第9章马尔科夫预测法

.,1,Marketsurvey&Forecast市场调查与预测(9)第九章马尔科夫预测法,武汉理工大学出版社,.,2,第九章马尔科夫预测法,第一节马尔科夫预测的基本概述第二节马尔科夫预测法的程序第三节市场占有率预测第四节期望利润率预测,.,3,马尔科夫预测法,马尔科夫预测法是应用随机过程中的马尔科夫链的理论和方法研究有关经济现象的变化规律及对未来预测的一种方法。在市场预测中，有很多经济现象与自然现象中一样一种特性“无后效性”。,.,4,无后效性,系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻的状态，而与其过去历史状态无关。例如，随机过程中一个典型“无后效性”的例子:池塘里有三张荷叶，我们将它们编号为1，2，3，有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去，假设在初始时刻t0，它在第二张荷叶上。在时刻t1，它有可能跳到第一张荷叶或第三张荷叶上，也有可能在原地不动。,.,5,我们将青蛙某个时刻所处于荷叶的位置称为青蛙所处的状态。这样，青蛙在未来t1时刻所处于的状态，只与它现在时刻t0有关，而与t0以前所处的状态无关。在经济领域中，也存在着这种大量的“无后效性”，因此，马尔科夫预测法是市场预测的常用的方法，同时这种方法被广泛的应用其他的各个领域。下面，我们就应用马尔科夫链的这种特性来研究经济现象中的“无后效性”的问题。,.,6,第一节马尔科夫预测的基本概述,一、马尔科夫链定义是一种随机时间序列，它未来取值只与现在有关，而与过去无关，即:无后效性，系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻的状态，具备这一特性的离散型随机过程被称为马尔可夫链。二、马尔科夫链特点1.无后效性；2.离散性。,.,7,三、马尔科夫预测法,是根据对事件的不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率，来确定事件未来状态。四、条件概率(转移概率)定义：在事件B已经发生的条件下，事件A在给定B下的条件概率，称为A对B的条件概率，记为P（A|B）。把P（A）称为无条件概率。,.,8,概率基本概念回顾1,盒子里有15件产品，其中次品3件，现作不回放随机抽样，每次取一件。试问：第一次取到次品的条件下，第二次仍取到次品的概率是多少？解：设第一次取到次品为事件A，第二次取到次品为事件B，则有：第一次取到次品为P（A）=3/15，P（B|A）=2/14=1/7,.,9,四、全概率事件,当事件A1，A2，A3，Ai，构成一个完备事件组，则对任何一个事件B，有：（1）称为全概率公式。特别指出：一般情况下，,.,10,概率基本概念回顾2,全年级100名学生，有男学生（以事件A表示）80人，女生20人；来自北京的（以事件B表示）有20人；其中男生12人，女生8人；免修英语的（用事件C表示）40人中有32名男生，8名女生。试写出：P（A），P（B），P（B|A），P(A|B)，P（AB）,P（C）,P（C|A）,P（AC），,.,11,解：P(A)=80/100=0.8，P(B)=20/100=0.2P(B|A)=12/80=0.15，P(A|B)=12/20=0.6，P(AB)=12/100=0.12，P(C)=40/100=0.4P(C|A)=32/80=0.4，P(AC)=32/100=0.32,.,12,五、状态与状态转移概率,1、状态在前面的例子里，青蛙所处在的荷叶位置，称为青蛙所处的状态。在市场预测中，某一种经济现象在某一时刻t所出现的结果，则称之为在t时刻所处的状态。一般情况下，把随机系统里的随机变量Xt在t时刻所处的状态i表示为：,.,13,2、状态转移概率,由于状态是随机的，因此，用概率来描述状态转移的可能性的大小，这个概率称为状态转移概率。对于某事件由状态Ei转移到Ej的概率，称为从i到j的转移概率。记为：,.,14,实际问题应用1,某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品有1000个用户，假定在研究期间无新用户加入也无老用户退出，只有用户的转移。已知2006年5月份，甲、乙、丙三厂拥有用户的份额分别为500、400、100户。6月份，甲的原用户中有400户留在甲，有50户转移到乙，50户转移到丙；乙原400户中有300户留在乙，有20户转移到甲，有80户转移到丙；在丙厂原100户中有80户留在丙，有10户移到甲，有10户移到乙。试计算各厂的转移概率。,.,15,甲500,乙400,丙100,50,50,400,20,80,300,10,10,80,状态转移图,解：设甲、乙、丙原有用户所处的状态为1、2、3。则P11=400/500=0.8，P12=50/500=0.1，P13=50/500=0.1；P21=20/400=0.05，P22=300/400=0.75，P23=80/400=0.2P31=10/100=0.1，P32=10/100=0.1，P33=80/100=0.8。,.,16,六、状态转移概率矩阵,设某事件有E1、E2，En种状态，而且每次只能处于一种状态中，则每一个状态都具有n个转向(含转向本身)。即第i种状态Ei可以是EiE1，EiE2，EiEn，P(EiEj)=P(Ej|Ei)=Pij，共有n个转移概率：Pi1，Pi2，Pii，,Pin。当把Pij作为第i行，则n个状态（j=1，2，n）共有n行，其状态转移概率矩阵为：,.,17,状态转移概率矩阵描述了事件的变化过程。矩阵（2）是一步状态转移概率矩阵，对于多步状态转移概率矩阵，可假定：系统在时刻t0处于状态i，经过N步状态转移后，在时刻tN处于状态j，那么，对这种具有N步转移的概率的数量描述称为N步转移概率。,（3）,.,18,（4）,.,19,第2步转移概率的计算可以由一步转移概率求出,即：,（5）,（5）的意义：系统从状态i出发，经2步转移到j的概率等于系统从状态i出发到状态k，其中k=1，2，N，然后再从状态k转移到j的概率的总和，由此得到：,.,20,.,21,.,22,例设一步转移矩阵为：,解：,.,23,某经济系统有三种状态E1（畅销）、E2（一般）、E3（滞销），系统状态转移情况如表所示，求系统的二步状态转移概率矩阵。表,实际问题应用2,.,24,.,25,第二节马尔科夫预测法的程序,一、马尔科夫链预测未来趋势的步骤马尔科夫链预测法通常是通过现在所处的状态来预测下一期可能出现的状态。其预测步骤如下：第一步，划分预测对象所出现的状态。第二步，计算初始概率。在收集到的资料中，分析历史数据而得到的状态概率就是初始概率。当有n个状态E1，E2，En，观察了m个时期,.,26,（6）,其中状态Ei(i=1，2，n)共出现了mi次则有：,（6）的经济含义是Ei出现的频率，用fi近似表示为,（i=1，2，n）(7),第三步，计算状态转移概率（用频率近似表示概率）首先计算状态由状态Ei转移到状态Ej的概率：，。再由第二步可得：,（8）（9）,.,27,第四步，根据初始状态及转移概率进行预测。由第三步，可得到的状态转移概率矩阵Pij。当预测对象处于状态Ei时，Pij表示目前状态Ei在未来转向状态Ej(j=1，2，n)的可能性。按最大可能性作为选择的结果，即选择（Pi1，Pi2，Pin）中最大者作为预测的结果。,.,28,实际问题应用,表9-3商品销售量统计表,某商店在最近20个月的商品销售量统计数据见表，试预测第21个月的商品销售量的状态。,.,29,解：第一步，划分状态。以月销售量为标准：（1）销售量0；亏损r0。,则P和R构成一个有利润的马尔科夫链，若已知销售状态转移矩阵和利润矩阵，就可对未来的利润进行预测。经过一步转移，求期望利润的公式如下：,.,48,i=1，2，(i=1表示商品处于畅销状态，i=2表示商品处于滞销状态)。L的上角（1）经过一步转移，L期望利润。,（1）,.,49,二步转移后的期望利润公式如下：,（2）,依次类推，经过n步转移后的期望利润公式如为：,（3）,注意：N为自然数，当n=1时，当前期望利润。并且规定。,.,50,经市场调查某商品销路变化状态由畅销滞销、滞销畅销、连续畅销和连续滞销等四种状态转移表及其利润表见表(a)和表(b)所示：,表(a)表(b)（百万元）,应用马尔科夫链预测期望利润,.,51,（1）由表(a)可知：产品连续畅销的概率为50%，由畅销滞销也为：50%，由滞销畅销的概率为40%，连续滞销的概率为60%。（2）由表(b)可知：连续畅销能获利500万元；由畅销滞销或由滞销畅销均能获利100万元；连续滞销要亏损100万元。预测：若当月处于畅销、滞销时，下一个月的期望利润各为多少？,.,52,解：由表(a)和表(b)可得销售状态的转移矩阵和利润矩阵分别为：,由公式（10）、（11）得：,畅滞,畅滞,畅滞,畅滞,.,53,即当本月处于畅销时，下一个月期望获利润300万元。当n=2时，由公式（1、2）得：,即本月处于畅销状态时，则下一个的期望利润为440万元。当处于滞销时，则下个月的期望利润为88万元。,.,54,案例,某地区市场上主要销售A、B、C三种品牌的产品，每月三种品牌的销售总量通常保持在2万支左右。其中5月份A、B、C三种品牌的销售量分别为8500、6500、5000支，假定5月份在该地区几个大型商场，对购买这三种品牌产品的500名顾客进行随机调查，调查结果是：,.,55,在购买A品牌的200名顾客中，打算6月份仍购买A品牌的有140人，转购B品牌的有40人，转购C品牌的有20人；在购买B品牌产品的150名顾客中，打算6月份仍购买B品牌的有100人，转购A品牌的有30人，转购C品牌的有20人；在购买C品牌产品的150名顾客中，打算6月份仍购买C品牌的有120人，转购A品牌的有15人，转购B品牌的有15人。,.,56,若以后各月顾客在这三个品牌之间的保留率、转出率和转入率与此相同，且估计今后一段时间这三种品牌产品都不会退出该市场，也没有新品牌产品在此市场销售。要求预测：（1）6、7月份各月三品牌产品的市场占有率和销售量；（2）达到市场竞争均衡状态的三种品牌产品的市场占有率和销售量。,.,57,分析：1、首先应划分状态和计算初始状态概率。由于该地区产品市场主要三个品牌的产品占领，因此有三种状态存在。设状态1为购买A品牌产品，状态2为购买B品牌产品，状态3为购买C品牌产品。5月份各品牌的市场占有率为初始状态概率，且,.,58,2、确定一步转移概率P11=140/200=0.7，P12=40/200=0.2，P13=20/200=0.1P21=30/150=0.2，P22=100/150=0.67，P23=20/150=0.13P31=15/150=0.1，P32=15/150=0.2，P33=120/150=0.8,.,59,矩阵中，每一行元素表示各品牌产品顾客的保留率和转出率；没一列元素表示各品牌产品顾客的保留率和转入率。,.,60,3、利用马尔科夫链预测模型进行预测预测6月份三种品牌产品的市场占有率（k=1）,.,61,即A、B、C三种品牌6月份的市场的市场占有率分别为38.75%、32.78%和28.4%；7月份的市场占有率分别为36.53%、32.56%和30.91%；相应地，6、7月份各品牌产品销售量预测值为：,.,62,6月份A：2000038.75%=7750(支)B：2000032.78%=6556(支)C：2000028.47%=5694(支)7月份A：2000036.53%=7386(支)B：2000032.56%=6512(支)C：2000030.91%=6182(支),.,63,4、求稳定状态下的各品牌产品的市场占有率由上计算可以看出，随着时间的推移，A、B品牌产品的市场占有率趋于下降，C品牌的市场占有率趋于上升态势。由于顾客在各种品牌之间不断转入、转出，经过较长时间后，各品牌市场占有率将趋于稳定。各品牌稳定状态的市场占有率为：XP=X，即：0.7x1+0.2x2+0.1x3=x10.2x1+0.67x2+0.13x3=x20.1x1+0.1x2+0.8x3=x1解之得x1=32.72%，x2=30.86%，x3=36.42%,.,64,习题课3,习题课3,.,65,补充题,有三家企业A、B、C，由于产品质量、服务质量、价格、促销、分销等原因，订购户的变化如下：4月份：A家200户，B家500户，C家300户。5月份：A家保留160户，而从B转入20户，从C转入20户；B家保留450户，而从A转入30户，从C转入20户，C家保留255户，而从A转入20户，从B转入15户。试求其转移矩阵。,.,66,解：状态转移矩阵为,.,67,1、列举经济生活中，可以用马尔可夫链进行预测的例子。,经济生活中可用马尔可夫链进行预测的例子很多。例如，归还照相机只与现在租照相机的地址有关，而与下次租相机的地址无关。,.,68,2、对于竞争激烈，经常有企业加入或退出的产品，是否能用马尔科夫预测吗？为什么？不能。由于经常有企业加入或退出的产品，这样一来使得系统不稳定，就不能应用马尔科夫链了。,.,69,3、某商品5年来销售只有两种表现：畅销和滞销。每个季节的表现如表所示，试求市场的一步转移概率。,解：一步转移矩阵为：,.,70,5、A、B、C、D四厂生产的电冰箱同时在某市销售，由于质量、价格、售后服务等因素的影响，每个月的订货数量都有所变化，现要求根据2、3月份的变化情况见表，试分析预测本年后3个月的电冰箱订货市场占有率情况。(假设某市每个月对电冰箱的需求量基本保持不变),表A、B、C、D厂2、3月份电冰箱订货