点线面的投影

点、直线、平面的投影,点的投影,直线的投影,平面的投影,点的投影,点在两投影面体系中的投影,构成：立体面边点,讲解顺序：点线面体,点的单面投影：不能唯一确定空间点,一两面投影体系,H,V,H与V相交OX投影轴,垂直相交,3,一点的两面投影,二点的两面投影,V,O,A,a,a,X,aX,4,点的两面投影规律：,（1）点的两投影连线垂直于投影轴，即aaox；（2）点的投影到投影轴的距离，等于该点到相邻投影面的距离，即：aax=Aaaax=Aa,用两面投影是否均能唯一确定空间形体？,不能,5,一三面投影体系,Y,Z,a,水平投影面H正立投影面V侧立投影面W,H与V相交OX投影轴H与W相交OY投影轴V与W相交OZ投影轴,6,7,a,a,a,二点的三面投影,o,x,z,垂直关系,相等关系,投影特性：,1.aaz=aay=xaaz=aax=yaax=aay=z,三投影面体系中点的投影规律,2.aaoxaaoz,9,投影面坐标面投影轴坐标轴轴的交点O坐标原点,y,Aa=XaAa=YaAa=Za,距离的关系：,点在三投影面体系中的投影,规定：空间点A用大写字母表示，在H面的投影a，在V面的投影用a，在W面的投影用a表示。,例题1已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。,已知点A的正面投影和侧面投影,求其水平投影。,注:这是二求三问题的基础。,a,8,例题2,w,X,O,Z,Y,w,a,X,H,Y,H,Y,a,例题3已知点A的坐标(20，10，20)，求的三面投影。,a,10,已知A（35，10，25），作出其三面投影图。,35,a,a,注:,一个投影点反映两个坐标。,两个投影点确定一个空间点。,例题3,12,a,Cc,例题4,已知A、C两点的投影图，作出其立体图，并判别各点的空间位置。,c,c,A,X轴,Y轴,特殊点的投影,13,A,一两点的相对位置关系,两点的相对位置,两点中X值大的点在左两点中Y值大的点在前两点中Z值大的点在上,14,二重影点的概念,A与B对H面重影,由V投影判断高低,不可见投影点的标记加括号,重影点的可见性判断,例题5已知点的坐标值为：A（20，10，15）和B（0，15，20）求它们的三面投影图。,解：（1）量取坐标值；,a,a,a,b,b,b,（2）作点的投影。,例题6已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断点对投影面的相对位置。,点A的三个坐标值均不为0，A为一般位置。,点B的Z坐标为0，故点B为H面上的点。,点C的x、y坐标为0，故点C为z轴上的点。,a,b,c,例题7已知点D的三面投影，点C在点D的正前方15mm，求作点C的三面投影，并判别其投影的可见性。,解：,由已知条件知：XC=XDZC=ZDYC-YD=15mm因为点C、D在V面上的投影重影。,c,c,c,又因为YCYD所以C的V面投影为可见点，则D的V面投影为不可见点。,(),例题8已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。,11,已知A、B、C三点的投影图，作出其立体图，并判别各点的空间位置。,空间,H面,V面,c,a,b,b,a,a,c,例题9,直线的投影直线上的点各种位置直线的投影特性线段的实长及倾角,第二节直线的投影,2,直线的投影特性,显实,积聚,类似,1.直线平行于投影面，其投影反映实长。2.直线垂直于投影面，其投影积聚成点。3.直线倾斜于投影面，其投影长度缩短。,3,直线的投影图,作图：1.作出直线上两点的投影2.用直线分别连接其各同面投影。,直线上的点具有两个特性：1从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。2定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。例题2例题3例题4,二直线上的点,10,a,e,f,b,例1,E点在AB直线上,F点不在AB直线上,判断E、F点是不是在直线AB上。,试判断K点是否在直线EF上。,f,e,e,f,k,k,f,e,f,e,e,f,E,F,K,k,k,k,X,O,直接判断,1,k,2,k,判断K点是否在直线上。,O,X,例题4已知线段AB的投影图，试将AB分成2：1两段，求分点C的投影。,例题5已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。,已知K点在直线AB上，试求作K点的H面投影。,4,三、直线与投影面的相对位置,1.特殊位置直线,投影面的平行线：平行于一个投影面的直线,投影面的垂直线：垂直于一个投影面的直线,2.一般位置直线,一般位置直线与各个投影面均倾斜：其投影均小于实长。,H：水平线V：正平线W：侧平线,三投影面各种位置直线的投影特性,投影面平行线,平行于一个投影面倾斜于另外两个投影面。平行线分三种：,水平线（/面、倾斜和面）,投影特性：1、正面和侧面投影比实长短，abOX;abOYW2、ab=AB反映实长，倾斜于OX轴，反映、角。,正平线（/面、倾斜和面）,投影特性：1、水平和侧面投影比实长短，abOX;abOZ2、ab=AB反映实长,倾斜于OX轴，反映、角,面侧平线（/面、倾斜和）,投影特性：1、正面和水平投影比实长短，abOZ;abOYH2、ab=AB反映实长,倾斜于OZ轴，反映、角,投影面垂直线,垂直于一个投影面平行于另外两个投影面。垂直线分三种：,投影特性：1、水平投影ab积聚成一点2、ab/OZ;ab/OZ；abOX;abOY3、ab=ab=AB反映实长,铅垂线（面、/面、/面）,正垂线（面、/面、/面）,投影特性：1、正面投影ab积聚成一点。2、ab/OY;ab/OY；abOX;abOZ3、ab=ab=AB反映实长。,侧垂线（面、/面、/面）,投影特性：1、侧面投影ab积聚成一点2、ab/OX;ab/OX；abOYH;abOZ3、ab=ab=AB反映实长。,从属于V面的直线,从属于V投影面的铅垂线,从属于OX轴的直线,Z,X,a,b,a,O,YH,YW,a(b),b,一般位置直线,倾斜于三个投影面的直线。直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面、的倾角，用、表示。,一般位置直线的投影特性,投影特性：1、ab、ab、ab均小于实长2、ab、ab、ab均倾斜于投影轴3、不反映、实角,直角三角形法求解实长、倾角。1求直线的实长及对水平投影面的夹角角2求直线的实长及对正面投影面的夹角角3求直线的实长及对侧面投影面的夹角角,一般位置线段的实长及其与投影面的夹角,1求直线的实长及对水平投影面的夹角角,直角三角形法：,距离差,实长,投影,基本作图：,b0,2求直线的实长及对正面投影面的夹角角,|YA-YB|,|YA-YB|,3求直线的实长及对侧面投影面的夹角角,试用直角三角形法确定直线AB的实长及对投影面V的倾角。,例题,a,b,a,b,X,O,投影长度ab,投影长度ab,例题已知线段AB30毫米及其投影ab和a，试求出ab。,a,a,b,例题已知线段的实长AB，求它的水平投影。,两直线的相对位置,一、两直线平行二、两直线相交三、两直线交叉四、两直线垂直,两直线的相对位置,V,a,b,d,c,a,a,b,b,d,c,c,e(f),A,A,A,B,B,B,D,C,C,C,D,E,F,平行两直线,相交两直线,交叉两直线,一两直线平行,5,规则：若空间两直线平行，则它们的各同名投影平行。,同向、同比例,6,不平行,判断空间两直线是否平行。,平行,X,O,Y,Z,V,f,e,f,e,e,f,C,D,d,c,c,d,d,c,7,E,F,基本作图,8,过已知点A作直线AB平行于已知直线CD。,b,b,二相交两直线,交点K的三面投影符合点的投影规律。,10,基本作图,过已知点作直线与已知直线相交。,11,答案有多少个？,关键问题是什么？,交点。,无数个。,12,答案有多少个？,无数个。,举例,如图所示，作一条与V面相距20mm并与已知直线CD相交的直线AB。,x,d,d,k,k,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作CD的正面投影,三交叉两直线,空间既不平行又不相交的二直线为交叉直线。,交叉两直线的同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。,X,O,Y,Z,V,f,e,f,e,e,f,C,D,d,c,c,d,d,c,7,E,F,判断交叉两直线重影点的可见性,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,前遮后、上遮下、左遮右,上遮下,前遮后,交叉两直线投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。,1,1,2,2,3,3,4,4,(),(),基本作图,15,能否过A点随意作线呢？,答案有多少个？无数个。,例题判断两直线的相对位置,例题判断两直线的相对位置,1d,1c,例：判断两直线的相对位置。,交点的连线垂直于OX，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两线。,ab与cd在一直线上，而abcd，两直线平行。,CD为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断。为交叉两直线。,例：已知：两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，试作一直线MNCD并与直线AB相交于N点。,n,n,m,作图：过m作mncd，并与ab交于n；由n求出n；过n作nmcd，求得m。,例题判断两直线重影点的可见性,直角投影定理,一、垂直相交的两直线的投影定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。二、交叉垂直的两直线的投影定理三：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四：两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,一、垂直相交的两直线的投影,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有abac,二、交叉垂直的两直线的投影,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有abac,17,两垂直直线的判断,关键是：,两垂直直线中必须有一条直线是投影面的平行直线。,18,基本作图,过已知点，作直线垂直于已知直线。,a,b,a,b,k,k,l,答案有多少个？,o,x,例题过点A作EF线段的垂线AB。,垂直相交,例题过点E作线段AB、CD的公垂线EF。,19,注意：,距离直线只有平行于投影面时才能反映实长。,举例,求作点到直线的距离。,两平行直线的距离,8,投影面垂直线,9,投影面平行线,两平行直线的距离,实距,例6：已知：直线EF平行CD并与直线AB相交，F点在H面上。.求所缺的投影(书P74),a,a,b,b,c,c,d,d,O,X,e,e,f,K,例题作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。,掌握点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。点分割直线成定比定比定理。,平面的投影,平面的表示法,各种位置平面的投影特性,属于平面的点和直线,平面的投影,一、平面的表示法用几何元素表示平面,不在同一直线上的三点。,一直线和线外一点。,相交两直线。,平行两直线。,任意平面形。,平面的迹线表示法,4,二平面的投影特性,显实,积聚,类似,1.平面平行于投影面，其投影反映实形。2.平面垂直于投影面，其投影积聚成直线。3.平面倾斜于投影面，其投影为其类似形。,5,四平面与投影面的相对位置,1.特殊位置平面,投影面的平行面：平行于一个投影面的平面,投影面的垂平面：垂直于一个投影面的平面,2.一般位置平面,一般位置平面与各个投影面均倾斜：其投影均小于实形，为平面的类似形。,H：水平面V：正平面W：侧平面,投影面垂直面,垂直于一个投影面，与另两个投影面倾斜的平面。投影面垂直面可分为三种：,垂直于面的平面叫正垂面,垂直于面的平面叫铅垂面,垂直于面的平面叫侧垂面,V,X,H,Y,O,Z,W,铅垂面（面，倾斜、面）,铅垂面,.,铅垂面迹线表示法,（1）正面投影积聚成直线，并反映倾角和。,（2）水平和侧面投影不反映实形，是缩小了的类似形。,正垂面（面，倾斜、面）,正垂面,.,正垂面的迹线表示法,侧垂面（面，倾斜、面）,.,投影,特性,（1）侧面透影积聚成直线，并反映倾角和。,（2）水平和正面投影不反映实形，是缩小了的类似形。,侧垂面的迹线表示法,投影面垂直面的投影特性：平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线；其余两投影面的投影为原形的类似形，但比实形小；平面具有积聚性的投影与投影轴的夹角，分别反映平面与相应投影面的倾角。,投影面的平行面,平行于一个投影面，与另两个投影面垂直的平面。投影面平行面可分为三种：,平行于面的平面叫正平面,平行于面的平面叫水平面,平行于面的平面叫侧平面,X,V,Z,W,O,H,Y,水平面（/面VW面）,水平面,水平面的迹线表示法,Pv,正平面（/面HW面）,.,（1）正面投影反映真形。,（2）水平投影/OX，侧面投影/OZ，分别积聚成直线。,ph,p,正平面的迹线表示法,侧平面（/面VH面）,（1）侧平面投影反映真形。,（2）正面投影/OZ，水平投影/OYH，分别积聚成直线。,R,RH,RV,侧平面的迹线表示法,投影面平形面的投影特性：,平面在所平行的投影面上的投影反映实形；其余两投影积聚为直线，并分别平行于相应的投影轴。,H,X,V,Y,O,W,Z,一般位置平面,a,a,X,c,b,b,c,O,w,b,a,c,b,c,a,a,b,b,a,c,c,a,b,b,b,a,a,c,c,c,一框两线平行面，直线竖或横。,两框一线垂直面，斜线积聚成。,三框无线一般面，位置最分明。,特点记忆,三、平面上的点和直线,几何条件1：若直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,几何条件2：若一直线过平面内的一点，且平行于该平面上另一直线，则此直线在该平面内。,几何条件3：若点在平面内，它必在平面内的一条直线上。,平面上的点和直线,取属于平面的点,取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线,取属于平面的直线,例题已知ABC给定