圆幂定理ppt课件

.,圆幂定理,.,PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,切线长定理,几何语言:,反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法,.,。,P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,.,1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，并且垂直平分切点弦。,小结：,PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,2.圆的外切四边形的两组对边的和相等,.,例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求PCD的周长(2)如果P=70,求COD的度数,E,下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,学习与圆有关的比例线段的几个定理，希望大家做好记录.,探究1:如图1,AB是O的直径,CDAB,AB与CD相交于P,线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？,证明:连接AD、BC.,则由圆周角定理的推论可得:AC.,RtAPDRtCPB.,探究2:将图中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直径（如图），结论（）还成立吗？,证明:连接AD、BC.,则由圆周角定理的推论可得:AC.,RtAPDRtCPB.,证明:连接AD、BC.,则由圆周角定理的推论可得:AC.,APDCPB.,探究3:上面讨论了CDAB的情形进一步地,如果CD与AB不垂直，如图,AB、CD是圆内的任意两条相交弦,结论（）还成立吗？,PAPB=PCPD(3),综上所述，不论AB、CD具有什么样的位置，都有结论（）成立！,相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.,几何语言：AB、CD是圆内的任意两条相交弦,交点为P,PAPB=PCPD.,上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出相交弦定理.下面从新的角度考察与圆有关的比例线段,探究4:使圆的两条弦的交点从圆内（图）运动到圆上（图），再到圆外（图），结论(1)还成立吗？,当点P在圆上,PA=PC=0,所以PAPB=PCPD=0仍成立.,当点P在圆外,连接AD、BC,容易证明:,PADPCB,所以PA:PC=PD:PB,即PAPB=PCPD仍成立.,如图,已知点P为O外一点,割线PBA、PDC分别交O于A、B和C、D.求证:PAPB=PCPD.,证法2：连接AC、BD，四边形ABDC为O的内接四边形,PDB=A，又P=P,PBDPCA.PD：PA=PB：PC.PAPB=PCPD.,割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.,应用格式（几何语言描述）:PAB,PCD是O的割线,PAPB=PCPD.,证明:连接AC、AD,同样可以证明,PADPCA,所以PA:PC=PD:PA,即PA2=PCPD仍成立.,如图,已知点P为O外一点，PA切O于点A，割线PCD交O于C、D.求证：PA2=PCPD.,证明：连接AC、AD，PA切O于点A,D=PAC.又P=P,PACPDA.PA：PD=PC：PA.PA2=PCPD.,切割线定理:从圆外一点引圆的切线和条割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.,应用格式（几何语言描述）:PA是O的切线,PCD是O的割线,PA=PCPD.,O,D,P,C,A,探究5:使圆的割线PD绕点P运动到切线位置，可以得出什么结论？,思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？,1.结论都为乘积式;,2.几条线段都是从同一点出发;,3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）.,另外，从全等角度可以得到：,2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？,说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的特例！,例1如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.,解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x.,由相交弦定理，得PAPB=PCPD,44=1/5x4/5x,解得x=10.,CD=10.,练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D.(1)已知PA=5,PB=8,PC=4,则PD=,PT=(2)已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径R=,10,3,O,D,P,A,T,B,C,PAPB=(7-R)(7+R),PACPDB,BEDAEC,PADPCB,E,练习2.如图,A是O上一点,过A切线交直径CB的延长线于点P,ADBC，D为垂足.求证：PB:PD=PO:PC.,分析：要证明PB：PD=PO：PC,很明显PB、PD、PO、PC在同一直线上无法直接用相似证明，且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明,所以可以通过证明PBPC=PDPO,而由切割线定理有PA2=PBPC,只需再证PA2=PDPO，而PA为切线,所以连接OA,由射影