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平面向量的数量积,江苏省石庄高级中学周蓉蓉,苏教版必修4第三章平面向量,s,F,WFs,W,问题1一个物体在水平作用力F的作用下产生了位移s，那么该力对此物体所做的功W是多少？,问题2如图，若力F与位移s的夹角为，那么该力对此物体所做的功W是多少？,Fs,Fcoss,WFscos,问题情境,F,s,Fx,Fy,cos,s,W,建构数学,F,a,b,F,s,a,b,我们将数量cos叫做向量a和b的数量积（或内积），记作ab，即abcos,ab,已知两个非零向量a和b的夹角为，,已知两个向量a和b的夹角为，,对于两个向量a和b，,作OAa，OBb，,a,b,A,B,将AOB(，)叫做向量a和b的夹角,对于两个非零向量a和b，,规定：零向量与任一向量的数量积为0,数学运用,例1（1）已知向量a和向量b的夹角为，2，1，分别求下列条件下的ab135；ab；ab（2）已知向量a和向量b的夹角为60，2，ab1，求（3）已知2，1，ab3，求向量a和向量b的夹角,cosab(，),abcos（知三求一）,数学运用,例2在等边ABC中，AC2，求：（1）ACAB；（2）ACAC；（3）ACCB,A,C,B,120,思考,（1）若a0，b0，则ab0；（2）若a0，ab0，则b0；（3）若a与b的夹角为锐角，则ab0；（4）若ab0，则a与b的夹角为锐角,（1）找夹角，共起点；（2）夹角，,注意：,变式2在菱形ABCD中，AC2，求ACAB的值,APABcosBAP2,数学运用,例3在正方形ABCD中，AC2，求ACAB的值,A,C,B,D,P,变式1在正方形ABCD中，AC2，点P为边BC上一点，求APAB的值,A,C,B,D,ACABcosBAO12122,O,W,问题2如图，若力F与位移s的夹角为，那么该力对此物体所做的功W是多少？,Fs,Fcoss,建构数学,F,s,Fx,Fy,设a，b是两个非零向量，将cos叫做向量b在a方向上的投影，它是数量,a,b,cosOM0,O,M,a,b,cosOM0,O,M,a,b,cosOM0,O,M,W,问题2如图，若力F与位移s的夹角为，那么该力对此物体所做的功W是多少？,Fs,Fcoss,建构数学,F,s,Fx,Fy,ab的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上的投影cos的乘积,变式2在菱形ABCD中，AC2，求ACAB的值,APABcosBAP2,变式3在正方形ABCD中，AC2，点Q是边CD上一点，求AQAB的取值范围,数学运用,例3在正方形ABCD中，AC2，求ACAB的值,A,C,B,D,P,变式1在正方形ABCD中，AC2，点P为边BC上一点，求APAB的值,A,C,B,D,ACABcosBAO12122,O,Q,Q0,AQABAQAB,回顾小结,夹角与模：cosaba2,数量积的几何意义：a的长度与b在a方向上的投影cos的乘积,平面向
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