二重积分的计算法最新版本

.,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,X-型积分区域,Y-型积分区域,将二重积分化为二次积分,与直系下二次积分互化,.,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X型区域,直角坐标系下化二重积分为二次积分,.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,由此得：,则,的值等于以D为底，,以曲面,为顶的圆柱体的体积，,.,若D为Y型区域,则,.,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,.,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,.,穿过区域且平行于y轴的,直线与区域边界相交不多于两个交点.,直线与区域边界相交不多于两个交点.,计算中的技巧（问题）：,、先画积分区域草图；,、有无奇偶对称性:,X型区域的特点：,穿过区域且平行于x轴的,Y型区域的特点：,.,关于x奇，D关于y轴对称,关于y奇，D关于x轴对称,关于x偶，,关于y偶，,D关于y轴对称,D关于x轴对称,称f(x,y)关于x为奇，,称f(x,y)关于x为偶，,.,、交换积分次序：,、题目本有要求；,、出现,、二重积分恒等式证明。,、积分原则：与定积分计算基本一致；,（先对x积分，视y为常量，,对y积分，视x为常量),、何时不得不将积分域D分块？,穿入穿出不唯一。,.,解,积分区域如图,.,解,积分区域如图,.,解,.,原式,.,例4.计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,.,例5.计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线,则,.,例6.计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X型域:,先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,.,例7求I=,解:由被积函数可知,取D为X型域:,因此取D为Y型域:,先对y积分不行,.,例8求I=,解:被积函数关于x为奇，关于y为奇,因此取D分为两部分:,.,例9.计算,其中D由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,.,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,及射线=常数,分划区域D为,.,设,则,1.极点在积分区域外,.,设,则,设,则,2.极点在积分区域的边界上,3.极点在积分区域的内部,.,若f1则可求得D的面积,思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试,答:,问的变化范围是什么?,(1),(2),.,适合类型：,、积分域为圆域或圆域的一部分（包括环形域）；,、被积函数含,因子。,注意的问题：,、必须画出积分区域图；,、特别注意积分向量,限的确定问题；,、不要忘记,.,积分限的决定：,一般来讲，定好是比较关键的,表示常数,曲线任意一点到极点的距离,积分限的确定（一般),、假设极点在闭区域D内，则：,、若极点在区域D之外或边界上：看区域D,夹在,与,之间，,以此来定,的范围（通过图形来看）；,.,注意：,、外层一定是常数限；,、选定,还是r,r积分限的确定,（仍用穿刺法）具体做法：,在D内任找一点，从原点0出发向外作射线,（要注意此时与D边界的交点不能多于两个），,先穿出的的边界解出的,为下限，后穿出,的边界解出的r为上限。,、上限必须大于下限；,.,例1.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,.,例2：求I=,其中A为D的面积,.,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,.,则,极坐标系情形:若积分区域为,若积分域较复杂,可将它分成,若干X-型域或Y-型域,则,.,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出