普通高等学校招生全国统一考试数学理全国卷I解析

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷 I I，解，解 析版）析版） 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第第 I I 卷卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。参考公式：参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件A、B相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ()( )( )P A BP A P BAA 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p，那么 3 3 4 VR n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中 R 表示球的半径 ( )(1)(0,1,2,) kkn k nn P kC ppkn 一选择题一选择题 (1)复数 32 23 i i (A)i (B)i (C)12-13i (D) 12+13i 【答案】A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 【解析】 32(32 )(23 )6946 23(23 )(23 )13 iiiii i iii . (2)记cos( 80 )k ,那么tan100 A. 2 1k k B. - 2 1k k C. 2 1 k k D. - 2 1 k k 【答案】B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了 弦切互化这一转化思想的应用. 2 【解析】 222 sin801 cos 801 cos ( 80 )1 k ,所以tan100tan80 2 sin801 . cos80 k k (3)若变量, x y满足约束条件 1, 0, 20, y xy xy 则2zxy的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 （4）已知各项均为正数的等比数列 n a， 123 a a a=5， 789 a a a=10，则 456 a a a= (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2 【答案】A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知 识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】由等比数列的性质知 3 1231322 ()5a a aa aaaA， 3 7897988 ()a a aa aaaA10,所以 1 3 28 50a a , 所以 1 333 6 456465528 ()()(50 )5 2a a aa aaaa aA (5) 353 (12) (1)xx的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 3 A B C D A1 B1 C1 D1 O (6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程 中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 (7)正方体 ABCD- 1111 ABC D中，B 1 B与平面 AC 1 D所成角的余弦值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 【答案】D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、 点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D的距离是 解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现. 4 （8）设 a= 3 log2,b=In2,c= 1 2 5 ,则 A abc Bbca C cab D cba 【答案】C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大 小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a= 3 log2= 2 1 log 3 , b=In2= 2 1 log e ,而 22 log 3log1e,所以 ab, c= 1 2 5 = 1 5 ,而 22 52log 4log 3,所以 ca,综上 cab. (9)已知 1 F、 2 F为双曲线 C: 22 1xy的左、右焦点，点 p 在 C 上， 1 Fp 2 F= 0 60，则 P 到 x 轴的距离为 (A) 3 2 (B) 6 2 (C) 3 (D) 6 【答案】B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学 思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析】不妨设点 P 00 (,)xy在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得 2 1000 |()12 a PFe xaexx c ， 2 2000 |)21 a PFe xexax c .由 余弦定理得 cos 1 FP 2 F= 222 1212 12 | 2| PFPFFF PFPF ,即 cos 0 60 222 00 00 (12)( 21)(2 2) 2(12)( 21) xx xx , 5 解得 2 0 5 2 x ,所以 22 00 3 1 2 yx ，故 P 到 x 轴的距离为 0 6 | 2 y （10）已知函数 F(x)=|lgx|,若 0ab,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A)(2 2,) (B)2 2,) (C)(3,) (D)3,) （11）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为俩切点，那么PA PB 的 最小值为 (A) 42 (B)32 (C) 42 2 (D)32 2 【答案】D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法 判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设 PA=PB=x(0)x ,APO=,则 APB=2，PO= 2 1x， 2 1 sin 1x ， | |cos2PA PBPAPB = 22 (1 2sin)x= 22 2 (1) 1 xx x = 42 2 1 xx x ，令PA PBy ，则 42 2 1 xx y x ，即 42 (1)0 xy xy，由 2 x是实数，所以 2 (1)4 1 ()0yy ， 2 610yy ，解得32 2y 或32 2y . 故 min ()32 2PA PB .此时21x . （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 P A B O 6 (A) 2 3 3 (B) 4 3 3 (C) 2 3 (D) 8 3 3 【答案】B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这 个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为h,则有 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, 22 max 2 212 3h,故 max 4 3 3 V. 绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 第卷 注意事项： 1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 3。第卷共 l0 小题，共 90 分。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效) (13)不等式 2 211xx 的解集是 . 【答案】0,2 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基 本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 解析:原不等式等价于 22 21(1) , 10 xx x 解得 0x2. (14)已知为第三象限的角， 3 cos2 5 ,则tan(2 ) 4 . 7 1 2 x y=1 x y a O 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa (15)直线1y 与曲线 2 yxxa有四个交点，则a的取值范围是 . 【答案】(1, 5) 4 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着 重考查了数形结合的数学思想. 【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线1y 与曲线 2 yxxa,观图可知，a 的取值必须满足 1 , 41 1 4 a a 解得 5 1 4 a. (16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D， 且BF2FD uu ruur ，则C的离心率为 . 【答案】 2 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第 二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想, 本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数” ，利用几 何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图， 22 |BFbca, 作 1 DDy轴于点 D1,则由BF2FD uu ruur ，得 1 |2 |3 OFBF DDBD ,所以 1 33 | 22 DDOFc, 即 3 2 D c x ,由椭圆的第二定义得 22 33 |() 22 acc FDea ca xO y B F 1 D D 8 又由| 2|BFFD,得 2 3 2 c ca a ,整理得 22 320caac. 两边都除以 2 a,得 2 320ee ,解得1()e 舍去，或 2 3 e . 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 10 分)(注意：在试题卷上作答无效) 已知ABCV的内角A，B及其对边a，b满足cotcotabaAbB，求内角 C 【命题意图命题意图】本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值，以及考查逻辑思维能力、运 算能力，同时转化与化归的思想、方程思想 【点评点评】解斜三角形实际属于三角函数的范畴，以三角函数的考查有五种基本题型：考查 纯三角函数、考查三角函数与平面向量的交汇、解斜三角形、解斜三角形与向量的交汇、 三角变换及求值与解斜三角形的交汇，每年对这方面的考查往往是轮番出现，备考注意这 几个方面的强化训练 (18)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 05，复审的稿件能通过评审的概率为 03 各专家独立评审 (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； (II)记X表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望 【答案】解：解： ()记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； 9 期望4 0.41.6EX . 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、 数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转 化思想. （19） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC . （）证明：SE=2EB； （）求二面角 A-DE-C 的大小 . 10 故BK 平面ED C ,SBCBKDE DE与平面内的两条相交直线BK、BC都垂直. SBC,DEEC,DESBDE 平面 22 6,SBSDDB 2 3 SD DB DE SB A , 22 62 6 , 33 EBDBDESESBEB, 所以，2SEEB. () 由 22 5,1,2,SASDADABSEEB ABSA知 22 12 1,AD=1 33 AESAAB 又. 故ADE为等腰三角形. 取ED中点 F,连接AF,则 22 6 , 3 AFDE AFADDF. 连接FG，则/ /,FGEC FGDE. 11 所以，AFG是二面角ADEC的平面角. 连接 AG,AG=2, 22 6 3 FGDGDF, 222 1 cos 22 AFFGAG AFG AF FG AA , 所以，二面角ADEC的大小为 120. 解法二：解法二： 由,mDE mDC,得 0mDE，0mDC 故 2 0,20 111 xyz y . 令2x ，则(2,0,)m. 由平面DECSBC 平面得,0,20,2mn m nA. 故2SEEB. 12 () 由（）知 2 2 2 , 3 3 3 E ,取DE中点 F，则 1 1 1 , 3 3 3 F , 211 , 333 FA , 故0FA DE A,由此得FADE. 又 2 42 (,) 3 33 EC ,故0,EC DE A由此得ECDE, 向量FA 与EC 的夹角等于二面角ADEC的平面角. 于是 1 cos(,) 2 FA EC FA EC FA EC A , 所以，二面角ADEC的大小为 120. 【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二 面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. (20)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数( )(1)ln1f xxxx. （）若 2 ( )1xfxxax，求a的取值范围； （）证明：(1) ( )0 xf x . 【答案】 （） 11 ( )ln1ln x fxxx x ， ( )ln1xfxxx, 题设 2 ( )1xfxxax等价于ln xxa. 令( )lng xxx，则 1 ( )1g x x 当01x， ( ) 0g x ；当1x时， ( ) 0g x ，1x 是( )g x的最大值点， ( )(1)1g xg 综上，a的取值范围是1, . ()有（）知，( )(1)1g xg 即ln1 0 xx . 当01x时，( )(1)ln1ln(ln1)0f xxxxxxxx ； 当1x时， ( )ln( ln1)f xxxxx 13 1 ln(ln1)xxx x 11 ln(ln1)xx xx 0 所以(1) ( )0 xf x 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、 不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函 数与方程思想、化归与转化思想. （21）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知抛物线 2 :4C yx的焦点为 F，过点( 1,0)K 的直线l与C相交于A、B两点， 点 A 关于x轴的对称点为 D . （）证明：点 F 在直线 BD 上； （）设 8 9 FA FB A，求BDK的内切圆 M 的方程 . 所以点(1,0)F在直线BD上 （）由知， 2 1212 (1)(1)42xxmymym 1212 (1)(1)1.x xmymy 14 因为 11 (1,),FAxy uu r 22 (1,)FBxy uur ， 2 12121212 (1)(1)() 1484FA FBxxy yx xxxm uu r uur 故 2 8 84 9 m， 解得 4 3 m 所以l的方程为 3430,3430 xyxy 又