简明微波课后习题答案

作业作业 Problems1-1 1. 试分析日常观察到的一种波现象，并指出它的特点。 答：水波，光波，绳子的驻波现象。 2. 无穷大导电媒质的参数为 0 ， 0 ，其中极大，这时 Maxwell 方程可写成: = = HjE EH 0 试导出它的波动方程，并给出一维波 z x exEE = 的特点，其中 x 为单位矢量。 答： = = (2) (1) 0H jE EH ，对(1)式两边取旋度EH =)( (3) 将(2)带入(3)得到 )()( 0 2 HjHH = 由 Maxwell 方程 0= B ，则0= H 。所以0 0 2 =HjH 。 同理有 0 0 2 =EjE 。 一维波 z x exEE = ,由 zk aa =。 y z xk aeEEaH 1 1 = 坡印廷矢量 z xz eEaHES 22 1 = 一维波特点为平面波，沿 Z 轴正方向传播。 另外一种 =+ =+ 0 0 22 22 EE HH 其中 c 0 22 =， j c = 0 2 j=， 2 00 j = 一维波 z x exEE = , 2 ) 2 ( ) 2 ( 00 00 z jz x z j x z x eexE exEexEE = = 波为沿z方向传播，振幅随Z方向衰减，衰减因子为 2 0z ，相位因子常数为 2 0z 。 3 EiEt HtSiHi Er HrSr St 0,04 0,0 0z 先分区写出一般解的形式 区域 区域 0 )( )( 0 )( )( z eHzH eEzE z eHeHzH eEeEzE jkz lo jkz lo jkz ro jkz lo jkz ro jkz lo = = = += 一般解的写出是基于任何区域解都是由入射波加反射波构成。所不同的是 z0 无反射波。 再考虑边界接口条件(z=0 处电磁场切向分量连续) = =+ loroio loroio HHH EEE 于是有于是有 lo lo roio roio H E HH EE = + 。 由入射平面波 i jkz x EexEE = , zkSkk iii = jkz x jkz xiii eEyeExzEkH = 1 11 设反射波电场 jkz r zjk rr exEexEE r + = kkk ri = ir kk = 反射波电场 zjk xr r exEE + = ， 反射波磁场 jkz x jkz xrrr eEyeExzEkH + = 1 ) ( ) ( 11 jkzx iii e E zHES 2 2 = , jkzx rrr e E zHES 2 2 = 合成 )sin(2)(kzEj xeeExEEE x jkzjkz xri =+= 合成 / )cos(2/ )(kzEj yeeEyHHH x jkzjkz xri =+= )2sin( 2 )cos()sin( 4 22 kz E j zkzkz E j zHES xx = 4 答：由 d=2mm,D=120mm , )ln( 1 22 0 0 0 d dDD C L Z + = = 1 . 574 。 8 0 0 0 10 3 = LC。 5 答： r a b C L Z 0 0 0 2 ln =61.31 。 8 000 1053 . 0 = r LC。 作业作业 Problems1-2 1 答： )tan( )tan( )( 0 0 zjZZ zjZZ ZzZ lo l + + = Z=2.5cm Z(z)=25; Z=5cm Z(z)=100; 3 1 50100 50100 0 0 = + = + = ZZ ZZ l l l 2. 1 0 0 = + = ZZ ZZ l l l )tan( )tan( )( 0 0 zjZZ zjZZ ZzZ lo l + + = = = 50, 00 ZZl )tan(50)(zjzZ= = ) (zZj50 时, 1)tan(= z 则 4 +=kz 则 (cm) 4 5 5 +=kz , 2, 1, 0=k -0.2-0.15-0.1-0.050 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 3. )1)( 2 0 0 1 lj lgg g eZZ ZE A + = )1)( 2 0 2 0 2 lj lgg lj lg eZZ eZE A + = 3 1 3 1 0 0 0 0 = + = + = ZZ ZZ ZZ ZZ l l l g g g 5 4 1 9 30 j e A =, 5 4 5 4 2 12 9 10 j j lj l e e eAA = 则 3 )9( 5 1 )( 1030 9 1 )( 55 4 5 5 4 55 4 5 5 4 zjjzj j zjjzj j eee e zi eee e zu = + = 作业作业 Problems1-3 1= + =25 5050 5050 32 RRZl 负载发射系数 3 1 5025 5025 0 0 = + = + = ZZ ZZ l l l 当 4 g l l =时 总输入电阻为 0 2 01 50)/(ZZZR l = 所以输入反射系数0= 沿 )sin(2)cos( 2 1 2 3 50/25)(1 2 1 50/25)(1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 00 zjzee ee eIZUeIZUzU zjzj zjzj zj ll zj ll += += += 2因为 0 0ZZl=，所以负载阻抗与短路枝节并联等效到输入端时为纯电阻， 等于= 50 0 Z; 当4/ g ll=时，2525 5050 2500 2 0 j jZ Z Z l A = + =; 8/ gs ll=时 50) 4 tan()tan( 00 jjZzjZZB= = + =50 2525 25*)2525( j jj ZZ BA 所以当 4 g l l =且 8 g s l l =时 源端输入反射系数为 0。 l 224 ggg s mm l lll =+ 1 arctan arctan2 2 + l 2222 gg s mm l ll =+ 作业作业 Problems1-4 解：不考虑负载，则归一化传输矩阵为 + + = = = sincos cos2 jsin sincos 1 0 j2 1 1 j 0 1 1 0 j2 1 sincos sincosj sin cos 1 0 jX 1 1 jB 0 1 1 0 jX 1 cos jsin jsin cos 1 0 jX 1 1 jB 0 1 1 0 jX 1 j j j A X=2;B=1; 要传输能量最佳，则0=;即1 sincoscos2 sinsincos 2221 1211 = + + = + + = j j AZA AZA Z l l in 即要求0cos2sin=+;所以2arctan)2arctan(= 作业作业 Problems1-5 1：j1 0 = z z z， 2 1 1 1j j Y + = =，)1 (01 . 0 0 j Z Y Y+=。 2: 5 21 211 11 1 1j j j j j z z+ = + = + + = + = , 5 5 =, 55 55 551 551 1 1 + = + = + =2.618 . 3: 12.7887i- 20.5808 )25 . 0 /90*24 . 0 tan(*)50100(50 )25 . 0 /90*24 . 0 tan(*5050100 *50 tan tan 0 0 0 = + + = + = jj jj zjZZ zjZZ ZZ l l in 4. zj zj ZZin + + = tan tan1 0 当 3 g Z l =时， lin ZZ=; 所以j j j j j ZZ g g l 23.74 7 . 35 35 351 50 ) 3/tan( ) 3/tan(1 0 += + + = = l l 作业作业 Problems1-6 1 （1） 449 14049 503550 503550 . 0 j j j ZZ ZZ l l l + = + + = + = 3 1 =l，2 1 1 + = l l （2） zj zj Z zj zj ZzZ + + = + + = tan2 tan21 tan tan1 )( 00 其中 zzz+= =25Z 0 min Z =100Z 0max Z zzz tan2 tan21 )( 0 += + + = zj zj ZzZ 2 )( 2 )( ll z = = 当=25)(zZ kz = , 2, 1, 0=k 所以 0,1,2k ) 12( 2 1 )( 2 1 =+= ll k k z 当=001)(zZ 2 += kz , 2, 1, 0=k 所以 0,1,2k 2 2 1 =+= l kz 49 140 arctan= l 2 , 4 l 所以距离负载最近的应该为最大值点，且 98 . 0 4 )49/140arctan( 2 )49/140arctan( = = l g Z (3)= + + = + + =)35 5 . 47( )5/2tan()3550(50 )5/2tan(503550 50 )tan( )tan( 0 0 0 j jj jj ljZZ ljZZ ZZ l l in 01 . 0 014 . 0 1 j Z Y in in += 查 Smith 圆图法 (1) 先将阻抗归一化. )7 . 01 ( 0 j Z Z Z l l += 在 Smith 圆图上找出对应点，利用等发射系数对系统处处有效，得到2=; l l + = 1 1 所以 3 1 1 1 = + = l 。 (2) 将 l Z沿等圆转至波腹点 得 gg dll098 . 0 )152 . 0 25 . 0 (=; 将 l Z沿等圆转至波节点 得 g dl152 . 0 =; 可见距离负载最近的点为极大值点。 (3) 将 l Z沿源方向旋转 g l 10 12 ，得到7 . 095 . 0 jZin=； 反归一化，得到=)35 5 . 47( 0 jZZZ inin 使 in Z旋转 o 180得到5 . 07 . 0jYin+= 反归一化，得到)01 . 0 014 . 0 (/ 0 jZYY inin = 3 解： += += 2221212 2121111 izizu izizu 令 22 ii = += += 2 21 22 2 21 1 212 21 2211 2 21 11 1 1 )( i Z Z u Z i iz z zz u z z u 所以 Z 1 Z- 21 22 21 12 21 2211 21 11 = Z Z Z ZZ Z Z A 当互易时有1 Z 1 )Z-( 21 12 21 2211 21 22 21 11 = Z ZZ Z Z Z Z 即 2112 ZZ= (2)证 22 2112 11 22 2112221111 21 22 21 12 21 2211 21 11 ZZ ZZ Z ZZ ZZZZZZ Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z ll l l l in + = + + = + + = 当0= l Z时 22 2 12 11 Z Z ZZ S in = = l Z 11 ZZ o in = A ll ZZ = A l A in ZZ Z ZZ + = 22 2 12 11 求解以上方程组可得 S in A in A in o in A l S in A in S in o in A in o in A lo in ZZ ZZZ Z ZZ ZZZZZ ZZZ = = )( ; )( ; 222111 作业作业 Problems1-7 1. =250 00l ZZZ mmm f v l pg 75075 . 0 101000 103 4 1 4 1 4 6 8 = = l 2. 解2 . 045 . 0 jYl+= 按 等 电 导 圆45 . 0 =g交 辅 助 圆 为 两 点 ， 其 中 一 个 为 16 . 0 44 . 0 jYa+= 所以)493 . 0 (04 . 0 2 . 016 . 0 2 对应jjjY= 所以 1 (0.4930.25)0.243 gg lll= 将16 . 0 44 . 0 jYa+=向电源方向转 o 90即8/ g l 得到85 . 0 1 3 jY+=,所以85 . 0 4 jY=; gg lll138 . 0 )25 . 0 388 . 0 ( 2 = 3. 5 40 200 min max = U U 可以找出波节点对应的阻值为2 . 0/1= 以等圆向负载转 0.15 g l得到22 . 1 55 . 0 jZl=;所以732330 0 jZZZ ll =. 0.1 68 . 0 31 . 0 1 对应j Z Y l l = 将 l Y等圆向电源交匹配圆于两点 ）（对应182.077.11jY+=,）（对应 318 . 0 77 . 1 1 2 jY= 所以 gg dll082 . 0 ) 1 . 0182 . 0 ( 1 =, gg dll218 . 0 ) 1 . 0318 . 0 ( 1 = 332 . 0 77 . 1 对应j,168 . 0 77 . 1 对应j 所以 gg lll082 . 0 )25 . 0 332 . 0 ( 1 =, gg lll418 . 0 )168 . 0 25 . 0 ( 2 =+= 一般选用较短的一组。 4. 5 . 05 . 0 600 j Z Z l l += ）（对应 338 . 0 1jYl= 将 l Y沿等圆向电源旋转 0.1 g l得 0.438)( 34 . 0 43. 0对应jYl= 43 . 0 =g的圆与辅助圆交于两点，其中一点 0.033)( 17 . 0 43 . 0 对应jYa+= 所以 0.075)( 51 . 0 )34 . 0 (17 . 0 2 对应jjjY=, gg lll325 . 0 )075 . 0 25 . 0 ( 1 =+= 将 17 . 0 43 . 0 jYa+=沿 等圆 向 电 源 旋 转)90(8/ o g 即l， 与 匹 配 圆 交 于 一 点 )157 . 0 (88 . 0 1 3 对应jY+=,所以)385 . 0 (88 . 0 4 对应jY= gg lll135 . 0 )25 . 0 385 . 0 ( 2 = 作业作业 Problems2-1 1 试证明：空心波导内部不可能存在 TEM 模。 根据约定：我们把“空心”管子称为 Waveguide。(事实上，我们后面将讨论广义地说， 双导体管子也是波导)。现在将证明，空心波导内不能传播 TEM 波。 由于波导要传输电磁能量。也就是说，必须要有Z 方向的 Poyningting 矢量，所以，它 必须具有横向的电场E 和磁场H 。 磁场H 必须是封闭成圈的，因而只有如图 a 和 b 两种可能。 (a)(b) 小巢的两种可能 根据 Maxwell 方程要求 t E JH += 上面可能(a)明显有 Hz 分量不满足 TEM 波要求。而可能性(b)的小巢中间要末有传导电 流J ，要么有E 。 E J (c)(d) (c)有中心导体有中心导体 (d)有中心电场有中心电场 情况(c)有中心导体也即同轴线，它可以传播 TEM 波，但不属于这里讨论的“空心” 波导。情况(d)很明显存在 Ez 分量，当然不是 TEM 波。 由此归纳出：空心波导不存在 TEM 波。 2 解：不同截面的波导会导致 L,C 发生变换；从而导致 0 Z,发生变化。 3 证明：由于 TEM 模，则0= zz HE。 0= ztt HjE 对两边取旋度 0)( 2 = tttttttt EEE 由于其中 0 )0( )()( = = += + += z t tt ztt E z E zE EzE z zE 且 所以0= tt E 所以0 2 = ttE 。 而)(zueE tt =,带入可得 0)( 2 = tte zu 而0)(zu(通常情况) 0 2 = tte 。 作业作业 Problems2-2 1 解：由 maxwell 方程得到： = = EjH HjE 得到波动方程 0 22 =+EkE （求解 z 方向） 由分离变量法可以得到 + + = = )( )()()( 2 2 2 2 2 2 2 zyx zZyYxXEz 则可以得到 0 2 2 2 2 2 2 2 =+ + + XYZk z Z XY y Y XZ x X YZ= 0 111 2 2 2 2 2 2 2 =+ + + k z Z Zy Y Yx X X += = = = 2222 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 yx z y x kkk k z Z Z k y Y Y k x X X 可得 zj yjkyjk xjkxjk CezZ ebebyY eaeaxX yy xx = += += )( )()( )()( 21 21 所以 zj yjkyjk xjkxjk z eebebeaeaEE yy xx +=)( 21210 代入边界条件，可得 当0=x时，0, 0 21 =+=aaEz 当ax =时，0, 0 21 =+= ajkajk z xx eaeaE 由以上两式可得 3 , 2 , 1,=m a m kx ;同理 3 , 2 , 1,=n b n ky 所以 zj z ey b n x a m EE =)sin()sin( 0 由矩阵 = y H x H y E x E k H H E E z z z z c y x y x 0 0 j- 0 j 0 0 j 0 j 0 0 1 2 可以得到 zj c x ey b n x a m E a m k j E =)sin()cos( 0 2 zj c y ey b n x a m E b n k j E =)cos()sin( 0 2 0 2 sin()cos() j z x c jmmn HExy e kaab b wcnnn - = 0 2 cos()sin() j z y c jnmn HExy e kbab b wc nnn - =- 其中 222 yxc kkk+=; 与 TE 模相差半波长。不存在 TM00，TM01，TM10，最低阶 TM11 2HjE = zj xx ex a EaH =)sin( 0 zj zz ex a E j aH =)cos( 0 作业作业 Problems2-3 1. 解 10 TE模的anm b n a m c 2)0, 1( )()( 2 22 = + =l; 而 20 TE模的anm b n a m c = + =)0, 2( )()( 2 22 l 所以 10 TE模可能工作的波长范围是:aa2l; 对应的频率范围是GHzfGHz12.1356 . 6 l，此时 11,11TM TE为凋落模。 2. 解：此时 mmmm142.76083.50=l则 a 应该小于 min l,大于 0.555 max l mm083.50 min =l 0.555 max l=42.259mm 所以 a=47.55mm 合格。 B 则应小于等于 0.5a=23.775mm ，所以 b 也合格。 作业作业 Problems2-6 1 解：l ll l l29 . 2 )/(1 2 = = c g mfc06 . 0 /=l mR0406 . 0 = 则 g l0.1374m 。86.44 2 = g l 若波导的半径扩大一倍，因为R c 641 . 1 =l，所以 c l变为原来的 2 倍， 则 )45 . 0 (1/( 22 2 = l l g =93.5 ,即增大。 2 解：mfc1 . 0/=l 对于矩形波导，aa2l，5 . 0/ab。所以 a=0.05m,bmax=0.025m S 矩形=a*b=0.00125m2; 对于圆波导，传输主模为 TE11 模。 1101cTEcTM lll 2.62R+,所以同轴线 2 的 TEM 频带宽。 4. 5. 解 2 2 2 2 1 )( 1 + = E rr E r rr E t 因为ErE= ,尽管0= （TEM 模的对称性） 但仍有r r 2 2 = ，从而0 2 = E t 等价为 0 1 22 2 =+E rrdr Ed rd Ed （1） 令 zj erRzZrRE =)()()( 所以式(1)可以改写为0 1 22 2 =+R rrdr dR rd Rd (2) 令rter t ln=带入(2)有 0 2 2 = R td Rd 得到rC r CeCeCrR tt +=+= 2 1 121)( 由边界条件可知，当r,0)(=rR; 所以 zj e r CE r CrR = 1 1; 1 1)( 当ar =时， 0 EE = 所以aEC 0 1= zj r e r aE E = 0 ,同理 zj e r aE H = 0 作业作业 Problems2-12 1 对称， = + = o e oe oe U U UU UU U U 1- 1 1 1 2 1 且 = += 2/ )( 2/ )( 21 21 UUU UUU o e = = 2 1 1- 1 1 1 2 1 U U U U o e = o e I I I I 1- 1 1 1 2 1 = 2 1 1- 1 1 1 2 1 I I I I o e 由 = 2 1 2221 1211 2 1 U U YY YY I I = + + = = o e o e o e U U YYYYY YYYYY U U YY YY I I 2 - - 2 2 1 1- 1 1 1 1- 1 1 1 2 1 1222112211 2211122211 2221 1211 由对称，可知 + = o e o e U U YY YY I I 0 0 1211 1211 令 oe oe Z YYY 1 1211 =+； oo oo Z YYY 1 1211 = + + = = 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1- 1 1 1 1 1 1 1 1- 1 1 1 2 1 U U ZZZZ ZZZZ U U Z Z I I oooeoooe oooeoooe oo oe 2 = = + + = 18 1 90 1 9 1 45 1 2 1 5 3 45 1 120 1 45 1 120 1 45 1 120 1 45 1 120 1 2 1 2 1 I I 所以AI011 . 0 90/1 1 =,AI056 . 0 18/1 2 = 作业作业 Problems3-1 1.(1)网络对称 2211 SS= 0 2 2 220 1 1 11 12 | = = aa a b S a b S (2)网络互易 2112 SS= 0 1 2 210 2 1 12 21 | = = aa a b S a b S （3） 0 1 1 11 2 | = = a a b S 当 2 端口匹配时，1 端口的自反射系数 0 2 1 12 1 | = = a a b S 当 1 端口匹配时，2 端口到 1 端口的传输系数 2 + = 2 2 1 1 1 Z 1 i U Y ZY i U + + = + + + = 2 2 2 1 A-A-AA 2 A2 A-A-AA 1 11211222 22211211 22211211 ZYYZ YZZY ZYZY AAAA S 作业作业 Problems3-2 1 （1） 1 0 Z/Z 1 0 =A + = + = Z