第2章_1弹性力学基础与地震波—弹性力学基础

.,第二章弹性力学基础与地震波弹性力学基础波动方程的解,.,震源所激发的波传播到其他广泛区域的地面震动被地震仪记录地震图。这种波或震动涉及小弹性形变，是弹性力学的研究对象。地球介质在受到小规模、瞬间力的作用下，如地震、爆破等，震源区外围介质表现出弹性响应，这也是我们能记录到地震波、观测到大地震造成的地球自由振荡的原因。对在一年或数年的短时间尺度内变化的作用，地球介质的力学响应可以用弹性响应来近似。地震波在弹性介质中的传播过程是满足波动方程。,.,一、应变与位移的关系,连续介质中相邻的、两点的位移差为,小形变条件下,.,形变张量,旋转张量,.,分析：,连续介质中位移场的空间变化含介质元的形变和转动两部分,受力后线段长度的相对变化正应变,正交角度的变形剪应变,.,分析：,介质中某一点的正应变与剪应变的定义还与线的取向有关在三维空间中，介质中任意一点的正应变有个取值，分别记为：e11,e22,e33介质中任意一点的剪应变有个取值，分别记为：e12,e13,e21,e23,e31,e32,三维空间中，连续介质中任意一点处的应变要用个单元值组成的应变张量方能完全描述,.,二、应力张量,定义截面上点的应力矢量为：,定义的应力矢量是依赖于的外法线方向的,ij第个脚标表示的是截面元的法线矢量方向，第个脚标表示作用在该面元上力的分量方向。,.,从介质内截取个微小的四面体，四面体的三个面分别与三个坐标平面平行，第四个面是外法线单位矢量n=(cos1,cos2,cos3)的任意平面，该平面上的应力矢量为,四面体处于平衡状态,.,三、本构方程与广义胡克定律,对线性弹性体，其应力与应变间的本构关系可以用广义Hooke定律表示为：,和在弹性力学中称为拉枚（Lam）常数,各向同性弹性介质,对大量破坏性地震断层破裂现场调查研究表明，构造应力作用下，地壳所能承受的最大剪应变不超过10-4，大多数地震是在断层应变达到10-510-4时发生的破裂。小形变时，地球介质力学性质接近线弹性体，因此应用线弹性理论研究震源、地震波的传播是合适的。,.,弹性介质中，任一处质点产生一个扰动，即该处质点发生一个小位移，由于介质的弹性性质，该处的运动会影响相邻点，扰动就会向周围传播。波动方程就是对弹性介质中扰动激发和传播规律的数学表达。均匀弹性杆的一维波动方程忽略体力，一维均匀杆中质点受力运动描述分析截面积为的均匀弹性杆上、长度为dx的小质元受力运动情况，暂忽略体力的作用。,四、波动方程,.,设处质元时刻的位移为u(x,t)，运动速度则为（考虑小形变）,处质元时刻的加速度为,设均匀杆的密度为，则长度为的小质元的运动方程为,即,.,一维均匀弹性杆的波动方程,.,一维均匀弹性杆的波动方程,波动方程的一般解形式为,可以是任意的连续函数。以上形式的解称为达朗伯（DAlembert）解，即波动方程的行波解。,.,在时刻处的扰动与时刻处的扰动是完全相等的，即扰动以速度向正方向传播了一段距离，由传播到了。,同样可以证明，波动方程的另一个一般解表达的也是扰动的传播，只是传播的方向为负方向。波动方程中的涵义是波传播的速度。,.,三维均匀介质中的波动方程分析如图所示三维介质中的小质元受面力作用情况,体力fx1x2x3的作用（是单位体积质元的体力），质元的运动方程有,.,三维均匀介质中的波动方程,均匀层和射线理论近似：速度只是深度的函数，把介质模拟为一系列均匀层，层内拉梅系数梯度为零、随1/变化，高频时，拉梅系数的梯度趋于零,.,三维均匀介质中的波动方程,由赫姆霍茨定理，任意一个矢量场都可以表达为一个无旋度的矢量场和一个无散度的矢量场之和，并略去体力,即有,.,三维均匀介质中的波动方程,三维弹性介质中可以存在两种以不同速度传播的波，一种是以较快的速度传播的无旋波，在地球内部传播的这种波通常称为波（Primarywave），因为它首先到达记录台站；另一种是以较慢的速度传播的无散波，经地球内部传播的这种波通常称为波（Secondarywave），因为这种波在地震记录图上通常是第二个到达的显著地震震相。波、波是地震记录图上最为显著的两个体波震相。由于波与波传播速度不同，它们可以由同一震源同时激发，但以不同的速度独立传播。波传播速度大约为波的1.73倍，在地震图上波比波先到达，比较容易识别。,.,三维均匀介质中的波动方程,波与波的主要差异,波的传播速度较波速度快，地震图上总是先记录到波,这两种波的偏振（质点运动）方向相互正交。波的偏振方向与波的传播方向一致；波的偏振方向与波的传播方向垂直,.,三维均匀介质中的波动方程,波与波的主要差异,三分向地震仪记录在通常情况下，波的垂直分量相对较强，波的水平分量相对较强。波的低频成份较波丰富。,.,三维均匀介质中的波动方程,波与波的主要差异,天然地震的震源破裂通常以剪切破裂和剪切错动为主，震源向外辐射的波的能量较波的强。波通过时，质元无转动运动，但有体积变化，波是一种无旋波。波通过时，质元有转动，但无体积变化，波是一种无散的等容波。,用散度算子同时作用于波动方程式的两边（设在无体力