第一章 质点力学1

理论力学吴迪wudi392中南大学物理与电子学院,第一章质点力学,1.1运动的描述,一、参考系与坐标系,1.参照系：为研究宏观物体的运动需要选定某物（参照物）作为参考标准，这种作为参考的物体叫做参考物。,2.坐标系：参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于用数学方式描述质点在空间的相对位置（方法）,下页,上页,2,(1)质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）,直角坐标系:,3质点及位置的描述,极坐标柱坐标球坐标自然坐标:如铁路。,(2)位置描述：质点相对某参照系的位置，可由位矢r确定;,坐标描述：,下页,上页,3,二、运动学方程及轨道,1.运动方程:,坐标表示法：直角坐标,当质点运动时,r=r(t)称为质点的运动方程，它是时间t的单值连续函数。是确定点的位置随时间的变化规律的数学表达式。,描述运动的数学方法有三种：,矢量表示法（几何表示法）：坐标表示法（分量表示法）；自然表示法（内蕴表示法）；,下页,上页,4,2.轨道：质点运动过程中在空间描述出的连续曲线。运动学方程中消去t得轨道方程。（直线运动、曲线运动),极坐标(平面运动),下页,上页,5,大小:,注意:位移是矢量，路程是标量；位移与路程不同,三、位移、速度、加速度,1.位移：质点由A经t到B则称质点在时间t内的位移,3.加速度：,2.速度：,下页,上页,方向：沿该曲线的切线指向运动的一方。,6,1.2速度、加速度分量表示式,一、直角坐标系：,1.速度:,分量式:,大小:,方向余弦:,下页,上页,7,2.加速度:,下页,上页,8,例题1.椭圆规B点以匀速度c沿导槽运动，求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度和加速度。已知,解:1)选择参照系,坐标系,消去参数得轨道方程:,速度分量:,2)写出M点的坐标,下页,上页,9,小结:1）参照系，坐标系（立场和方法）2）已知r=r(t),求v,a3）已知a,v,求运动r=r(t),下页,上页,10,二、平面极标系：,当质点作平面运动时，可用直角坐标系，但有时选平面极坐标方便。如：行星的运动。,质点运动方程:,速度:,1.先求:,方向沿,下页,上页,11,同理可得:,2.速度分量式:,大小:,3.加速度分量式:,下页,上页,12,：加速度横向分量，称为横向加速度。是横向速度量值变化产生的是径向速度方向变化产生的。,4.推广到柱坐标:,：加速度径向分量，称为径向加速度；是径向速度量值变化产生的。是横向速度方向变化产生的。,下页,上页,13,例2.已知一质点的运动方程为:,解:,下页,上页,14,三、自然坐标系(切向加速度与法向加速度)：,规定：为切向单位矢，沿轨道切线并指向s增加的方向。n为法向单位矢，沿轨道上该点法线指向s的凹侧。(,n)构成平面自然坐标系。,2.,下页,上页,15,3.速度,4.加速度,内禀方程（本性方程）,下页,上页,自然坐标系下的加速度是否始终位于一个平面内？,16,5.密切面:轨道的切线和曲线上无限接近于切点的一个点所确定的极限平面叫做该点的密切面;或者曲线上无限靠近的两点的两条切线构成的平面,下页,上页,主法线方向单位矢量，与同向，也在密切面内；,恒位于密切面内；,切线方向单位矢量，在密切面内；,副法线方向单位矢量，垂直于密切面。,构成空间正交自然坐标系,其分解完全取决于曲线的形状，与选取的坐标系无关,称为内禀方程。,17,补充：质点运动的球坐标描述,球坐标系基矢满足,球坐标系中的基矢不是常矢量,应该把矢量沿质点所处位置的基矢，“就地”进行正交分解.,质点的运动学方程：,球坐标系中的加速度公式可按矢量导数定义求导得出,但比较复杂,将在后面用分析力学的方法导出.,下页,上页,18,例3.已知质点沿螺旋线运动,解:,下页,上页,19,例4.质点由y2=2px的正焦弦(p/2,p)以u出发,（习题1.10）求到达正焦弦的另一端时的速率.已知,解:建立弧坐标,自然坐标系,下页,上页,20,小车以较低的速度沿水平轨道先后通过点A和点B。地面上人测得车通过A、B两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同。,1.3平动参照系,一时间与空间,B,A,在两个相对作直线运动的参考系中，时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的，与参考系无关，时间和长度的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础。,下页,上页,21,相对运动,物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系,二相对运动,下页,上页,22,速度变换,位移关系,质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移,S系系,下页,上页,23,不同参照系下研究p点的运动的关系:,为P对动系S的速度，称为P点的相对速度;,为动系对S的速度,称为牵连速度;,三、绝对速度、相对速度、牵连速度,说明P点同时参与两个运动：对S的运动,被S带动着一起以v0运动,下页,上页,24,四、绝对加速度、相对加速度、牵连加速度,S对S作匀加速直线运动,由,得:,下页,上页,为P对静系S的加速度，称为P点的绝对加速度。,为P对动系S的加速度，称为P点的相对加速度;,为动系对S的加速度,称为牵连加速度;,25,例5:某人以4km/h向东前进,感觉风从正北吹来,以8km/h向东前进,感觉风从东北吹来,求风速和风向.,解:1)先确定是相对运动问题,一个被考察的质点和两个做相对运动的参考系2)确定动系和静系,下页,上页,26,例6:小船M被水流冲走后，用一绳拉它回岸边A点，已知水速为v1，平行岸边，而拉绳子的速度为v2，如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹。,选取极坐标,得,下页,上页,27,设初始条件：,下页,上页,28,29,作业_P76,下页,上页,14，6，11，17,1.4质点运动定律,1.第一定律是第二定律所不可缺少的前提,因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-惯性参考系,着重明确:,注：地球自转在赤道附近产生的加速度约为310-2m/s2地球绕太阳公转产生的加速度约为610-3m/s2,力的独立作用原理,牛顿三定律,完整的牛顿力学理论体系,牛顿力学：牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万有引力定律（引力理论）.,下页,上页,30,一般工程问题，地球可以看作惯性参考系；如果物体运动的尺度很大，问题精确度要求很高，应当考虑地球自转的影响，可取地心为惯性参考系；在分析行星的运动时，地心本身作公转，必须取日心参考系。太阳本身在银河系的加速度大约是310-10米/秒2，一般来说可以不用考虑了，可以认为足够精确的了。目前最好的实用惯性系，是以选定的1535颗恒星的平均静止位形作为基准的参考系FK4系,3.牛顿第三定律两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出现，大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。,2.第二定律中的质量是惯性质量，与万有引力中的质量相比，近年来的实验结果已经证实相差不到10-12。爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设。,下页,上页,31,4.力的独立作用原理:如果一个质点同时受多个力的作用,这些力各自产生的动力学效果不受其他力存在的影响.,下页,上页,32,5.经典力学中的力1）在牛顿力学中,力由牛顿第二定律定义.牛顿第二、第三定律指出:力是物体间的相互作用，力的动力学效果是使受力质点产生加速度。,2）万有引力定律:任何两质点间均存在相互作用引力,方向沿两质点连线,大小为:,3）经典力学中其他常见的力：重力；弹簧弹性力；柔软绳的张力；刚性线或面的支撑力；刚性线或面的摩擦力；洛伦兹力；质点在流体中受流体阻力。,6.力学相对性原理和经典力学时空观,（1）力学相对性原理:对任何惯性系，力学运动规律完全相同.或者说，对力学运动规律而言，一切惯性系都是等价的。,下页,上页,33,（2）经典力学时空观:经典力学中认为时间和空间都是均匀的、各向同性的；时间和空间是互相独立的；空间距离和时间间隔是绝对的，和参考系的选取无关，不因参考系的运动而变化.经典力学时空观又称绝对时空观.,（3）伽利略变换:伽利略变换是力学相对性原理和经典力学时空观的集中体现,或,下页,上页,34,1.5质点运动微分方程,一、微分方程建立,1.自由质点的运动限制质点运动的条件称为约束，不受约束作用的质点称为自由质点。,1)直角坐标系:,三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件：可解得质点的运动规律。,下页,上页,35,为合力，且为已知,2)平面极坐标:若质点在xOy平面上运动:,或,2.非自由质点的约束运动,若质点被限制在某一曲线或曲面上运动，该曲线或曲面称为约束,其方程为约束方程，约束对质点运动的影响以约束反作用力(简称约束反力或约束力)的引入来代替，约束力是待定的，取决于约束本身的性质、质点的运动状态及其受主动力的情况，只靠约束力不能引起质点的运动，故称约束力为被动力。,一般采用自然坐标系.,质点运动的约束微分方程：,下页,上页,36,1)光滑约束，约束力在轨道的法平面内,(1)式求出运动规律，(2)和(3)解出约束力，方便之处在于运动规律和约束力可分开求解。中间求解Rn时需要曲率半径，可由,光滑平面线约束方程直接求得,下页,上页,37,2)非光滑约束,4个方程4个未知数,可解,下页,上页,38,补充：弧微分公式设xxDx为(ab)内两个邻近的点它们在曲线yf(x)上的对应点为MN并设对应于x的增量Dx弧s的增量为Ds.,因为当Dx0时DsMN又Dx与Ds同号所以,由此得弧微分公式:,下页,上页,39,同理:,平均曲率：,曲率：,曲率设曲线C是光滑的曲线上点M对应于弧s在点M处切线的倾角为a曲线上另外一点N对应于弧sDs在点N处切线的倾角为aDa,下页,上页,40,设曲线C的方程为yf(x)且f(x)具有二阶导数因为tanay所以sec2adaydx,曲率的计算公式,下页,上页,41,约束运动问题,一般选自然坐标系,例(p30):小环m，套在光滑的钢索上，钢索方程为x2=4ay，求小环自x=2a自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时受到的约束反力。,解:画草图，受力分析，R，mg,下页,上页,42,一、运动微分方程求解,两类基本问题：1)已知运动求力2)已知力求运动，解微分方程，为理论力学主要课题。,解体步骤：1）作图，受力分析;2）写出方程，选坐标系投影;3）积分求解，分析解的物理意义.,下页,上页,43,设沿x轴的电场强度为：,电子所受的力则为：,根据牛顿运动定律，电子运动的微分方程为：,1.力仅是时间的函数,F=F(t),例:研究自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动,下页,上页,44,设起始条件是：当t=0时，,上式积分一次得：,下页,上页,45,上式积分一次得：,设起始条件是：当t=0时，,下页,上页,46,讨论:该问题与无线电波在高密度自由电子的电离层中传播类似振荡项与电场具有相同的角频率，且与初始条件无关。描述了电子在电场作用下的受迫振动，产生电磁波，对电磁波的传播有贡献2)非振荡项与起始条件有关，只能影响波到达的前沿位置。描述电子的匀速直线运动,对电磁波的传播没有贡献，仅给出电子的细致运动,下页,上页,47,2.力仅是速度的函数F=F(v),1)研究质点重力场中考虑阻力的运动,概述：普物中忽略阻力(零级近似):,但速度较大时，阻力不能忽略。空气阻力比较复杂,阻力的大小与物体的大小有关。详细研究是腔外弹道学。,一级近似，抛体视为质点，阻力R=-bv,运动方程:,下页,上页,抛体自由落体,48,自然坐标投影方程:,故，只要为已知，x、y、t都是参数的函数,下页,上页,49,下页,上页,再积分,50,(3)合(4)消去t得轨道方程:,若阻力较小(b很小)或x很小:,可见:(1)若阻力较小(b很小)或x很小,可以忽略x3以上的项,与真空中弹道一致,下页,上页,(2)当,y负无穷大,说明轨道在x=mvx0/b处变成竖直直线.,51,例1（P28）：质点在有阻力的空气中无初速的竖直下落,若,若,积分后容易求得其解:,下页,上页,52,1.19质量为m的小球以初速竖直上抛，空气的阻力求：（1）上升的最大高度（2）返回到投掷点时小球的速度解：取抛掷点为原点，坐标轴oy竖直向上。（1）上升时：运动微分方程：利用,下页,上页,53,得：积分：得：(