实变函数与泛函分析00

Lebesgue积分思想简介,序言,微积分基本定理,若f(x)在a,b上连续，则,若F(x)在a,b上连续，则,微积分发展的三个阶段,创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何）(无穷小)严格化（19世纪）:Cauchy,Riemann,Weierstrass(极限理论(-N,-语言)，实数理论)外微分形式（20世纪初）：Grassmann,Poincare,Cartan（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）,微积分继续发展的三个方向,外微分形式(整体微分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）复数域上的微积分（复变函数）微积分的深化和拓展（实变函数）,1.Riemann积分回顾,(1)Riemann积分的定义,积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。,其中,(2)Riemann可积的充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,(2)Riemann可积的充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,(2)Riemann可积的充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积,例：Dirichlet函数不Riemann可积。,注：D(x)的下方图形可看成由0,1中每个有理点长出的单位线段组成。,上积分,下积分,（3)Riemann积分的局限性,a.微积分基本定理定理：若f(x)在a,b上可微且f(x)在a,b上Riemann连续,则,注：推荐大家看看龚升写的话说微积分，简明微积分,数学历史的启示（数学教学，2001.1）,微积分严格化后(高等数学研究,2002,1-3）,1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；,b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）,例：设rn为0,1中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作0,1上的函数列,Riemann积分,为使f(x)在a,b上Riemann可积，按Riemann积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积。Lebesgue提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；,(积分与分割、介点集的取法无关),2.Lebesgue积分思想简介,1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.1）,用mEi表示Ei的“长度”,Lebesgue积分思想,f(x)在Ei上的振幅不会大于,其中mEi表示Ei的“长度”，,即：,对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会，高等理科教学，2000.1）,3.Lebesgue积分构思产生的问题,(1)集合Ei的“长度”如何定义（第三章测度论）；(2)怎样的函数可使Ei都有“长度”（第四章可测函数）；(3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章积分论）；第一章集合，第二章点集，第六章微分与不定积分,4.集合论中的一些例子,(1)Achilles追龟,问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数”一样，从而跑过的点的“个数”也一样。,(2)Hilbert旅馆问题,1,2,3,4,5,6,a1,a2,a3,a4,a5,a6,问下列情况是否能把新来的人安排下：,1又来了有限个人b1,b2,b3,，bn,3每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）,4又来了0,1个人,2每个人带一个亲戚b1,b2,b3,bn,Hilbert旅馆问题解答,1b1,b2,b3,bn,a1,a2,a3,1,2,3,4,5,6,a1,a2,a3,a4,a5,a6,4不能安排进去（0,1是不可数集）,2b1,a1,b2,a2,b3,a3,3a1,a2,a3,a4,a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,参考文献,周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2Halmos，测度论(Measuretheory)Rudin,实分析