高考数列知识点及习题总结

.8：高考真题解答在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.(1)求; (2)若,求等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式.（2013年高考江西卷（理）正项数列an的前项和an满足:(1)求数列an的通项公式an;(2)令,数列bn的前项和为.证明:对于任意的,都有4.已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且.(I)求数列与的通项公式;(II)记()证明:.5.设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,.()求的值;()求数列的通项公式.6.已知等比数列的各项均为正数，且（I）求数列的通项公式（II）设，求数列的前n项和数列高考试题汇编 1.【2014全国卷（文5）】等差数列的公差为2，若，成等比数列，则的前n项和=（A） （B） （C） (D) 2.【2014全国大纲卷（理10）】等比数列中，则数列的前8项和等于 （ ）A6 B5 C4 D33.【2014全国大纲卷（文8）】设等比数列an的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=( )A. 31 B. 32 C. 63 D. 644.【2014北京卷（理5）】设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（ ）充分且不必要条件 必要且不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件5.【2014天津卷（文5）】设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则（）（A）2（B）-2（C） （D）6.【2014福建卷（理3）】等差数列的前项和，若，则( ) 7.【2014辽宁卷（文9）】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）A B C D 8.【2014陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数，得出数列的通项公式是（ ） 9.【2014重庆卷（理2）】对任意等比数列,下列说法一定正确的是（ ）成等比数列 成等比数列成等比数列 成等比数列10.【2014重庆卷（文2）】在等差数列中,，则（ ） 11.【2014全国卷（文16）】数列满足=，=2，则=_.12.【2014安徽卷（理12）】数列是等差数列，若，构成公比为的等比数列，则_.13.【2014安徽卷（文12）】如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；，以此类推，设，则_ _.14.【2014北京卷（理12）】若等差数列满足，则当_时的前项和最大.15.【2014天津卷（理11）】设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为_.16.【2014江西卷（文13）】在等差数列中，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_.17.【2014广东卷（理13）】若等比数列的各项均为正数，且，则 。18.【2014广东卷（文13）】等比数列的各项均为正数且，则 .题型一等差、等比数列的基本运算例1已知等差数列an的前5项和为105，且a102a5.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中不大于72m的项的个数记为bm.求数列bm的前m项和Sm.破题切入点(1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an.(2)求出bm，再根据其特征选用求和方法解(1)设数列an的公差为d，前n项和为Tn，由T5105，a102a5，得5a15(51)2d105，a19d2(a14d)，解得a17，d7.因此ana1(n1)d77(n1)7n(nN*)(2)对mN*，若an7n72m，则n72m1.因此bm72m1.所以数列bm是首项为7，公比为49的等比数列，故Smb1(1qm)1q7(149m)1497(72m1)4872m1748.题型二等差、等比数列的性质及应用例2(1)已知正数组成的等差数列an，前20项和为100，则a7a14的最大值是()A25B50C100D不存在(2)在等差数列an中，a12013，其前n项和为Sn，若S1212S10102，则S2013的值为()A2011B2012C2010D2013破题切入点(1)根据等差数列的性质，a7a14a1a20，S2020(a1a20)2可求出a7a14，然后利用基本不等式(2)等差数列an中，Sn是其前n项和，则Snn也成等差数列答案(1)A(2)D解析(1)S20a1a20220100，a1a2010.a1a20a7a14，a7a1410.an0，a7a14a7a142225.当且仅当a7a14时取等号故a7a14的最大值为25.(2)根据等差数列的性质，得数列Snn也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11a12013，公差d1，故S201320132013(20131)11，所以S20132013.题型三等差、等比数列的综合应用例3已知数列an的前n项和Sn满足条件2Sn3(an1)，其中nN*.(1)证明：数列an为等比数列；(2)设数列bn满足bnlog3an，若cnanbn，求数列cn的前n项和破题切入点(1)利用anSnSn1求出an与an1之间的关系，进而用定义证明数列an为等比数列(2)由(1)的结论得出数列bn的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和(1)证明由题意得anSnSn132(anan1)(n2)，an3an1，anan13(n2)，又S132(a11)a1，解得a13，数列an是首项为3，公比为3的等比数列(2)解由(1)得an3n，则bnlog3anlog33nn，cnanbnn3n，设Tn131232333(n1)3n1n3n，3Tn132233334(n1)3nn3n1.2Tn3132333nn3n13(13n)13n3n1，Tn(2n1)3n134.总结提高(1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a10，利用等比数列求和时注意公比q是否为1.1已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A110B90C90D110答案D解析a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3与a9的等比中项，(a112)2(a14)(a116)，解得a120.S10102012109(2)110.2(2014课标全国)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn等于()An(n1) Bn(n1)C.n(n1)2D.n(n1)2答案A解析由a2，a4，a8成等比数列，得a24a2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2nn(n1)222nn2nn(n1)3等比数列an的前n项和为Sn，若2S4S5S6，则数列an的公比q的值为()A2或1B1或2C2D1答案C解析方法一若q1，则S44a1，S55a1，S66a1，显然不满足2S4S5S6，故A、D错若q1，则S4S60，S5a50，不满足条件，故B错，因此选C.方法二经检验q1不适合，则由2S4S5S6，得2(1q4)1q51q6，化简得q2q20，解得q1(舍去)，q2.4(2014大纲全国)等比数列an中，a42，a55，则数列lgan的前8项和等于()A6B5C4D3答案C解析数列lgan的前8项和S8lga1lga2lga8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.5(2014大纲全国)设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6等于()A31B32C63D64答案C解析在等比数列an中，S2、S4S2、S6S4也成等比数列，故(S4S2)2S2(S6S4)，则(153)23(S615)，解得S663.6已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且AnBn7n45n3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是()A2B3C4D5答案D解析由等差数列的前n项和及等差中项，可得anbn12(a1a2n1)12(b1b2n1)12(2n1)(a1a2n1)12(2n1)(b1b2n1)A2n1B2n17(2n1)45(2n1)314n382n27n19n1712n1 (nN*)，故n1,2,3,5,11时，anbn为整数即正整数n的个数是5.7(2013课标全国)若数列an的前n项和Sn23an13，则an的通项公式是an_.答案(2)n1解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn123an23an1，故anan12，故an(2)n1.8(2014江苏)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_答案4解析因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.9(2014安徽)数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.答案1解析设等差数列的公差为d，则a3a12d，a5a14d，(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，qa33a11a123a111.10在数列an中，如果对任意nN*都有an2an1an1ank(k为常数)，则称数列an为等差比数列，k称为公差比现给出下列问题：等差比数列的公差比一定不为零；等差数列一定是等差比数列；若an3n2，则数列an是等差比数列；若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比其中正确命题的序号为_答案解析若k0，an为常数列，分母无意义，正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，错误；an2an1an1an3，满足定义，正确；设ana1qn1(q0)，则an2an1an1ana1qn1a1qna1qna1qn1q，正确11(2014课标全国)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通项公式；(2)求数列an2n的前n项和解(1)方程x25x60的两根为2,3，由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d12，从而a132.所以an的通项公式为an12n1.(2)设an2n的前n项和为Sn.由(1)知an2nn22n1，则Sn322423n12nn22n1，12Sn323424n12n1n22n2.两式相减得12Sn34(12312n1)n22n23414(112n1)n22n2.所以Sn2n42n1.12(2014北京)已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得da4a1312333，所以ana1(n1)d3n(n1,2，)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q3b4a4b1a12012438，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(n1,2，)(2)由(1)知bn3n2n1(n1,2，)数列3n的前n项和为32n(n1)，数列2n1的前n项和为12n122n1.所以，数列bn的前n项和为32n(n1)2n1.数列专题复习一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法或。如设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。2、等差数列的通项：或。如(1)等差数列中，则通项（答：）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：）3、等差数列的前和：，。如（1）数列 中，前n项和，则 ，（答：，）；（2） 已知数列 的前n项和，求数列的前项和（答：）.4、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（公差为2）5、等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.如（1）等差数列中，则_（答：27）； (4) 若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 ，也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）（5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；。如（1）在等差数列中，S1122，则_（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_（答：）(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是 （答：4006）（3）在等差数列中，且，是其前项和，则（ ）A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.二、等比数列的有关概念：1、等比数列的判断方法：定义法，其中或。阴阳师笔记无弹窗/book/9669.html如（1）一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为_（答：）；（2）数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列是等比数列。2、等比数列的通项：或。如等比数列中，前项和126，求和.（答：，或2）3、等比数列的前和：当时，；当时，。如（1）等比数列中，2，S99=77，求（答：44）；（2）的值为_（答：2046）；特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。4、等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_（答：AB）提醒：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.如（1）在等比数列中，公比q是整数，则=_（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。(2) 若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列. 如（1）已知且，设数列满足，且，则. （答：）；（2）在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_（答：40）(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.(4) 当时，这里，但，是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则 （答：1）(5) .如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_（答：2）(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，. 心怀鬼胎小说/book/9667.html(7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若，则是等差数列；若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：）三、数列通项公式的求法一、公式法；等差、等比数列公式.例 已知数列满足，求数列的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。二、累加法例 已知数列满足，求数列的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例 已知数列满足，求数列的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。三、累乘法例 已知数列满足，求数列的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。四、取倒数法例 已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式。解 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.五、待定系数法例 已知数列满足，求数列的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例 已知数列满足，求数列的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。六、对数变换法例 已知数列满足，求数列的通项公式。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。七、迭代法例 已知数列满足，求数列的通项公式。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。八、数学归纳法例 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得。由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，。由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。九、换元法例 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得。即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。十、构造等差、等比数列法 ；.例 已知数列中，求数列的通项公式.【解析】 【反思归纳】递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法：令； 在中令，；由得，.例 已知数列中，求数列的通项公式.【解析】，令 【反思归纳】递推关系形如“”通过适当变形可转化为：“”或“求解.十一、不动点法例 已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的不动点。因为，所以。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。四、数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：前个正整数的和 前个正整数的平方和 前个正整数的立方和