理论力学 第七章 刚体的简单运动

第七章刚体的简单运动,本章内容,刚体的平动刚体的定轴转动转动刚体上各点的速度和加速度轮系的传动比以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度,如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。,7.1刚体的平行移动(Translationalmotionofarigid),结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。,因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的运动。,平行移动刚体内各点的速度和加速度,在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。,7.2刚体绕定轴的转动（Rotationalmotionofarigidaboutafixedaxis）,固定平面A与动平面B间的夹角j称为刚体的转角(angleofrotation)。转角j是一个代数量，它确定了刚体的位置，用弧度(rad)表示。,符号规定：自z轴的正端看去，,1.转角和运动方程,转角j是时间t的单值连续函数，即,-转动方程(equationofrotation),转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用w表示:,角速度表征刚体转动的快慢和方向，是代数量，其单位为rad/s。,2.定轴转动刚体的角速度和角加速度,（1）角速度,符号规定：自z轴的正端看去，,角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母a表示，即,角加速度表征角速度变化的快慢，也是代数量,单位为rad/s2。,如果w与a同号，则转动是加速的；如果w与a异号，则转动是减速的。,（2）角加速度（angularacceleration）,工程上常用转速n来表示刚体转动的快慢。n的单位是转/分(r/min)，与n的转换关系为,（1）匀速转动(=常数),（2）匀变速转动(=常数),3.匀速转动和匀变速转动,动点速度的大小为,7.3转动刚体内各点的速度和加速度,如图，设任一点由O运动到M。以固定点O为弧坐标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是,1.速度,对整个刚体而言(各点都一样)；v,a对刚体中某个点而言(各点不一样)。,即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。,（1）切向加速度为：,即：转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当a是正值时，它沿圆周的切线，指向角j的正向；否则相反。,2.加速度,（2）法向加速度为：,即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。,如果w与a同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同；如果w与a异号，刚体作减速转动，at与v的指向相反。这两种情况如图所示,(1)在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。(2)在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角q都有相同的值。,点的全加速度为：,例2-1齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知r1、r2、1、a1，求2、a2。,解：因啮合点无相对滑动，所以,由于,于是可得,即,例2-2一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程为，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。,解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为,求当t=1s时，则为,因此轮缘上任一点M的速度和加速度为,方向如图所示。,M点的全加速度及其偏角为,如图。,现在求物体A的速度和加速度。因为,上式两边求一阶及二阶导数，则得,因此,例2-3在刮风期间，风车的角加速度，其中转角以rad计。若初瞬时，其叶片半径为0.75m。试求叶片转过两圈（）时其顶端P点的速度。,解：,主动轮与从动轮角速度之比称为传动比，记为i12。,7.4轮系的传动比,齿轮传动（外啮合）,齿轮传动（内啮合）,带轮传动,1)齿轮传动,即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反比。,由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故,即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的齿数成反比。,因为两个齿轮啮合圆之间无相对滑动,故vA=vB,所以,2)带轮传动,因vA=vB,故,例2-4下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13；(b)如果n1=3000r/min，求n3.,解：求传动比：,则有：,1.角速度和角加速度的矢量表示,角速度和角加速度可用矢量表示，按右手螺旋法则规定，的方向。,则角速度矢量可写成,角加速度矢量可写成,角速度矢量和角加速度矢量均为滑动矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反时，刚体越转越慢。,7.5以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度,2.刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示,且矢积r的方向与v的方向相同,即，任一点的速度矢可以用角速度矢与该点矢径的矢量积