最新6年高考4年模拟--第二章第二节基本初等函数

第二节第二节 基本初等函数基本初等函数 I I 第一部分 六年高考荟萃 2020 年高考题 一、选择题 1.（2020 全国卷 2 理） （2）.函数 1ln(1) (1) 2 x yx 的反函数是 （A） 21 1(0) x yex （B） 21 1(0) x yex （C） 21 1(R) x yex （D） 21 1(R) x yex 答案 D 【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得，即，又； 在反函数中，故选 D. 2.（2020 陕西文）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的 x0，y0，函数 f(x) 满足 f（xy）f（x）f（y） ”的是 （A）幂函数（B）对数函数（C）指数函数（D）余弦函数 答案 C 【解析】本题考查幂的运算性质 3.（2020 辽宁文） （10）设25 ab m，且 11 2 ab ，则m （A） 10 （B）10 （C）20 （D）100 答案 A 【解析】选 A. 2 11 log 2log 5log 102,10, mmm m ab 又0,10.mm 4.（2020 全国卷 2 文） （4）函数 y=1+ln(x-1)(x1)的反函数是 （A）y= 1x e -1(x0) (B) y= 1x e +1(x0) )()()(yxfaaayfxf yxyx (C) y= 1x e -1(x R) (D）y= 1x e +1 (x R) 答案 D 【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，函数 Y=1+LN（X-1） (X1)， 11 ln(1)1,1,1 yx xyxeye 5.（2020 安徽文） （7）设 232 555 322 555 abc（）,（），（） ，则 a，b，c 的大小关系是 （A）acb （B）abc （C）cab （D）bca 答案 A 【解析】 2 5 yx在0 x 时是增函数，所以ac， 2 ( ) 5 x y 在0 x 时是减函数，所 以cb。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 6.（2020 安徽文） （6）设0abc ,二次函数 2 ( )f xaxbxc的图像可能是 答案 D 【解析】当0a 时，b、c同号， （C） （D）两图中0c ，故0,0 2 b b a ，选项 （D）符合 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a 或0a 两种情况分类考 虑.另外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定 点坐标的位置等. 7.（2020 浙江文）2.已知函数 1 ( )log (1),f xx若( )1,f = (A)0(B)1(C)2(D)3 答案 B 【解析】+1=2，故=1，选 B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属 容易题 8.（2020 山东文）(3)函数 2 log31 x f x 的值域为 A. 0, B. 0, C. 1, D. 1, 答案 A 9.（2020 北京文）(6)给定函数 1 2 yx， 1 2 log (1)yx，|1|yx， 1 2xy ，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 （A） （B） （C） （D） 答案 B 10.（2020 北京文）若 a,b 是非零向量，且ab， ab，则函数 ( )() ()f xxabxba是 （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 答案 A 11.（2020 四川理） （3）2log510log50.25 （A）0 （B）1 （C） 2 （D）4 解析：2log510log50.25 log5100log50.25 log525 2 答案 C 12.（2020 天津文）(6)设 5 54 alog 4blogclog 2 5 ，（3），则 (A)acb (B) )bca (C) )abc (D) )bac 答案 D 【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。 因为 5 0log 41,所以bac 【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用 0，1 进行，本题也可以利用对数函 数的图像进行比较。 13.（2020 全国卷 1 文）(7)已知函数( ) | lg|f xx.若ab且，( )( )f af b，则 ab的取值范围是 (A)(1,) (B)1,) (C) (2,) (D) 2,) 答案 C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考 生在做本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+b= 1 2a a ,从 而错选 D,这也是命题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或 1 b a ，所以 a+b= 1 a a 又 0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+). 【解析 2】由 0ab,且 f(a)=f(b)得： 01 1 1 a b ab ，利用线性规划得： 01 1 1 x y xy ， 化为求zxy的取值范围问题，zxyyxz ， 2 11 1yy xx 过点 1,1时 z 最小为 2,(C) (2,) 14.（2020 四川文）(2)函数 y=log2x 的图象大致是 (A) (B) (C) (D) 答案 C 解析：本题考查对数函数的图象和基本性质. 15.（2020 安徽理）6、设0abc ，二次函数 2 f xaxbxc的图象可能是 答案 D 【解析】当0a 时，b、c同号， （C） （D）两图中0c ，故0,0 2 b b a ，选项 （D）符合. 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a 或0a 两种情况分类考 虑.另外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定 点坐标的位置等. 二、填空题 1.（2020 上海文）9.函数 3 ( )log (3)f xx的反函数的图像与y轴的交点坐标是 。 答案 (0,2) 解析：考查反函数相关概念、性质 法一：函数 3 ( )log (3)f xx的反函数为33 x y，另 x=0，有 y=-2 法二：函数 3 ( )log (3)f xx图像与 x 轴交点为（-2,0） ，利用对称性可知，函数 3 ( )log (3)f xx的反函数的图像与y轴的交点为（0，-2） 三、解答题 1.（2020 四川理） （22） （本小题满分 14 分） 设 1 1 x x a f( x) a （0a 且1a ） ，g(x)是 f(x)的反函数. （）设关于x的方程求 2 17 a t logg( x) ( x)(x) 在区间2，6上有实数解，求 t 的取值范围； （）当 ae（e 为自然对数的底数）时，证明： 2 2 2 21 n k nn g(k ) n(n) ； （）当 0a 时，试比较 1 n k f(k )n 与 4 的大小，并说明理由. 1 2 本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、 分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解：(1)由题意，得 ax 1 1 y y 0 故 g(x) 1 log 1 a x x ，x(,1)(1,) 由 2 1 loglog (1)(7)1 aa tx xxx 得 t(x-1)2(7-x)，x2,6 则 t=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下： x2(2,5)5(5,6)6 t+0- t5 极大值 32 25 所以 t最小值5，t最大值32 所以 t 的取值范围为5,325 分 (2) 2 1231 ( )lnlnlnln 3451 n k n g k n ln( 1231 3451 n n ) ln (1) 2 n n 令 u(z)lnz2 2 1z z 2lnzz 1 z ，z0 则 u(z) 2 21 1 zz (1 1 z )20 所以 u(z)在(0,)上是增函数 又因为 (1) 2 n n 10，所以 u( (1) 2 n n )u(1)0 即 ln (1) 1 2 2 (1)(1) 2 n n n nn n 0 即 2 2 2 ( ) 2 (1) n k nn g k n n 9 分 (3)设 a 1 1p ，则 p1，1f(1) 12 1 1 a ap 3 当 n1 时，|f(1)1| 2 p 24 当 n2 时 设 k2,kN *时，则 f(k) (1)12 1 (1)1(1)1 k kk p pp 1 122 2 kk kkk C pC pC p 所以 1f(k)1 12 2444 11 (1)1 kk CCk kkk 从而 n1 2 ( ) n k f k n-1+ 44 21n n+1- 4 1n n1 所以 n 1 ( ) n k f k f(1)n1n4 综上所述，总有| 1 ( ) n k f k n|4 2.（2020 四川文） （22） （本小题满分 14 分） 设 1 1 x x a f( x) a （0a 且1a ） ，g(x)是 f(x)的反函数. （）求( )g x； （）当2,6x时，恒有 2 ( )log (1)(7) a t g x xx 成立，求 t 的取值范围； （）当 0a 时，试比较 f(1)+f(2)+f(n)与4n的大小，并说明理由. 1 2 3.（2020 湖北理）17 （本小题满分 12 分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层。某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万 元。该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm） 满足关系：C（x）=(010), 35 k x x 若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元。 设 f（x）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。 （）求 k 的值及 f(x)的表达式。 （）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。 2020 年高考题 1.(2020 年广东卷文)若函数( )yf x是函数1 x yaaa（0，且）的反函数，且 (2)1f ，则( )f x ( ) Ax 2 log B x 2 1 Cx 2 1 log D2 2x 答案 A 解析 函数1 x yaaa（0，且）的反函数是( )logaf xx,又(2)1f ,即 log 21 a , 所以,2a ,故 2 ( )logf xx,选 A. 2.（2020 北京文）为了得到函数 3 lg 10 x y 的图像，只需把函数lgyx的图像上 所有 点 （ ） A向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 答案 C .w解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算 的考查. 3.（2020 天津卷文）设 3 . 0 2 1 3 1 ) 2 1 (, 3log, 2logcba，则( ) A abc B acb C bca D ba0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取 值范围是 . 答案 1|aa 解析 设函数(0, x yaa且1a 和函数yxa,则函数 f(x)=a x -x-a(a0 且 a1)有两个零点, 就是函数(0, x yaa且1a 与函数yxa有两个交点, 由图象可知当10 a时两函数只有一个交点,不符合,当1a时,因为函数 (1) x yaa的图象过点(0,1),而直线yxa所过的点一定在点(0,1)的上方, 所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是1a 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数 的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 18.（2020 重庆卷文）记 3 ( )log (1)f xx的反函数为 1( ) yfx ，则方程 1( ) 8fx 的解x 答案 2 解法 1 由 3 ( )log (1)yf xx，得 1 3yx ，即 1( ) 31fxx ，于是由 318x ，解得2x 解法 2 因为1( )8fx，所以 3 (8)log (8 1)2xf 20052020 年高考题 一、选择题 1.（2020 年山东文科卷）已知函数( )log (21)(01) x a f xbaa，的图象如图所 示，则ab，满足的关系是（ ） A 1 01ab B 1 01ba C 1 01ba D 11 01ab 答案 A 解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 由图易得1,a 1 01;a 取特殊点01log0, a xyb 1 1logloglog 10, aaa b a 1 01ab . 2. (07 山东)设 3 , 2 1 , 1 , 1，则使函数 xy 的定义域为 R 且为奇函数的所有 的值 为（ ） A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 答案 A 3.（2006 年安徽卷）函数 1( ) x yexR 的反函数是（ ） A1ln (0)yx x B1 ln (0)yx x C1 ln (0)yx x D1ln (0)yx x 答案 D 解析 由 1x ye 得：x+1=lny，即 x=-1+lny,所以1 ln (0)yx x 为所求， 故选 D。 4.（2006 年湖北卷）设 2 ( )lg 2 x f x x ，则 2 ( )( ) 2 x ff x 的定义域为( ) A( 4,0)(0,4) B( 4, 1)(1,4) 1 O y x C( 2, 1)(1,2) D( 4, 2)(2,4) 答案 B 解析 f（x）的定义域是（2，2） ，故应有2 2 x 2 且2 2 x 2 解得 4x1 或 1x4 故选 B。 5.(07 天津)设cba,均为正数，且a a 2 1 log2 ，b b 2 1 log 2 1 ，c c 2 log 2 1 . 则（ ） A.cba B.abc C.bac D.cab 答案 A 二、填空题 6.（2020 年山东文科卷）已知 2 (3 )4 log 3233 x fx，则 8 (2)(4)(8)(2 )ffff 的值等于 答案 2020 解析 本小题主要考查对数函数问题。 22 (3 )4 log 32334log 3233, xx fx 2 ( )4log233,f xx 8 (2)(4)(8)(2 )ffff 2222 8 2334(log 22log 23log 28log 2)1864 1442008. 7.(07 山东)函数) 1, 0( 13logaaxy a 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 01 nymx上，其中0mn，则 nm 21 的最小值为 . 答案 8 8.（2006 年辽宁卷）设 ,0. ( ) ,0. x ex g x lnx x 则 1 ( ( ) 2 g g_ 答案 1 ln 2 111 ( ( )(ln) 222 g gge. 解析 本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算. 9.(2006 年重庆卷)设0,1aa ，函数 2 lg(23) ( ) xx f xa 有最大值，则不等式 2 log570 a xx的解集为 . 解析 设0,1aa ，函数 2 lg(23) ( ) xx f xa 有最大值， 2 lg(23)lg2xx有 最小值， 0a1， 则不等式 2 log570 a xx的解为 2 2 570 571 xx xx ，解得 2x0 时，)()(,log)( 2 xgxfyxxg则函数的大致图象为（ ） 答案 B 3.（2020 番禺一模）已知函数 2 log,0, ( ) 2 ,0. x xx f x x 若 1 ( ) 2 f a ，则a （ ） A1 B2 C1或2 D1 或 2 答案 C 4.（2020 临沂一模）已知函数 f(x)= 3 1 ( )log 5 x x，若 x0是方程 f(x)=0 的解，且 0g(3),只需 g(2)0，解得 x 2 m 或 x1，故023 2 ktt 上式对一切Rt 均成立，从而判别式. 3 1 , 0124kk解得 14.（2020 广东三校一模）设函数 xxxf1ln21 2 . (1)求 xf的单调区间; (2)若当 1, 1 1 e e x时,(其中718 . 2 e)不等式 mxf恒成立,求实数 m的取值范围; (3)试讨论关于x的方程: axxxf 2 在区间 2 , 0上的根的个数. 解 （1）函数的定义域为, 1 1 22 1 1 12 x xx x xxf. 1 分 由 0 x f得0x; 2 分 由 0 x f得01x, 3 分 则增区间为, 0,减区间为0 , 1. 4 分 (2)令 , 0 1 22 x xx xf得0x,由(1)知 xf在 0 , 1 1 e 上递减,在 1, 0e上递增, 6 分 由, 2 1 1 1 2 ee f21 2 eef,且2 1 2 2 2 e e, 8 分 1, 1 1 e e x时, xf 的最大值为2 2 e,故2 2 em时,不等式 mxf恒成立. 9 分 (3)方程 , 2 axxxf即axx1ln21.记 xxxg1ln21,则 1 1 1 2 1 x x x xg.由 0 x g得1x;由 0 x g得11x. 所以 g(x)在0,1上递减，在1，2上递增. 而 g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，g(0)g(2)g(1) 10 分 所以，当 a1 时，方程无解； 当 3-2ln3a1 时，方程有一个解， 当 2-2ln2aa3-2ln3 时，方程有两个解； 当 a=2-2ln2 时，方程有一个解； 当 a2-2ln2 时，方程无解. 13 分 字上所述，a)2ln22 ,(), 1 (时，方程无解； 1 , 3ln23( a或 a=2-2ln2 时，方程有唯一解； 3ln23 , 2ln22(a时，方程有两个不等的解.14 分 20202020 年联考题 一、选择题 1.（2020 年高考数学各校月考试题）若 lga+lgb=0(其中 a1，b1)，则函数 f（x）=ax与 g(x)=bx的图象（ ） A关于直线 y=x 对称 B关于 x 轴对 称 C关于 y 轴对称D关于原点对称 答案 C 解析 取满足 2 1 21lglgbaba，则的特殊值可得答案 C. 2.（2020 届岳阳市一中高三数学能力题训练）已知 a1，则函数 f（x）= loga x 的图象与其反函数 y=f-1（x）的图象 （ ） A.不可能有公共点 B.不可能只有一个公共点 C. 最多只有一个公共点 D.最多只有两个公共点 答案 D 3.（2020 届高三数学二轮复习新型题专题训练）一次研究性课堂上，老师给出函 数 |1 )( x x xf (xR)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题： 甲：函数 f(x)的值域为（1，1） ；乙：若 x1x2，则一定有 f(x1)f(x2)； 丙：若规定)()(,)()( 11 xffxfxfxf nn ， |1 )( xn x xfn 对任意nN*恒成立. 你认为上述三个命题中正确的个数有（ ） A0 个B1 个C2 个D3 个 答案 D 二、填空题 4.（2020 年高考数学各校月考试题）已知函数 x xf) 2 1 ()(的图象与函数 g（x）的图 象关于直线xy 对称，令|),|1 ()(xgxh则关于函数)(xh有下列命题: )(xh的图象关于原点对称；)(xh为偶函数； )(xh的最小值为 0；)(xh在（0，1）上为减函数. 其中正确命题的序号为 （注：将所有正确命题的序号都填上） 答案 5.(江苏省南通市 2020 届高三第二次调研考试)幂函数( )yf x的图象经过点 1 ( 2,) 8 ，则 满足( )f x27 的 x 的值是 . 答案 1 3 三、解答题 6