第五章(第6,7,8节)多自由度系统的振动

5.6无阻尼系统对任何激励的响应模式叠加方法，求多自由度无阻尼系统对任何激励的响应导出模式分析，现仅介绍离散系统的自由振荡，5.4节探讨如何使用模式分析方法确定对n自由度无阻尼系统初始条件的响应振荡分析可以用于导出对无衰减系统的任何激励的响应，有时还可以导出衰减系统的响应。 在不考虑阻尼的情况下，n自由度系统的强迫振动微分方程式为(5.6-1)，其中，m和k为nn阶质量矩阵和刚性矩阵，且n维向量q(t )和F(t )分别表示广义坐标和广义力。 5.6无阻尼系统对任意激励的响应模式叠加法，方程(5.6-1 )构成了n个联立常数的常微分方程组. 这些方程式是线性的，但求解也不容易。 用振荡型解析求解很方便，振荡型解析的基本思想是将联立方程式变换为相互无关的方程式，其变换矩阵是振荡型矩阵。 为了在模式分析中求解方程(5.6-1 )，首先需要求解特征值问题，即(5.6-2 )，方程中的u是模式矩阵，2是固有频率的平方对角矩阵。 模式矩阵能够归一化且令人满意(5.6-3)，多自由度无阻尼系统求出对任何激励的响应而导出模式分析，5.6无阻尼系统导入对任何激励的响应模式叠加法，导入正则坐标且进行如下线性变换： 式中(t )是系统的正规坐标。 因为u是常量矩阵，所以和之间存在相同的变换。 若将式(5.6-4)代入式(5.6-1)，则在(5.6-4)、(5.6-5)、式(5.6-5)左侧乘以uT，若考虑(5.6-6)、式(5.6-3)，则式中的N(t)=uTF(t )为与广义的坐标向量(t )对应的n维的广义的另外，多自由度无阻尼系统求对任意激励的响应导出振动模型分析，5.6无阻尼系统导出对任意激励的响应振动模型叠加法，2为对角矩阵，因此方程(5.6-7)表示相互无关的方程，即，(5.6-8)，方程(5.6-8)表示单自由度系统的运动设广义坐标q(t )的初始条件为(5.6-9)，则式(5.6-4)的变换(t)=u-1q(t )，由(5.6-10 )的对多自由度无衰减系统的任意振荡的响应求解导出振荡分析，关于5.6无衰减系统的对任意振荡的响应振荡叠加法也可以将uTM同时乘以其两侧的公式(5.6-11 )中的初始条件下的方程(5.6-8)的齐次解是正则坐标中的r阶模式的初始条件。 由于任意激励Nr(t )的特性解可以由卷积给出，即(5.6-13 )，多自由度无阻尼系统对任意激励的响应求解是模式分析，5.6无阻尼系统对任意激励的响应模式叠加法，以及对自由振荡初始条件的响应，因此r阶模的全解是激励因为广义坐标q(t )的响应作为对正规坐标的响应和对初始条件的响应之和是广义坐标(t )的响应的叠加，所以当将总正规坐标解(5.6-14 )代入方程(5.6-15 )时，可以获得没有阻尼的n自由度系数的所有响应。 (5.6-15 )、(5.6-14 )、多自由度无阻尼系统对任意激励的响应求解导出模式分析、5.6无阻尼系统对任意激励的响应模式重叠法、例题：单位阶跃激励初始条件的响应(例5.6-1 )、例5.6-1考虑图5.6-1所示的系统，使系统激励求出系统在零初始条件下的响应。解：系统的运动微分方程，为了用模型分析方法求解，首先求解特征值问题。 所得到的是图5.6-1、5.6无衰减系统通过对任意激励的响应模式重叠法，将模式向量归一化，将模式向量排列为模式矩阵，对模式矩阵进行线性变换，例题：对于单位阶跃激励初始条件的响应(例如5.6-1) 5.6无衰减系统的任意激励将上式代入式(5.6-14 )后，例题：单位步进激励初始条件的响应(例如5.6-1 )、5.6无衰减系统对任意激励的响应模式重叠法、广义坐标q(t )的响应为例题：单位步进激励初始条件的响应(例如5.6-1 )、5.6无衰减系统对任意激励的响应模式例5.6-2图5.6-1所示的系统的输入矢量为f的解：根据前题，使用模式矩阵u变换后的正规激励矢量将上式代入(5.6-14 )，例题：简并激励系统的响应(例5.6-2 )、对5.6无衰减系统的任意激励的响应模式重叠法，最后， 例题：简并激励系统的响应(例如5.6-2 )，5.6无衰减系统对任意激励的响应模式叠加法，由式(5.6-14 )得到的解，如果存在包括施加激励作用于系统的阻尼，则临时响应立即衰减。 如果只考虑强制振动的稳态响应，则只取sint项。 例题：简单调谐激励系统的响应(例如5.6-2 )、5.7自由度系统的衰减、衰减概述、工程实际上始终存在衰减(摩擦、速度均方衰减、材料衰减、结构衰减、粘性衰减等)影响系统的振动。 由于各种阻尼机构复杂，在线性系统的振动分析计算中，需要将各种阻尼简化为粘性阻尼，其阻尼力的大小与速度的平方成正比。 阻尼系数应由工程上的各种理论和经验公式给出，或者直接根据实验数据确定。 对于5.7多自由度系统的阻尼、阻尼矩阵的特征以及一些常用阻尼，在一般的粘性阻尼多自由度系统中，系统的运动微分方程式为(5.7-1)，式中的质量矩阵m、刚性矩阵k和外部激励矢量F(t )的含义与前面相同， 阻尼矩阵c的形式为(5.7-2)，阻尼矩阵c通常为正或半正对称矩阵。 1 .比例衰减：当衰减矩阵c恰好与质量矩阵m或刚性矩阵k成比例时，或者当c是m和k的一个线性组合时(5.7-3 )，方程中的a和b是正整数，并且该衰减称作比例衰减。 5.7自由度高的系统的阻尼可以使用无阻尼的系统正常模式矩阵u来对角化c，即，当广义坐标被变换为正常坐标时，处于正常坐标的阻尼矩阵是对角矩阵，(5.7-4)，即，常用阻尼1比例阻尼，5 令a=0、b0是指在各模式振动中衰减与该模式所对应的固有频率成比例。 如果适当地选择指令、(5.7-5)或(5.7-6)、(5.7-7)、一些常用阻尼器2模式比例阻尼器、5.7自由度系统阻尼器、a和b的值，则实际振动中出现的趋势将近似反映出来。 还意味着，常用的一些阻尼器2模式比例阻尼是(5.7-8)每个模式振动，其阻尼与相应于该模式的固有频率成反比。 b=0，a0，如果有5.7自由度系统阻尼，研究方程(5.7-1 )的解耦问题。 可以看出，能否利用正规坐标变换进行解耦，阻尼矩阵能否对角化是很重要的。 存在阻尼振动系统的解耦问题，uTCu通常不是对角阵列。 在工程实际振动系统中，阻抗比较小的情况很常见，但是这种情况下，很少出现起因于uTCu的非对角项的耦合比对角项大或大的情况。 因此，即使省略由uTCu的非对角线元素组成的衰减项，并且将uTCu中的所有非对角线元素的值设置为零，也不会引起大的误差。5.7多自由度系统的阻尼，与正规坐标对应的阻尼矩阵可以表现为对角矩阵，即(5.7-9)，因此能够在有阻尼的多自由度系统的振动问题的解析中有效地推广振动型重叠法。 具有阻尼的多自由度系统正则坐标的运动微分方程式，从(5.7-10 )、阻尼振动系统的解耦问题、5.7多自由度系统的阻尼、实践经验可知，适用于振动型阻尼比r为0.2以下的弱阻尼系统。 或者以(5.7-11 )、系统阻尼较大时，无法用无阻尼的系统模式矩阵求解方程式，即，阻尼矩阵c无法对角化，可以将一般理论应用于此情况，其包括复特征值和复特征向量存在减振振动系统的解耦问题，存在5.8对减振系统的任意激励的响应-模叠加法，对于具有减振的多自由度系统，在外部激励的作用下，系统的运动微分方程式假定粘性减振系统的运动微分方程式中的减振矩阵c能够对角化，通过正规坐标变换进行解耦后，得到减振系统的运动微分方程式， 从式(5.7-9)得到模式衰减比5.8-1)，多自由度阻尼系统求出对任意激励的响应而导出的振动型分析，有5.8阻尼系统对任意激励的响应-振动型重叠法，对应于第r次正态坐标r(t )的模式力向量为(5.5) 周期性激励，任意激励。 多自由度求衰减系统对任意振荡的响应导出振荡分析，5.8假定衰减系统对任意振荡的响应振荡叠加法，1 .具有简易振荡、粘性衰减的多自由度系统，其各广义坐标具有相同频率、相同相位的简易振荡作用。 当将方程(5.7-11 )写成复数格式时，(5.8-3)、(5.8-4)，其中(5.8-5)，多自由度有阻尼系统对简并激励的响应求解是模式分析，5.8有阻尼系统对任意激励的响应-模式叠加方法，其中hr ()、r和r分别对应于正态坐标正态坐标的稳态响应为(5.8-6)、(5.8-7)、(5.8-8)、(5.8-9)，多自由度地确定对衰减系统退化激励的响应以得到模式分析，并且由于5.8有衰减系统对任何激励的响应模式叠加方法，因此对退化激励的稳态响应为(5.8) 广义坐标的稳态响应可以表示为，(5.8-11 )多自由度地确定衰减系统对简并激励的响应以得到的振动模型分析，当外部激励频率与系统的第r阶固有频率r的值相对接近时，即r 可以看出，第r阶正态坐标r(t )的稳态强迫振动的幅度值的增大与单自由度系统的谐振现象完全相似。 2 .周期激励、作用于系统各坐标的外部激励如果是具有相同周期的周期力，则首先可以傅立叶级数展开各外力，即(5.8-12 )，式中的系数a0、aj和bj可以用第3章3.2节给出的式子计算。 求出衰减系统对一般周期振荡的响应，导出振荡分析，分别求出5.8有衰减系统对任意振荡的响应-振荡叠加法、基于外激励的各简并分量的系统的各稳态强制振荡解，将各解叠加，则得到基于该周期力的系统的响应(5.8-14 )、(5.8-15 )、(5.8-16 )求出衰减系统对普通周期激励的响应并导出振动态分析，其中5.8衰减系统对任何激励的响应-振动叠加方法，任何阶数的正态坐标响应r (t ) (r=1，2，n )分别表示不同频率激励的响应因此，在一般的周期性激励函数中，发生共振的可能性比简并函数大。 因此，无法预测各模式中哪个模式受到激励的强烈影响。 但是，激励函数被傅立叶级数展开后，能够对每个激励频率j按照固有频率r进行比较，能够推定为存在强振动。另外，有求衰减系统对一般周期振荡的响应并导出振荡分析的5.8振荡系统对任意振荡的响应-振荡叠加法，原坐标的稳态响应为(5.8-17 )，3 .对于任意振荡，外力一般对于任意时间变化的振荡，即使是振荡叠加法，也能够得到各广义坐标的响应求解衰减系统对一般周期激励的响应，导出振型分析，5.8有衰减系统对任意激励的响应-振型叠加法，(5.8-18 )、(5.8-19 )、(5.8-20 )、(5.8-22 )， 求出衰减系统对非周期一般激励的响应，导出振动型分析，5.8有衰减系统对任意激励的响应-振动型叠加法，例5.8-1求出图5.8-1所示衰减弹簧质量系统的强制振动的稳态响应。 解： q1和q2的坐标如图5.8-1所