初中一次函数及相关典型例题

Jgslinjin免费信息函数复习课知识点1函数和比例函数的概念如果两个变量x，y之间的关系可以用y=k3b (k，b是常数，k0)的形式表示，则y是x的一个函数(x是参数)，特别是b=0时，y是x的正比例函数。例如，y=2x 3、y=-x 2、y=x等是一个函数，y=x、y=-x是正比例函数。(1)函数参数的范围是任意实数，但在实际问题中，由函数的实际意义决定。(2)一次函数y=k3b (k，b是常数，b0)的“一次”和一次方程，一次不等式的“一次”意义相同。换句话说，参数x的次数必须是1，主系数k必须是非零常数，b可以是任何常数。(3)如果b=0，k0，则y=kx仍然是函数。(4) b=0，k=0时不是函数。知识点2函数图像在笛卡尔坐标系中绘制相应的点，函数参数x及其y的值分别为点的横坐标和纵坐标。所有这些点组成的图形称为该函数的图像。绘制函数图像通常分为列表、点、连接等三个阶段。知识点3一次函数图像函数y=k3b (k，b是常数，k0)的图像是直线，因此函数y=k3b的图像也称为直线y=k3b。两个点决定直线，因此稍后在创建函数图像时，可以绘制适合关系的两个点，然后合并直线，通常可以选择两个特殊点：直线与y轴的交点(0，b)、直线与x轴的交点(-，0)。但是，不一定要选取两个特殊点。绘制正比例函数y=kx的图像时，只需绘制点(0，0)，(1，k)。知识点4一阶函数y=k3b (k，b是常数，k0)的性质(1)k的正负决定直线的倾斜方向。在k 0处，y值随着x值的增加而增加。 k-o，y值随x值的增加而减少。(2)|k|大小决定线的倾斜程度。也就是说，|k|越大，线与x轴相交的锐角角度越大(直线越陡)；| k |越小，线与x轴相交的锐角角度越小(直线越慢)；(3)b的正负决定直线和y轴的交点位置。 b 0时，直线和y轴与正半轴相交。当b 0，b 0中，直线通过象限1、2、3(直线不通过象限4)。如图11-18 (2)所示，k 0，b？如图11-18 (3)所示，在k o，b 0中，直线通过象限1、2、4(直线不通过象限3)。如图11-18 (4)所示，k？(5) |k|确定线与x轴相交的锐角大小，k表示两个锐角大小相同，并且它们平行，因为它们是相同的角度。也可以认为直线y=x 1将正比例函数y=x向上转换一个单位。知识点3比例函数y=kx(k0)的性质(1)正比例函数y=kx的图像必须通过原点。(2) k 0时，图像通过象限1，3，y随着x的增加而增加。(3) k 0处，直线与y轴的正半轴相交。B=0时，直线通过原点。如果b等于0，则直线与y轴的负半轴相交。当k，b以上时，即- 0时，直线与x轴的正半轴相交。当B=0(即-=0)时，直线通过原点。当k，b相等时，即-0时，直线与x轴的负半轴相交。如果k o，b o，则图像通过象限1，2，3。如果K 0，b=0，则图像通过象限1，3。如果B o，b 0时，图像位于象限1、象限2、象限4、K-o，b=0时，图像通过第二个、第四个象限。B o，b 0处，如果将线y=kx转换为b单位以上，则线y=kx b。bo时将线y=kx向下转换|b|单位，线y=k3b。(3)直线b1=k1x B1和直线y2=k2x b2(k10，k20)的位置关系。k1k2y1和y2相交。y1和y2在y轴上的同一点(0，B1)或(0，B2)相交。y1与y2平行。y1与y2一致。按惯例说明基本问题本节关于基本概念的主题主要是函数、正系数函数的概念，以及构成它们之间的关系、函数和正系数函数的条件。范例1下列函数中的一个函数是什么？什么是比例函数？(1)y=-x；(2)y=-；(3)y=-3-5x；(4)y=-5x 2；(5)y=6x- (6)y=x(x-4)-x2。这个问题主要调查对函数及比例函数概念的理解。解决方案：(1)(3)(5)(6)是一个函数，(l)(6)是正比例函数。如果示例2 m为什么是值，则函数y=-(m-2)x (m-4)是一个函数吗？分析函数不仅匹配y=k3b，而且必须注意k 0条件的函数。解决方案：函数y=(m-2)x (m-4)是函数m=-2。m=-2时，函数y=(m-2)x (m-4)是一个函数。摘要函数是一次项(或参数)的指数为1，系数为非零的函数，如果函数为正系数函数，则还必须添加条件。常数为0。基础应用问题本节的基本知识是：(1)确定函数关系和函数值。(2)函数(比例函数)绘制一次图像，并根据图像收集相关信息。(3)利用函数的图像和特性解决实际问题。(4)用待定系数法求函数的表示。例3质量不能超过18公斤的物体悬挂的弹簧长度为15厘米，每1公斤的物体弹簧增加0.5厘米。如果物体被挂起来，写下弹簧长度y(cm)和悬挂物体质量x(kg)之间的函数关系，写下自变量x的值范围，判断y是否是x的函数。分析 (1)弹簧悬挂1公斤的物体后，拉伸0.5厘米，xkg的物体悬挂后，弹簧的长度y为(l5 0.5x)厘米，即y=15 0.5x。(2)参数x的范围是使函数关系有意义的x的值，即0x18。(3)由y=15 0.5x表示，y是x的函数。解决方案：(l) y=15 0.5x(2)自变量x的范围为0x18。(3)y是x的函数。学生从乌鲁木齐到冷却器的铁路长度约为600公里，从乌鲁木齐出发的火车平均速度为58公里/小时，火车到冷却器的距离s(公里)和运行时间t(小时)之间的函数式。老师评价说，如图11-19所示，可以对研究主题使用画线方法。列车从乌鲁木齐出发，t时间为58t公里。此时距库尔德的距离为s公里，因此58t s=600，因此s=600-58t。例4如果物体在上午7点到下午4点之间的温度m (c)是时间t(小时)的函数M=t2-5t 100(其中t=0是中午12点，t=1是下午1点)，那么该物体在上午10点的温度是c分析这个问题给出函数关系，函数值，但不直接给出t的具体值。其中t=0表示中午12点，t=1表示下午1点，上午10点表示t=-2，t=-2点m=(-2)3-5(-2)100=102(c)答案：102范例5表示y-3与x成比例，x=2时y=7。(1)写y和x之间的函数关系。(2)当x=4时查找y值。(3)当y=4时查找x值。分析通过将y-3与x成比例导出y-3=kx，x=2，y=7，k，可以编写关系。解决方案：(1) y-3与x成比例，因此请设置y-3=kx。用y-3=kx替换X=2，y=77-3=2k，k=2。y和x之间的函数关系为y-3=2x，即y=2x3。(2)当x=4时，y=24 3=11。(3) y=4时，4=2x 3，x=。学生知道y与x 1成正比，如果x=5时y=12，则y与x的函数关系是。老师评价说，y可以和x 1成比例地设定y和x的函数关系为y=k(x 1)。X=5，y=12乘以k的值，得到y与x的函数关系。将y与x的函数关系设定为y=k(x 1)。当x=5时，y=12，12=(5 1)k，k=2。y与x的函数关系为y=2x2。y表示y=k(x 1)(与x 1成比例)，不要误认为y=kx 1。示例6正比例函数y=(1-2m)x的图像通过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)时为x1？A.m？C.m？分析这个问题检查正确比例函数的图像和特性，因为说明y随着x的增加而减少的y1 y2，1-2m学生们计划一家学校运营工厂的年产值为15万元，今后每年增加2万元。(1)编写年产量y(万元)和年数x(年)之间的函数关系。(2)绘制函数的图像。(3)求得5年后的产值。老师评价(1)年产量y(万韩元)和年数x(年数)之间的函数关系为y=15 2x。(2)绘制函数图像时，函数参数的范围为x0，因此函数y=15 2x图像必须是射线。绘制y=12 5x函数的图像，如图11-21所示。(3)当x=5时，y=15 25=25(万元)五年后的产值为25万元。例7函数y=k3b的图像已知寻找函数表达式，如图11-22所示。在“分析”图像中，x轴和点(-1，0)相交，y轴和点(0，-3)相交，在关系中找到k即可。解决方案：图像显示图像通过两点(-1，0)和(0，-3)。y=用kx b替换此函数的表达式为y=-3x-3。示例8查找主函数的表达式，其中图像通过点(2，-1)，平行于直线y=2x 1。如果“分析”图像平行于y=2x 1的函数的一次项系数为2，则只需将此表达式设置为y=2x b，并用点(2，-1)代替求b即可。解决方法：可以在问题中将函数表达式设置为y=2x b。图像通过点(2，-1)。l=22b。b=-5，函数的表达式为y=2x-5。综合应用问题本节知识的综合应用包括(1)方程知识的综合应用。(2)不平等知识的综合应用；(3)结合实际生活，通过函数解决人生的实际问题。范例8 y a已知与x b(a，b为常数)成比例。(1)y是x的一个函数吗？请说明原因；(2)在什么条件下，y是x的正比例函数？只