高中数学必修2直线与圆的位置关系1

高中数学必修2直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）（2）圆的标准方程：；圆心，半径为；圆的一般方程：；圆心，半径为；【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设与圆；若到圆心之距为；在在圆外；在在圆内； 在在圆上；【三】、直线与圆的位置关系：设直线和圆，圆心到直线之距为，由直线和圆联立方程组消去（或）后，所得一元二次方程的判别式为，则它们的位置关系如下：相离；相切；相交；注意：这里用与的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。（2）几何法：设圆的半径为，圆的半径为两圆外离；两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含；（五）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，直线L：Ax+By+C=01位置关系的判定：判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程(1)0相交；(2)=0相切；(3)0相离。判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)dr相离。例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点 ，点P在圆O内，直线L与圆O相交。法二：圆心O到直线L的距离为 当d3时，(2m-1)20 mR所以直线L与直线O相交。法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)当m1时，0，直线与圆相交；当m=1时，直线L： ，此时直线L与圆O相交综上得直线L与圆O恒相交。评法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值1切线问题：例3：(1)已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2)法一：点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点， 当x00且y00时， 切线方程为 当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：(1) ； （2） B(4，5)解：(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，法一：设切线方程为 ，则圆心到切线的距离为 ，所求切线方程为 法二：ACl， 所求切线方程为 (2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为 又直线x=4也是圆的切线方程，所求切线方程为 (2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。注：(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。例6、从直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的最小值。解： 当|OP|最小时，SPAOB最小，又当OPL时|OP|最小，此时 例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x2+y2=r2的切线，切点为A、B，求直线AB的方程。解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则过A点的切线为x1x+y1y=r2，又过点P(a，b)ax1+by1=r2，同理有ax2+by2=r2由以上两式可以看出A、B的坐标都满足方程ax+by=r2，它是一条直线的方程，又过两点的直线有且仅有一条，直线AB的方程为ax+by=r2。2、弦长问题例8、(1)若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，求直线AB的方程。(2)若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。解：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，且A（x1，y1），B（x2，y2）由 ，消去y得5x2+4bx+b2-4=0由韦达定理得， 由消去b得 ，又因M在圆内，所求轨迹为直线 在圆内的部分。(3)经过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，直线l的方程为y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)由 消去y得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0 又x0 代入得x2+y2+x-2y=0M点在圆内，所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。法二：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，圆心C（-1，2）CMOM 当x0且x-1时，有 ，当x=0时，点M不存在；当x=-1时，点M与C重合，符合方程M点在圆内，所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。精选习题：1在直角坐标系中，直线的倾斜角是（）ABCD2直线同时要经过第一第二第四象限，则应满足（ ）ABCD3直线与圆的位置关系是（ ）A相交且过圆心B相切C相离D相交但不过圆心4过两点的直线在x轴上的截距是()ABCD25.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a，b)的位置是_A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能6已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）A B C D7若三点共线 则的值为（） 8直线在轴上的截距是（ ）ABCD9直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）A B C D10直线与的位置关系是（ ）A平行 B垂直 C斜交 D与的值有关11直线与平行，则它们之间的距离为（ ）A B C D 12、若直线的倾斜角为，则（ ）A、 B、 C、 D、不存在13经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（ ）A B C D14（安徽文）直线与圆没有公共点，则的取值范围是 （ ）A B C D15、经过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ） A、1条 B、2条 C、3条 D、4条16、方程表示的图形是（ ） A、两条相交而不垂直的直线 B、一个点 C、两条垂直直线 D、两条平行直线17、下列说法正确的是 A、 若直线与的斜率相等，则； B、若直线，则与的斜率相等；C、若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交； D、若直线与的斜率都不存在，则18动点在圆 上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是( )ABCD19.直线l过点A(0，2)且与半圆C：(x-1)2+y2=1(y0)有两个不同的交点，则直线l的斜率的范围是_20已知点在直线上，则的最小值为 21、m为任意实数时，直线（m1）x(2