3.§1.2条件概率1.3加法公式.ppt

1,条件概率与乘法公式,2,1.条件概率的概念,在解决许多概率问题时，往往需要再某些附加条件下求事件的概率.例如，掷一骰子，设A=掷出偶数点，B=掷出2点，求:事件A发生的条件下B发生的概率?称此概率为条件概率.记作:P(B|A),解:事件A发生,意味着基本事件总数n只能是2,4,6点3个元素中的一个，所以n=3.其中只有1个在集A中，m=1所以事件A发生的条件下B发生概率1/3.,3,定义1.2设A、B是两个事件,在事件A发生的条件下事件B的发生的概率.称为B对A的条件概率,记作:P(B|A).同理事件B发生的条件下事件A发生概率.记作:P(A|B),2.条件概率的定义21页,设事件A含基本事件数为rA，若A发生条件下B也发生,则它既在A中又在B中,必属于AB.设事件AB含基本事件数为rAB,于是有,其中n表示基本事件总数,4,3.典型问题用定义求条件概率,例1.袋中有5个黑球和3个白球,从中任取1个,不放回取2次.设事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球.计算事件A的发生的条件下事件B的概率P(B|A).,解:因为在事件A的发生的条件下事件B才发生，意味着第一次取到黑球不放回,那么袋中剩下7个球(缩减样本空间),所以基本事件总数n=7.而且黑球数量减少为4，事件B发生表示第二次取到黑球,则m=4,条件概率特点：样本空间(基本事件数目)缩减,5,例2.设某种动物由出生算起活到12年以上的概率为0.8，活到16年以上的概率为0.2.问现年12岁的这种动物，它能活到16年以上的概率是多少？,解：设A=能活12年以上，B=能活16年以上,所求为P(B|A),依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.2BA,则P(AB)=P(B)=0.2,典型问题用公式计算条件概率,条件概率特点：样本空间(基本事件数目)缩减,6,某地区刮风天气的概率为4/15，下雨的概率为2/15,既刮风又下雨的概率1/10,求:在刮风条件下,下雨的概率.,解:设事件A=刮风天气，事件B=下雨天气则AB=既刮风又下雨.所以在刮风条件下,下雨的概率P(B/A),课堂作业用公式求条件概率,7,记忆口诀:在事件A发生的条件下事件B的发生的概率等于它们同时发生的概率除以事件A的概率。,记忆口诀:在事件B发生的条件下事件A的发生的概率等于它们同时发生的概率除以事件B的概率。,8,盒中装有10个木质球与6个玻璃球,木质球中有3个红球7个黄球,玻璃球中有2个红球4个黄球,从盒中任取1个球,设:事件A表示取到玻璃球，事件B表示取到红球，则:条件概率,因为事件B表示取到红球,表示取到黄球,表示取到玻璃球且是黄球,作业:45页(4),9,乘法公式,10,1.3乘法公式27页,1.积事件:事件A与事件B同时发生这件事，称事件A与B的积事件.记作：AB由条件概率公式得到积事件AB的概率计算公式2.乘法公式:,(1)若P(A)0(A先发生且影响B),则P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)0(B先发生且影响A),则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)推论若P(A1A2An1)0，则P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An1),11,典型问题1计算积事件的概率,例1.已知全部产品有4废品率，而合格品中有75是一级品.求:任取1件产品它是一级品的概率？,解:任取1件产品它是一级品相当于它是合格品且是一级品所以:设事件A=合格品，B=一级品则P(A)=96,P(B/A)=75所以任取1件产品,它是一级品的概率P(AB)P(AB)=P(A)P(B/A)=9675=72所以任取1件产品,它是一级品的概率0.72.总结：通过设事件A.B及条件概率，能够把已知条件利用上，如果设任取1件产品,它是一级品。则不容易计算本题。,12,典型问题1计算积事件的概率,例2.袋中有7个黑球和2个白球,每次任取1球,不放回取两次,求:两次都取到是黑球的概率.,解设A=第一次取到黑球,B=第二次取到黑球则两次都取到是黑球这件事=AB根据乘法公式P(AB)=P(A)P(B/A).那么第一次取到黑球概率P(A)=7/9,在取到黑球的条件下不放回,又取到黑球概率P(B/A)=6/8.所以P(AB)=P(A)P(B/A)=7/96/8=7/12实际上:第二次也取到黑球的概率P(B)=6/8,所以P(AB)=P(A)P(B)=7/96/8=7/12,答:两次都取到是黑球的概率为7/12.,13,1.3.2独立事件的乘法公式,定义1.3对于事件A,B,如果A的发生对B发生没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件.且P(AB)=P(A)P(B),例如.检验一批产品从中任意取一件,检验后就放回，再取一件检验，那么第一检验不影响第二次检验结果,所以二者为独立事件。但是从中任意取一件不放回,再取一件检验，那么第一次检验影响第二次检验结果,所以二者不为独立事件.,14,例3.甲、乙二人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.6;乙击中目标概率是0.8,求都击中目标的概率是多少?,解:都击中目标这件事相当于甲击中目标且乙击中目标.所以设A=甲击中目标，B=乙击中目标.由于甲、乙二人各进行一次射击互不影响.A与B两个事件是相互独立的.所以两人都击中目标的概率：P(AB)=P(A)P(B)=0.60.8=0.48,典型问题2事件独立性解题,15,2.独立事件的性质,1.如果事件A与B相互独立，而且P(A)0(A发生)则:P(B|A)=P(B),证明由于事件A与B相互独立，故P(AB)=P(A)P(B),2.若事件A与B相互独立，则:,3.若事件A1,A2.An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),16,44页1.19-(7)若事件A与B相互独立，P(B)=0.6,则,解:事件A与B相互独立，则:,17,典型问题2计算独立事件的概率,例4.甲、乙二人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8,乙击中目标的概率是0.9,两人都射击一次.求:(1)两人都没击中目标的概率,(2)目标被击中的概率.,解:设A=甲击中目标，B=乙击中目标A与B两个事件是相互独立的.且,(2)目标被击中与都没击中是相互对立事件,转化为对立事件更容易,目标被击中的概率等于1-0.02=0.98,18,典型问题2计算独立事件的概率,例5.三人独立破译密码,他们各自译出的概率分别为0.2、0.25、0.3,求密码被译出的概率.,解:设A=甲破译，B=乙破译,C=丙破译事件A、B、C相互独立.因为密码被译出等于三人少有一人译出密码.即和事件A+B+C而且它与三人都没有译出密码互为对立事件.由于三人没有译出密码的概率分别为0.8;0.75;0.7以密码被译出的概率为,19,1.3.3独立重复事件的概率,1.定义:在相同的条件下重复地各次之间相互独立地进行的一种试验.,2.n次独立重复试验中某事件A发生k次的概率公式：,例6.某气象站天气预报的准确率为80%，5次预报中恰有4次准确的概率；,20,问题3计算独立重复事件的概率,例6.某气象站天气预报的准确率为80%，5次预报中恰有4次准确的概率.,解5次预报中有4次准确是n次独立重复试验中某事件A发生k次的概率.设事件A表示“预报准确”，概率p=0.8,n=5,k=4.,所以5次预报中恰有4次准确的概率是0.41,21,1.由条件概率公式得到积事件AB的概率计算公式:2.独立事件的乘法公式:P(AB)=P(A)P(B)3.独立重复事件的概率:,1.3.3乘法公式总结,22,计算独立重复事件的概率,例7.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制双方获胜的概率均为50.求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率。,解:设A=甲打3局获胜,B=甲打4局获胜,C=甲打5局获胜甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜.取比赛局数n=3,获胜局数k=3,甲队获胜的概率P=0.5根据独立重复试验概率公式甲打3局才取胜概率为,23,甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负取n=3,k=2甲打4局才取胜概率为,甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验且甲第5局比赛取胜，前4局为2胜2负.取n=4,k=2甲打5局才取胜概率为,24,1.2概率加法公式,25,1.2加法公式21页,和事件设事件A和B，则两个事件至少有一个发生这件事称为和事件.计作：A+B如图2.一般加法公式求事件A和B，至少有一个发生的概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB),证明：如图设随机试验用矩形面积S表示，事件A与B发生分别用SA和SB表示，它们同时发生用SAB表示.那么和事件A+B发生计作SA+B.则:,26,3.利用概率加法公式解题,例1.某地区资料表明，有60的人购买股票，25购买基金，18既购买股票又购买基金.现在任意调查一人,求这人从事证劵投资的概率？,解因为从事证劵投资相当于购买股票或购买基金至少有一个发生.所以设事件A=购买股票,B=购买基金从事证劵投资=A购买股票+B购买基金,答:调查这人从事证劵投资的概率为0.67注意:不能设某个事件为这人从事证劵投资,不然无法利用已知条件,27,4.互斥事件的加法公式24页,互斥事件设事件A和B，则两个事件不能同时发生这件事称为互斥事件.如图2.互斥事件的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0,例如.一批产品90是合格品，从中任意取一件,若合格就放回，再取一件若仍为合格品，则接收这批产品,否则拒收.求这批产品拒收的概率.,设A=第一个产品是合格品,B=第二个产品是次品,则两个事件不能同时发生,这两个事件为互斥事件.,28,5.对立事件的概率24页,对立事件事件A不发生的这件事称为A的对立事件.如图2.对立事件的概率公式,A,例如书包里有数学、语文、英语、物理书.(1)取到数学书与取到物理书是互斥事件,不是对立事件(2)没有取到物理书与取到物理书是对立事件.,29,6.利用对立事件的概率解题,例2.书包里有数学、语文、英语、物理各1本，任意取一本，没有取到物理书的概率.,解:设事件A表示“取到物理书”则事件A的对立事件没有取到物理书。记作,事件A对立事件的概率,30,例3.一批产品90是合格品，从中任意取一件,若合格就放回，再取一件若仍为合格品，则接收这批产品,否则拒收.求这批产品拒收的概率.,6.利用对立事件的概率解题,解:设A=第一次取出是合格品,B=第二次取出是次品,则P(A)=0.9,P(B)=0.1,A的对立事件概率为：,这批产品拒收=第一个产品不合格+第一个产品合格且第二次取出是次品,他们互斥且独立。这批产品拒收的概率,31,全班50名学生,有男生31人,女生19人.男生中有11人是本地人，女生中有12人是本地人.设A表示男生,B表示本地人，求:(1)P(B)和P(B|A);(2)P(A)和P(A|B),课堂作业用公式求条件概率,解(1)P(B)表示本地人的概率.全班50名学生，本地23人.所以,P(B/A)表示男生中本地人的概率.全班有31名男生,本地11人.所以,解(2)P(A)表示男生的概率.全班50名学生，有男生31人,P(A/B)表示本地人中男生的概率.全班本地33人,有11名男生.所有,32,33,填空题43页1.19(6)、(7)、(8)题单选题44页1.20题(4)、(5)、(6)题计算题42页1.05,1.07,1.08、1.09、1.10、1.11,1.13题,第二讲作业,34,作业43页1.19(4)题,解:,作业43页1.19填空(5)题,解:因为事件A和B互斥，所以P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=0.4+0.3=0.7,35,48页1.19填空(6)题,解:,36,作业46页1.05题,某地区一年内刮风的概率为4/15，下雨的概率为2/15,既刮风又下雨的概率1/10，求(1)刮风或下雨的概率;(2)既不刮风又不下雨的概率.,解:设事件A=一年内刮风，B=一年内下雨(1)刮风或下雨的概率P(A+B).已知,(2)既不刮风又不下雨的对立事件为刮风或下雨,37,作业解答:乘法公式计算概率,47页1.07题.某产品甲厂生产市场占有60,乙厂占40.甲厂次品率为7,乙厂次品率为8.在市场上任买一件求:(1)买到甲厂生产的次品的概率;(2)买到乙厂生产的次品的概率.,解:设事件A=甲厂生产产品，B=乙厂生产产品C=生产次品依题义P(A)=60,P(B)=40P(C/A)=7,P(C/B)=8(1)所以买到甲厂生产的次品的概率P(AC)P(AC)=P(A)P(C/A)=607=4.2（乘法公式)(2)买到乙厂生产的次品的概率P(BC)=P(B)P(C/B)=408=3.2（乘法公式),这道题容易,38,作业解答计算独立重复事件的概率,47页1.12题.甲、乙两队参加排球比赛，规定3局2胜制甲队获胜的概率为60.求甲队在一场比赛取胜的概率.,解:设A=甲打2局获胜,B=甲打3局获胜甲打完2局取胜，相当于进行2次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜.局数n=2,胜局k=2,概率P=0.6甲打2局取胜概率为,甲打完3局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验且甲第3局比赛取胜，前2局为1胜1负取n=3,k=1甲打4局取胜概率为,