函数极限概念

引言在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法. 一、函数极限概念 定义1 设为定义在上的函数，为定数.若对任给的0，存在正数（），使得当时有 ，则称函数当趋于+时以为极限，记作 或 定义2 （函数极限的-定义）设函数在点 的某个空心邻域（；）内有定义，为定数。若对任给的0，存在正数（），使得当0时有，则称函数当趋于时以为极限，记作 或. 定理1 设函数在（或）内有定义，为实数。若对任给的，存在正数，使得当（或）时有 ，则称数为函数当趋于（或）时的右（左）极限，记作 或. 定理2（唯一性）若极限存在，则此极限是唯一的. 定理3（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界. 定理4（局部保号性）（或0），则对任何正数（或0，=，则当时有，=.所以有. 例2 用极限的定义证明 . 证明 由于, , 因此 于是, 对任给的, 取则当时, 有 注 用极限的定义时, 只需要证明存在, 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的(或)一致, 最后结合在一起考虑. 2 利用极限的运算法则 定理6（四则运算法则） 若极限都存在，则函数，当时极限也存在，且； 例3 求, 其中. 解 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限,原式 例4 求. 解 原式 . 注1 对于和、差、积、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.注2 运用极限法则时, 必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.3利用迫敛性（夹逼准则） 定理7 （迫敛性），且在某内有 ，则 例5 求下列函数的极限.(1) ；(2) . 解 (1)因为-1时，于是 ,又因为 ，由迫敛性得 （2）因为，又因为 ，又迫敛性得 =0. 例6 求. 解 当时, 有 , 从而 ,由夹逼准则得 ,所以 . 注1 迫敛性（夹逼准则）多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.注2 利用夹逼准则求函数极限的关键： （1）构造函数, , 使； （2）, 由此可得.4利用两个重要极限 两个重要极限:（1)； (2).根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式进行推广: (1) ()； (2) . 例7 求下列函数的极限 （1） （2） . 解（1）令 ， (2) 例8 求下列函数的极限 （1） （2） . 解（1）. （2） = .5利用无穷小的性质和等价无穷小代换 定理8 设函数在内有定义, 且有 . (1) 若, 则； (2) 若, 则. 性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量； 性质3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量. 定理9 设,均为无穷小, 且, 且存在,则 . 例9 求极限 . 解 因为 所以 =. 例10 计算. 解 由于 ,而 , , , 故有 . 例 计算 . 解 因为 且 .由定理得， . 注1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换. 注2 常用等价代换公式: 当时, , , , , 等.在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题.6.利用恒等变形法 在求函数极限时，利用简单的恒等变形可使极限易于计算，恒等变形的手段有约分法有和有理化法.（1）约分法 适用于计算型函数极限，如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子（特别是零因子）时，可通过约简式计算极限值. 例12 计算的值（为正整数）. 解 原式= = =.注 要首先将分子分母因式分解，找到公因子（特别是零因子），接着即可约去公因子，求函数极限.（2）有理化法 在求解存在根号的函数极限时，通过选择分子或分母，或分子分母同时有理化约去零因子，即可转化为一般的极限问题. 例13 计算： （其中）. 解 原式= = = =注 此题是通过分子有理化来简化运算，在具体解题时根据简便原则进行选择何种方式的有理化.7. 利用洛必达法则 （1）型不定式极限 定理10 若函数和满足： () ； () 在点的某空心邻域内两者都可导, 且；() (可为实数, 也可为), 则 .（2）型不定式极限 定理 11 若函数和满足： () ； () 在点的某空心邻域内两者都可导, 且； () (可为实数,也可为),则 . 注 洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的, 在同一运算过程中可连续使用, 直到求出所求极限. 但是, 对于其他不定式的极限（如 等类型）如果无法判断其极限状态, 则洛必达法则失败, 但只需经过简单变换, 它们一般可以化为型和型的极限. 例 12 计算：（1） （2） ; （3） . 解 （1）这是一个型的不定式极限, 直接应用洛必达法则得: . （2）这是一个型的不定式极限, 用恒等变形将它转化 为型不定式极限, 并应用洛必达法则得到 . （3）这是个.类似地先求其对数的极限（）：于是有 =.注1 要注意条件，也即是说，在没有化为时不可求导.注2 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.注3 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误.8.利用泰勒展开式 泰勒展开式：若在点有直到阶连续导数,那么 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式： (1) (2) (3) (4) (5) (6)上述展开式中的符号都有: 例13 计算 . 解 利用泰勒公式求解 因而求得 . 9.利用拉格朗日中值定理 定理12 若函数满足如下条件： (1)在闭区间上连续;(2)在内可导;则在内至少存在一点,使得此式变形可为: 例14 求. 解 令 对它应用中值定理得 即 连续,从而有 结论 求解函数极限时，不同的函数类型所采用的技巧是各不相同的.对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，所以我们必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法.这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.这就要求我们要吃透其精髓，明了其中的道理，体会出做题的窍门.达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时才可能得心应手.从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格， 我们应具体问题具体分析,不能机械地用某种方法，对具体题目要具体分析，有时解题时可多种方法相结合，要学会灵活运用.参考文献：1 华东师范大学数学系. 数学分析M.第三版. 北京: 高等教育出版社, 2001.2 彭辉. 高等数学辅导M. 北京: 高等教育出版社, 2003.3 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京: 高等教育出版社, 1995.4 丁家泰. 微积分解题方法M. 北京: 北京师范大学出版社, 1981.5 刘三阳. 高等数学典型题解M. 西安: 西北工业大学出版社, 2003.6 吉米多维奇. 数学分析习题集解题M. 济南: 山东科学技术出版社, 1999.7 钱志良. 谈极限的求法J. 常州信息职业技术学院学报，2003, 4(17):24-26. 8 张敏捷. 函数极限的几种特殊求法J. 黄石理工学院学报, 2008, 4(24):56-58. 9 程鹏, 张洪瑞, 李占现. 求函数极限的方法J. 河南科技学院学报, 2008, 9(36):133-134. 10 Rudin W. Principle of Mathematical AnalysisM. New York: John Pearson Edution, 1990.致谢在本次论文的撰写中，我得到了崇金凤老师的精心指导，不管是从开始定方向还是在查资料准备的过程中，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提