函数的单调性与最值知识点习题

1.3.1函数的单调性与最大（小）值1、函数单调性的定义 设函数y=f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，（1）当 时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数：（2）当 时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。注意：具有三个特征：属于同一区间任意性有大小: 通常规定练习：若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数，总有，则必有（ ）A函数f(x)是先增后减 B. 函数f(x)是先减后增 C. 函数f(x)在R上是增函数 D. 函数f(x)在R上是减函数2、函数的单调性区间如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。3、基本初等函数的单调性（1）一次函数 （2） 反比例函数（3）二次函数练习：（1）函数的单调递增区间是 （2）函数在实数集R上是增函数，则（ ）A B. C. D. 练习：下列四个函数中，在上是增函数的是（ ）A B. C. D. 4、利用定义证明函数的单调性的步骤（1）取值： （2）作差：（3）变形：（4）判断差的符号：（5）下结论5、常用的单调性的结论6、函数的最大(小)值的方法1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值2. 利用图象求函数的最大(小)值：作出函数的图像，尤其是分段函数或解析式含有绝对值的函数，从图像直接观察可得最值3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。练习：（1）已知，则函数的最小值为 ，最大值为 。考点1：函数单调性的证明例1、 判断函数在 上是的单调性，并用单调性定义证明。练习：（1）证明函数在R上是增函数（2）求证函数上是减函数，在上是增函数考点2：求函数的单调区间利用图像求函数的单调区间例2：画出函数的图像，并指出函数的单调区间。变式：（1）作出函数的图像，并指出其单调区间。（2） 求函数的单调区间直接求函数的单调区间：利用已知函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等的单调性，直接写出所求函数的单调区间，或者将所给函数通过适当地变形，转化为可以利用已知函数的单调性进行判断的形式。例3：求函数的单调区间变式：求函数的单调区间利用定义求函数的单调区间例4：求函数的单调区间求复合函数的单调区间例5：求函数在定义域上的单调性变式：（1）求函数的单调区间（2） 已知函数，试求函数的单调区间。考点3：利用函数的单调性求函数的最值例6：已知函数，求当时的值域。例7：求函数上的最值。变式：（1）已知函数，求实数a的取值范围，使在区间上是单调函数.（2） 求函数的最大值（3） 已知.当时，判断并证明的单调性当，求函数的最小值考点4：利用函数的单调性比较大小例8：已知函数对任意实数t都有，试比较的大小练习：已知函数对任意实数t都有，试比较的大小的大小为 。考点5：利用函数的单调性解不等式与求参数的取值范围例9：已知函