用excel求解线性方程

第21卷 第3期郑 州 轻 工 业 学 院 学 报(自 然 科 学 版)Vol.21 No.3 2006年8月JOURNAL OF ZHENGZHOU UNIVERSITY OF LIGHT INDUSTRY(Natural Science)Aug. 2006 收稿日期:2005 - 11 - 25 作者简介:张战军(1970 ) , 男,河南省孟州市人,焦作大学讲师,主要研究方向:计算机应用. 文章编号:1004 - 1478(2006)03 - 0071 - 03 用Excel求解线性方程组 张战军 (焦作大学 计算机工程系,河南 焦作454003) 摘要:借助Excel中的函数功能,通过实例介绍了用Excel求解线性方程组的具体方法.首先在Excel 中输入系数矩阵,并判断线性方程组是否有解,然后求出系数矩阵的逆矩阵,最后求出线性方程组 的解.该方法避免了繁琐的手工运算,使求解线性方程组变得轻松和快捷. 关键词:Excel ;线性方程组;逆矩阵;乘积 中图分类号:TP391113 文献标识码:A Conducting linear equation groups with Excel ZHANG Zhan2jun ( Dept. of Comp.Eng. , Jiaozuo Univ. , Jiaozuo454003, China) Abstract :With the help of the function in Excel , some specific approaches to the solution of linear equation groups by means of Excel are illustrated1Firstly , the coefficient matrix is put into Excel so as to see the possi2 ble solution to the linear equation groups; then the reciprocal matrixof the coefficient matrix is obtained; lastly the solution to the linear equation group is gotten1All in all , the approach makes it easy and quick to conduct linear equation groups for its avoidance of the complicated manual calculation1 Key words :Excel ; the linear equation groups; the reciprocal matrix; product 0 引言 Excel是目前非常流行且功能强大的电子表格 软件.在实际使用中,一般只是利用了其表格功能进 行简单的数据排序、 筛选、 自动重新计算等等,而忽 略了Excel对数据进行分析运算的能力.其实Excel 还提供了许多的库函数供用户使用,利用这些函数 可以解决许多数学上的问题,如线性求解、 规划求 解、 统计分析、 回归分析等,而且实现过程非常简捷 方便,有很好的实用价值.本文介绍了如何通过使用 Excel的函数和自动重新计算功能求解线性方程组 的问题. 1 理论基础 设定线性方程组为: a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 an1x1+an2x2+annxn=bn 根据数学知识将方程组改写成矩阵方程的形式: AX=B 其中,A= ( a ij)nn为n阶系数方阵; X= ( x 1, x2, , xn),是n维未知列向量; B= ( b 1, b2, bn), 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 为n维常数列向量. 若系数方阵A有逆矩阵则X=A - 1 B成立1, 这样一来,就由求解线性方程组的问题转变成求未 知向量X的问题.系数方阵A有逆矩阵的充分必 要条件是A所对应的行列式的值不为0.即:若系数 行列式|A|0,则方程组必有唯一的解2: X= A - 1 B ,这样求解线性方程组的过程就是进行一系 列矩阵运算的过程,而Excel提供了一些矩阵运算 的函数,利用这些函数可以很容易地进行相关的矩 阵运算,从而得到线性方程组的解. 2 实例求解 例如要求解的解线性方程组为: 2x1+ 3x2+ 2x3+ 3x4= 0 3x1+ 2x2- 2x3+ 3x4= 3 3x1+ 3x2+ 3x3- 4x4= 14 2x1- 2x2- 3x3- 3x4= 7 求解具体步骤如下: 1)在Excel中输入系数方阵. 在Excel工作表中任选4行4列的一个区域, 如:A1:D4,将系数行列式的元素依次输入到该区域 中去,如表1所示. 2)判断线性方程组是否有解. 选择另外一个单元格,如E1,单击 “常用” 工具 栏中 “fx函数” 按钮.在 “函数分类” 中选择 “数学与三 角函数” 类,然后选择 “MDETERM” 函数.在 “Array” 输 入框中输入区域A1:D4(如图1所示 ) . 表1 系数行列式的元素表 ABCDE 12323- 145 232- 23 3333- 4 42- 2- 3- 3 单击 “确定” 按钮,在E1单元格中显示出行列式 的值为- 145,如表1所示. 由此结果得知该方程组系数行列式的值不为 0,因此系数矩阵有逆矩阵,方程组有唯一解. 3)求系数矩阵的逆A - 1. 根据数学知识,当一个矩阵所对应的行列式的 值不为O时,则该矩阵一定存在逆矩阵,在Excel中 逆矩阵可以用MINVERSE函数求得. 在Excel工作表中再选4行4列的一个区域 F1:I4,单击 “常用” 工具栏中 “fx函数” 按钮. 在 “函数分类” 栏中选择 “数学与三角函数” 类, 然后选择 “MINVERSE” 函数. 在 “Array” 输入框中输入区域A1:D4(如图2所 示 ) , 并单击 “确定”. 图1 “MDETERM” 函数参数窗口 图2 “MINVERSE” 函数参数窗口 27郑 州 轻 工 业 学 院 学 报(自 然 科 学 版)2006年 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 将光标定位在编辑栏中所输入公式的结尾处, 然后同时按下Ctrl ,Shift ,Enter 3个键,则在区域F1:I4 中显示出矩阵A的逆矩阵A - 1的系数3 ,如表2 所示. 表2 逆矩阵A - 1的系数表 EFGHI 1- 0126207 - 011034501462069 2- 0175862 0158620701310345- 0158621 301586207- 0146207 - 011034501262069 401310345- 0110345 - 011724101103448 4) 求线性方程组的解. 求线性方程组的解也就是求矩阵的逆A - 1与 列向量B的乘积: X=A - 1B 在上面同一张工作表中的F1:I4区域存放的是 系数矩阵的逆矩阵A - 1 ,再选定一个4行1列的区 域如J1J4,将列向量B输入到该区域中去,如表3 所示. 表3 列向量B的元素表 FGHIJK 101586207- 0126207 - 0110345 0146206901 2- 0175862 0158620701310345- 015862132 301586207- 0146207 - 0110345 0126206914- 1 401310345- 0110345 - 0117241 011034487- 2 另外选择一个4行1列的区域如K1: K4,单击 “常用” 工具栏中 “fx函数” 按钮. 在 “函数分类” 中选择 “数学与三角函数” 类,然 后选择 “MMULT” 函数. 在 “Array1” 输入框中输入矩阵的逆A - 1所在区 域F1:I4;在 “Array2” 输入框中输入列向量B所在的 区域J1:J4,如图3所示,然后单击 “确定”. 图3 “MMULT” 函数参数窗口 将光标定位在编辑栏中所输入公式的结尾处, 然后按下Ctrl ,Shift ,Enter 3个键,则区域K1:K4中显 示出两个矩阵乘积结果3,如表3所示,即方程的 解:x1= 1; x2= 2; x3= - 1; x4= - 2. 上述方法是在判断线性方程组有解的条件下, 利用Excel所提供的相关函数进行矩阵运算,从而 得到线性方程组的解,避免了繁琐的手工运算,提高 了工作效率. 3 小结 利用Excel求解某些方程组是很方便和快捷 的,Excel还有许多其他功能,如:单变量求解、 方案 求 解、 规划求解、 统计分析、 变异数分析、 相关性检 测、 回归分析以及计算统计资料、 随机数产生器、 傅 里叶分析等.使用者不用了解复杂的求解数学过程, 只要把数据在数据表中设置好,目标函数、 变量和约 束条件等给定以后,就可以轻松地求得结果. 参考文献: 1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代 数M.北京:高等教育出