系统存在着摩擦力，属于一个耗散系统，因此式(2-3)部分应该加上耗能部分，对于同时受到保守力和耗散力作用的倒立摆系统的Lagrange方程为:式中： 广义坐标，即r、非有势广义力，当=r时，=,U为控制量，为增益常数，当=、时，=0T、V、D分别是系统的动能、势能和消耗能、 (1-5)式中： n倒立摆的级数，这里n=2小车和各级倒摆的动能小车和各级倒摆的势能小车和各级倒摆的消耗能将上述各式，(i=0，1，2)代入式(2-4)，得二级倒立摆的数学模型为式(2-6)式是一个非线性向量微分方程。考虑到系统工作时，是在平衡位置附近运动，可将式(2-6)在u=0的平衡位置r=0附近线性化，以线性化后的方程来代替式(2-6)的非线性向量微分方程。具体线性化是忽略二次以上的项(或因为，在以内，故，)，可求出关于dr，d，d的线性化微分方程，而后将dr，d，d改写成r，便可得到系统的状态方程。根据物理模型的实测数据，可求得平衡点处的常数阵: 利用Matlab中的求逆命令，可以解得阵系统状态方程为：式中： 对于下摆有转角时，取上摆的相对角位移为，故令故式（2-7）可改写为定义状态向量x为则由式（2-8）可得式中： 将物理模型的实测参数代入式（2-9），得到二级倒立摆的系数矩阵为由此可知，二级倒立摆系统的数学模型为式中：A= 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 -1.9600 0.0940 -4.8000 0.0040 -0.0040 0 46.1200 -25.0100 18.7600 -0.1300 0.2400 0 -51.0100 78.1600 -20.7500 0.2400 -0.5700B= 0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532C= 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0系统状态图：2.3.1 系统的稳定性、可控性及可观测性（1）系统的稳定性在设计和分析线性控制系统时，首先要考虑的是控制系统的稳定性18-19。一个线性控制系统能够正常工作的首要条件就是它必须是稳定的。由于控制系统在实际运行中，不可避免的会受到外界或内部一些扰动因素的影响，比如系统负载或能源的波动、系统参数和环境条件的变化等，从而会使系统各物理量偏离原来的工作状态。如果系统是稳定的，那么随着时间的推移系统的各物理量就会恢复到原来的工作状态。如果系统不稳定即使扰动很微弱，也会使系统中的各物理量随时间的推移而发散，即使在扰动因素消失后，系统也不可能再恢复到原来的工作状态，显然不稳定的控制系统是无法正常工作的。由于稳定性的研究角度不同，线性控制系统稳定性在不同意义下的描述不尽相同，但是不同意义下稳定性描述的本质是相同的。当线性系统用输入输出模型（微分方程或传递函数）表示时，其稳定性定义通常有如下两种：第一种描述：如果线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋向于零，即被控量趋向于原来的工作状态，则称该系统稳定。反之，若在扰动的影响下，系统的被控量随着时间的推移而发散，则称该系统不稳定。第二种描述：若线性系统在有界的输入量或干扰量的作用下，其输出量的幅值也是有界的，则称系统是稳定的。否则如果系统在有界输入下，产生无界的输出，则称系统是不稳定的。线性控制系统稳定性的充分必要条件：系统的所有极点必须位于s左半平面。（2）系统的可控性线性定常连续系统 （2-51）如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间（t0,tf）内，使一系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。能控性判据能控性判据一：线性定常连续系统（如（2-51）式）状态完全可控的条件为：当且仅当向量组是线性无关的，或nn维矩阵的秩为n。能控性判据二：（1）当系统特征值互异时，若线性定常连续系统的特征值互异，则状态完全可控的充分必要条件是系统经非奇异线性变换后的对角线标准型： （2-52）的矩阵中不包含元素全为零的行。（2） 当系统含有重特征值时，其重特征值也就是说每一个重特征值只用一个约当块表示。则系统状态完全能控的充分必要条件为，系统经非奇异变换后的约定标准型 （2-53）中，和每个约当块Ji(i=1,2,k)的最后一行相对应的矩阵中的所有那些行，其元素不全为零。能控标准型: （2-54）（3）系统的可观测性线性定常连续系统 （2-55）如果对任意给定的输入u，都存在一有限观测时间tft0，使得根据t0,tf期间的输出y唯一的确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称此状态x(t0)是能观测的。如果系统的所有状态都是能观测的，则称此系统是状态完全能观测的，或简称系统是能观测的。能观测性判据能观测性判据一：线性定常连续系统如式（2-55）状态完全可观测的充分必要条件是其能观测矩阵满秩。能观测性判据二：（1）当系统特征值互异时，若线性定常连续系统的特征值互异，则状态完全能观测的充分必要条件是系统经非奇异线性变换后的对角线标准型 （2-56）的矩阵中不包含元素全为零的列。（3） 当系统含有重特征值时，其重特征值则系统状态完全能观测的充分必要条件为，系统经非奇异变换后的约定标准型 （2-57）中，和每个约当块的首列相对应的矩阵中的所有那些列，其元素不全为零。能观测标准型: （2-58）2.3.3 二级倒立摆的可控性、可观测性及稳定性分析（1）二级倒立摆系统的可控性、可观测性程序如下：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004;0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532;B1=B;C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;rct=rank(ctrb(A,B1)OB=C;C*A;C*A*A;C*A*A*AQ=rank(OB)rct =6OB = 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 -1.9600 0.0940 -4.8000 0.0040 -0.0040 0 46.1200 -25.0100 18.7600 -0.1300 0.2400 0 -51.0100 78.1600 -20.7500 0.2400 -0.5700 0 9.7965 -0.8639 23.1980 -1.9807 0.1164 0 -55.0076 23.7731 -97.4668 46.2695 -25.2530 0 80.8145 -52.5041 115.9299 -51.2610 78.6255Q = 6由以上可知系统是可控和可观测的。（2）二级倒立摆系统的稳定性用函数eig（）求矩阵A的特征值与特征向量A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004;0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;V,D=eig(A)V = 1.0000 -0.0006 -0.0069 -0.0015 -0.0265 0.1019 0 0.0420 0.1606 0.0399 0.0795 0.2483 0 -0.0942 0.1362 -0.0846 0.1503 0.0825 0 -0.0059 -0.0319 0.0156 0.1516 -0.3481 0 0.4053 0.7453 -0.4246 -0.4553 -0.8487 0 -0.9083 0.6318 0.9004 -0.8603 -0.2821D = 0 0 0 0 0 0 0 9.6476 0 0 0 0 0 0 4.6397 0 0 0 0 0 0 -10.6452 0 0 0 0 0 0 -5.7244 0 0 0 0 0 0 -3.4177由此可知系统有两个极点位于s右半平面，有一个极点位于坐标原点，所以系统不稳定。因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。3.2 状态反馈控制3.2.1基于状态反馈的极点配置理论 所谓状态反馈就是将系统的每个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加，作为系统的控制输入。多输入多输出系统状态反馈的结构图如下所示：图3-8：状态反馈结构图图中系统的状态空间表达式为： （3-5） 状态反馈极点配置的含义是，以一组期望的极点为性能指标，对线性时不变受控系统综合出一个状态反馈型的控制，使综合导出的控制系统的特征值配置到复平面的期望位置。为使极点配置问题标准化，考虑连续时间线性时不变受控系统，状态方程为: （3-6）式中，x为n维状态，u为P维输入，A, B为已知相应维数常阵.再任意指定n个期望闭环极点:它们为实数或共扼复数。进而，限定控制输入为状态反馈，有u = -Kx + v式中，K为反馈矩阵，v为参考输入。基于此，状态反馈极点配置的形式化提法就是，对给定受控系统，确定一个反馈矩阵K，使所导出的闭环控制系统: （3-7） 特征值满足关系式: （3-8）式中表示矩阵的特征值。现引入状态反馈调节器，且（其中v为参考输入向量，K称为是状态反馈增益矩阵）,这时，闭环系统的状态反馈状态空间表达式为： （3-9）状态反馈后系统的传递函数为 （3-10）状态反馈的极点配置法是倒立摆控制的一种基本策略。基于状态反馈的极点配置法，就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使闭环系统特性满足要求。对于单输入状态反馈极点配置，其期望闭环极点组的确定首先要从控制工程给定的期望指标出发，如时域性能指标的超调量、调节时间等，或频域性能指标的谐振峰值、截止频率等。1） 3.2.3 基于极点配置的二级倒立二级倒立摆的实际系统模型： （3-12）二级倒立摆的单位阶跃响应如下：图3-13 二级倒立摆系统的单位阶跃响应 由第二章可知二级倒立摆系统有两个极点位于s右半平面，有一个极点位于坐标原点，所以系统不稳定。故需要通过反馈，重新配置极点，使系统稳定。因为二级倒立摆是一个单输入三输出系统，且经第二章分析，该系统是完全可控的，故可对二级倒立摆系统的闭环极点进行任意配置。根据小车、下摆、上摆的状态空间方程可知，二级倒立摆只有一个特征方程，根据经典控制理论中，系统的性能由主导极点近似决定，来对二级倒立摆控制器进行设计。对于一般控制系统，闭环主导极点的选取应使，但是针对二级倒立摆这样特殊的高阶不稳定系统，稳定性是其主要矛盾，因此适当增加，即适当降低系统的响应速度来弥补稳定性的要求。在选择性能指标时，应当减小系统的超调量。对于二级倒立摆系统，主要对如下2个主要的性能指标进行设计:按要求，设系统的调整时间，超调量，得到期望的闭环极点为：，其中，是一对具有，的闭环主导极点，为实部大于闭环主导极点，的实部非闭环主导极点，影响较小，因此可得到期望的闭环特征多项式为：对于被控系统，引入，状态反馈后的闭环系统特征多项式为：令，可得状态反馈增益矩阵K= 0.5344 3.4513 12.7673 0.3801 1.5585 1.7747。摆控制器设计首先，使用MATLAB，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。程序如下：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532;B1=B;C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;rct=rank(ctrb(A,B1)计算结果为：rct = 6根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控的。因为系统是能控的，所以，可以通过状态反馈来任意配置极点。不失一般性，不妨将极点配置在 s1=-6,s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5,s5=-8,s6=-8.5在MATLAB中输入程序：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532;B1=B;P=-6 -6.5 -7 -7.5 -8 -8.5 ;K=place(A,B1,P)计算结果为：K = 4.8696 28.2425 36.0516 6.3136 7.8320 5.7267因此，求出状态反馈矩阵为 K = 4.8696 28.2425 36.0516 6.3136 7.8320 5.7267采用MATLAB/Simulink构造二级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。 三、 状态观测器实现状态反馈极点配置及其仿真首先，使用MATLAB，判断系统的能观性矩阵是否为满秩。输入以下程序 A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532;B1=B;C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0