最新6年高考4年模拟--第六章第一节等差数列、等比数列的概念及求和

第六章第六章 数列数列 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和 第一部分 六年高考题荟萃 2020 年高考题 一、选择题 1.（2020 浙江理） （3）设 n S为等比数列 n a的前n项和， 25 80aa，则 5 2 S S （A）11 （B）5 （C）8 （D）11 解析：通过 25 80aa，设公比为q，将该式转化为08 3 22 qaa，解得q=-2， 带入所求式可知答案选 D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与 前 n 项和公式，属中档题 2.（2020 全国卷 2 理） （4）.如果等差数列 n a中， 345 12aaa，那么 127 .aaa （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 17 345441274 7() 312,4,728 2 aa aaaaaaaaa 3.（2020 辽宁文） （3）设 n S为等比数列 n a的前n项和，已知 34 32Sa ， 23 32Sa ，则公比q （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】 B 解析：选 B. 两式相减得， 343 3aaa， 4 43 3 4,4 a aaq a . 4.（2020 辽宁理） （6）设an是有正数组成的等比数列， n S为其前 n 项和。已知 a2a4=1, 3 7S ,则 5 S （A） 15 2 (B) 31 4 (C) 33 4 (D) 17 2 【答案】B 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，考查了同学们解 决问题的能力。 【解析】由 a2a4=1 可得 24 1 1a q ，因此 1 2 1 a q ，又因为 2 31(1 )7Saqq，联力 两式有 11 (3)(2)0 qq ，所以 q= 1 2 ,所以 5 5 1 4(1) 31 2 1 4 1 2 S ，故选 B。 5.（2020 全国卷 2 文）(6)如果等差数列 n a中， 3 a+ 4 a+ 5 a=12，那么 1 a + 2 a+ 7 a= （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【答案】C 【解析】本题考查了数列的基础知识。 345 12aaa ， 4 4a 127174 1 7 ()728 2 aaaaaa 6.（2020 安徽文）(5)设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn，则 8 a的值为 （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 【答案】 A 【解析】 887 644915aSS. 【方法技巧】直接根据 1( 2) nnn aSSn 即可得出结论. 7.（2020 浙江文）(5)设 n s 为等比数列 n a的前 n 项和， 25 80aa则 5 2 S S (A)-11 (B)-8 (C)5(D)11 解析：通过 25 80aa，设公比为q，将该式转化为08 3 22 qaa，解得q=-2， 带入所求式可知答案选 A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与 前 n 项和公式 8.（2020 重庆理） （1）在等比数列 n a中， 20102007 8aa ，则公比 q 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A 解析：8 3 2007 2010 q a a 2q 9.（2020 广东理）4. 已知 n a为等比数列，Sn是它的前 n 项和。若 231 2aaa， 且 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 ，则 5 S= A35 B.33 C.31 D.29 【答案】C 解析：设 n a的公比为q，则由等比数列的性质知， 23141 2aaa aa，即 4 2a 。 由 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 知， 47 5 22 4 aa，即 74 15151 (2)(22) 24244 aa 3 7 4 1 8 a q a ，即 1 2 q 3 411 1 2 8 aa qa，即 1 16a 10.（2020 广东文） 11.（2020 山东理） 12.（2020 重庆文） （2）在等差数列 n a中， 19 10aa，则 5 a的值为 （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 【答案】 A 解析：由角标性质得 195 2aaa，所以 5 a=5 二、填空题 1.（2020 辽宁文） （14）设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 36 324SS，则 9 a 。 解析：填 15. 31 61 3 2 33 2 6 5 624 2 Sad Sad ,解得 1 1 2 a d ， 91 815.aad 2.（2020 福建理）11在等比数列 n a中,若公比q=4,且前 3 项之和等于 21,则该 数列的通项公式 n a 【答案】 n-1 4 【解析】由题意知 111 41621aaa，解得 1 1a ，所以通项 n a n-1 4。 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用，属基础题。 3.（2020 江苏卷）8、函数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横 坐标为 ak+1,k 为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5=_ 解析：考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为： 2 2(), kkk yaaxa当0y 时，解得 2 k a x ， 所以 1135 ,164 121 2 k k a aaaa 。 三、解答题 1.（2020 上海文）21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第一个小题满分 6 分， 第 2 个小题满分 8 分。 已知数列 n a的前n项和为 n S，且585 nn Sna， * nN (1)证明：1 n a 是等比数列； (2)求数列 n S的通项公式，并求出使得 1nn SS 成立的最小正整数n. 解析：(1) 当 n1 时，a114；当 n2 时，anSnSn15an5an11，所以 1 5 1(1) 6 nn aa ， 又 a11150，所以数列an1是等比数列； (2) 由(1)知： 1 5 115 6 n n a ，得 1 5 1 15 6 n n a ，从而 1 5 7590 6 n n Sn (nN*)； 由 Sn1Sn，得 1 52 65 n ， 5 6 2 log114.9 25 n ，最小正整数 n15 2.（2020 陕西文）16.（本小题满分 12 分） 已知an是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3，a9成等比数列. （）求数列an的通项;（）求数列2an的前 n 项和 Sn. 解 （）由题设知公差 d0， 由 a11，a1，a3，a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d ， 解得 d1，d0（舍去） ， 故an的通项 an1+（n1）1n. ()由（）知2 m a =2n，由等比数列前 n 项和公式得 Sm=2+22+23+2n= 2(1 2 ) 1 2 n =2n+1-2. 3.（2020 全国卷 2 文） （18） （本小题满分 12 分） 已知 n a是各项均为正数的等比数列，且 12 12 11 2()aa aa ， 345 345 111 64()aaa aaa （）求 n a的通项公式； （）设 2 1 () nn n ba a ，求数列 n b的前n项和 n T。 【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。 （1）设出公比根据条件列出关于 1 a 与d的方程求得 1 a 与d，可求得数列的通项公 式。 （2）由（1）中求得数列通项公式，可求出 BN 的通项公式，由其通项公式化可知 其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。 4.（2020 江西理）22. （本小题满分 14 分） 证明以下命题： （1） 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b0 由 a2+a716.得 1 2716ad 由 36 55,aa得 11 (2 )(5 )55ad ad 由得 1 2167ad将其代入得(163 )(163 )220dd。即 2 2569220d 2 4,0,2,1 1 (1) 221 n ddd ann 1 又代入得a （2）令 121121 , 2 n nnnnn n b caccc accc 则有 两式 相减得 1111 1 111 1 ,(1)1,2 2,2(2),2222 2,(1) 2(2) nnnnn n nnn n n aacaaa ccnnbba n b n 由得 即当时，又当n=1时， 于是 341 123 2222n nn Sbbbb = 2341 22222n-4= 1 22 2(21) 426,26 2 1 n nn n S 即 27. （2020 福建卷文）等比数列 n a中，已知 14 2,16aa （I）求数列 n a的通项公式； （）若 35 ,a a分别为等差数列 n b的第 3 项和第 5 项，试求数列 n b的通项公式 及前n项和 n S。 解：（I）设 n a的公比为q 由已知得 3 162q，解得2q （）由（I）得 2 8a ， 5 32a ，则 3 8b ， 5 32b 设 n b的公差为d，则有 1 1 28 432 bd bd 解得 1 16 12 b d 从而16 12(1)1228 n bnn 所以数列 n b的前n项和 2 ( 16 1228) 622 2 n nn Snn 28（2020 重庆卷文） （本小题满分 12 分， （）问 3 分， （）问 4 分， （）问 5 分） 已知 1 1221 1,4,4, n nnnn n a aaaaa bnN a （）求 123 ,b b b 的值； （）设 1,nnnn cb bS 为数列 n c的前n项和，求证：17 n Sn； （）求证： 2 2 11 64 17 nn n bb A 解：（） 234 4,17,72aaa，所以 123 1772 4., 417 bbb （）由 21 4 nnn aaa 得 2 11 4 nn nn aa aa 即 1 1 4 n n b b 所以当2n时，4 n b 于是 1121 ,17,4117(2) nnnn cb bcb bbn 所以 12 17 nn Scccn （）当1n 时，结论 21 117 464 bb成立 当2n时，有 1 11 11 111 |44| | 17 nn nnnn nnnn bb bbbb bbb b 1221 212 1111 |(2) 171764 17 nn nn bbbbn A 所以 2121221nnnnnnnn bbbbbbbb 1 122* 2 11 ()(1) 1111111 1717 ()()()() 1 4171717464 17 1 17 n n nnn n nN AA 20052020 年高考题 一、选择题 1.（2020 天津）若等差数列 n a的前 5 项和 5 25S ，且 2 3a ，则 7 a ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案 B 2.（2020 陕西）已知 n a是等差数列， 12 4aa， 78 28aa，则该数列前 10 项和 10 S 等于（ ） A64 B100 C110 D120 答案 B 3.（2020 广东）记等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1 1 2 a ， 4 20S ，则 6 S （ ） A16 B24 C36 D48 答案 D 4.（2020 浙江）已知 n a是等比数列， 4 1 2 52 aa，则 13221 nna aaaaa=（ ） A.16（ n 41） B.6（ n 21） C. 3 32 （ n 41） D. 3 32 （ n 21） 答案 C 5.（2020 四川）已知等比数列 n a中 2 1a ，则其前 3 项的和 3 S的取值范围是() A., 1 B. ,01, C.3, D. , 13, 答案 D 6.（2020 福建)设an是公比为正数的等比数列，若 n1=7,a5=16,则数列an前 7 项的和为( ) A.63B.64C.127D.128 答案 C 7.（2020 重庆）在等比数列an中，a28，a564， ，则公比 q 为（ ） A2 B3 C4 D8 答案 A 8.（2020 安徽）等差数列 n a的前n项和为 x S若则 432 , 3, 1Saa（ ） A12 B10 C8 D6 答案 B 9.（2020 辽宁）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 3 9S ， 6 36S ，则 789 aaa（ ） A63 B45 C36 D27 答案 B 10.(2020 湖南) 在等比数列 n a（nN*）中，若 1 1a ， 4 1 8 a ，则该数列的前 10 项和为（ ） A 4 1 2 2 B 2 1 2 2 C 10 1 2 2 D 11 1 2 2 答案 B 11.(2020 湖北)已知两个等差数列 n a和 n b的前n项和分别为 An和 n B，且 745 3 n n An Bn ，则使得 n n a b 为整数的正整数n的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 答案 D 12.(2020 宁夏)已知abcd和和和成等比数列，且曲线 2 23yxx的顶点是()bc和， 则ad等于（ ） A3 B2 C1 D2 答案 D 13.(2020 四川)等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ ） A9 B10 C11 D12 答案 B 14.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且 , ,a b c , ,c a b 310abc ，则a A4 B2 C2 D4 答案 D 解析 由互不相等的实数 , ,a b c 成等差数列可设abd，cbd，由 310abc 可得b2，所以a2d，c2d，又 , ,c a b成等比数列可得d6， 所以a4，选D 15.（2005福建）已知等差数列 n a中， 12497 , 1,16aaaa则的值是 （ ） A15B30C31D64 答案 A 16.（2005 江苏卷）在各项都为正数的等比数列an中，首项 a1=3 ，前三项和 为 21，则 a3+ a4+ a5=( ) A .33 B. 72 C. 84 D .189 答案 C 二、填空题 17.（2020 四川）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 45 10,15SS，则 4 a的最 大值为_. 答案 4 18.（2020 重庆)设 Sn=是等差数列an的前 n 项和，a12=-8,S9=-9,则 S16= . 答案 -72 19.(2020 全国 I) 等比数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 S， 2 2S ， 3 3S 成等差数列， 则 n a的公比为 答案 1 3 20.（2020 江西）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 12 21S，则 25811 aaaa 答案 7 21.（2020 北京）若数列 n a的前n项和 2 10 (12 3) n Snn n， ，则此数列的通 项公式为；数列 n na中数值最小的项是第项 答案 211n 22.（2006 湖南）数列 n a满足：1.2, 1 11 naaa nn ，2，3.则 n aaa 21 . 答案 12 n 解析 数列 n a 满足： 11 1,2, 1 nn aaan ，2，3，该数列为公比为 2 的等比 数列， n aaa 21 . 三、解答题 23.（2020 四川卷） 设数列 n a的前n项和为 n S，已知21 n nn babS （）证明：当2b 时， 1 2n n an 是等比数列； （）求 n a的通项公式 解 由题意知 1 2a ，且21 n nn babS 1 11 21 n nn babS 两式相减得 11 21 n nnn b aaba 即 1 2n nn aba （）当2b 时，由知 1 22n nn aa 于是 1 1 2221 2 nnn nn anan 1 22n n an 又 1 1 1 210 n a ，所以 1 2n n an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列。 （）当2b 时，由（）知 11 22 nn n an ，即 1 1 2n n an 21 21 2 1 n n 当2b 时，由由得 11 1 11 222 22 nnn nn aba bb 2 2 n n b ba b 1 2 2 n n b a b 因此 1 1 11 22 22 nn nn ab a bb 2 1 2 n b b b 得 1 21 1 2222 2 n nn n a b bn b 24.（2020 江西卷）数列 n a为等差数列， n a为正整数，其前n项和为 n S，数列 n b为等比数列，且 11 3,1ab ，数列 n a b是公比为 64 的等比数列， 22 64b S . （1）求, nn a b； （2）求证 12 1113 4 n SSS . 解：（1）设 n a的公差为d， n b的公比为q，则d为正整数， 3(1) n and， 1n n bq 依题意有 1 3 6 3 (1) 22 642 (6)64 n n nd a d nd a b q q bq S bd q 由(6)64d q知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一， 解得2,8dq 故 1 32(1)21,8n nn annb （2）35(21)(2) n Snn n 12 1111111 1 32 43 5(2) n SSSn n 11111111 (1) 2324352nn 11113 (1) 22124nn 25.（2020 湖北）.已知数列 n a和 n b满足： 1 a, 1 2 4,( 1) (321), 3 n nnnn aanban 其中为实数，n为正整数. （）对任意实数，证明数列 n a不是等比数列； （）试判断数列 n b是否为等比数列，并证明你的结论； （）设0ab, n S为数列 n b的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数 n，都有 n aSb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨 论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力， （满分 14 分） （）证明：假设存在一个实数 ，使an是等比数列，则有 a22=a1a3,即 , 094 9 4 94 9 4 )4 9 4 ()3 3 2 ( 222 矛盾. 所以an不是等比数列. ()解：因为 bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1( 3 2 an-2n+14) = 3 2 (-1)n（an-3n+21）=- 3 2 bn 又 b1x-(+18),所以 当 18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列： 当 18 时，b1=(+18) 0,由上可知 bn0， 3 2 1 n a b b (nN+). 故当 -18 时，数列bn是以（18）为首项， 3 2 为公比的等比数列. ()由（）知，当 =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. -18，故知 bn= -（+18）（ 3 2 ）n-1，于是可得 Sn=-. 3 2 1 )18( 5 3 n ）（ 要使 aSnb 对任意正整数 n 成立， 即 a- 5 3 (+18)1（ 3 2 ）n b(nN+) ，则令 得 ) 2 (1)( ) 3 2 (1 )18( 5 3 ) 3 2 (1 nf ba nn 当 n 为正奇数时，1f(n), 1)( 9 5 ; 3 5 nfn为正偶数时，当 f(n)的最大值为 f(1)= 3 5 ,f(n)的最小值为 f(2)= 9 5 , 于是，由式得 9 5 a- 5 3 (+18),.18318 5 3 abb 当 a3a 存在实数 ，使得对任意正整数 n,都有 aSnb， 则双曲线1 22 b y a x 的离心率 e 等于（ ） A 2 3 B 2 5 C 50 17 D 3 答案 B 11、 （2020 深圳一模）在等差数列 n a中， 693 27aaa， n S表示数列 n a的前 n项和，则 11 S A18B99C198D297 答案 B 二、填空题 1、 （2020 上海十四校联考）若数列 ),( * 2 2 1 n n n n aNnpp a a a则称为正常数满足 为 “等方比数列” 。则“数列 n a是等方比数列”是“数列 n a是等方比数列”的 条件 2、 （2020 上海八校联考）在数列 n a中， 12 02aa,，且 )() 1(1 2 Nnaa n nn ， 100 S_。 答案 2550 3、 （2020 江门一模） n S是等差数列 n a的前n项和，若1 1 S，4 2 S， 则 n a 答案 12 n 4、（2020 宁波十校联考）已知 n a是等差数列， 1278 4,28aaaa，则该数 列前 10 项和 10 S =_ 答案 100 三、解答题 1、（2020 杭州二中第六次月考）数列 n a中， 2 12 ,at at其中0t 且1t ， xt是函数 3 11 ( )3(1)1(2) nnn f xaxtaaxn 的一个极值点 （）证明: 数列 1 nn aa 是等比数列； （）求 n a （1）由题意得()0,ft即 11 33(1)0 nnn attaa ， 11 (),(2) nnnn aat aan ， 当1t 时，数列 1 nn aa 是以 2 tt 为首项，t为公比的等比数列， （2） 21 1 (), n nn aatt t 即 1 1 , nn nn atat 1 0, n n atat () n n atnN ，此式对1t 也成立 2、 （2020 滨州一模）已知曲线:1,C xy 过C上一点(,) nnn A xy作一斜率为 1 2 n n k x 的直线交曲线C于另一点 111 (,) nnn Axy ，点列 n A的横坐标构成数列 n x，其中 1 11 7 x （I）求 n x与 1n x 的关系式； （II）令 n b 11 23 n x ，求证：数列 n b是等比数列； （III）若3n nn cb（ 为非零整数，nN*） ，试确定 的值，使得对任意 nN*,都有 cn+1cn成立。 (1)解：过(,) nnn A xy的直线方程为 1 () 2 nn n yyxx x 联立方程 1 () 2 1 nn n yyxx x xy 消去y得 2 1 ()10 22 n n nn x xy xx 1 2 nnn x xx 即 1 2 n n n x x x （2） 11 11 232111 3 2 23233(2) 2 11111132 2323233(2) nnnn nnnnn n n nnnn xxxx bxxxx x b xxxx n b是等比数列 1 1 11 2 23 b x ，2q ; （III） 由（II）知，( 2)n n b ，要使 1nn cc 恒成立由 11 1 3( 2) nn nn cc 3( 2) nn =2 3 3 ( 2) nn 0 恒成立， 即（1）n-（ 2 3 ）n1恒成立 。当 n 为奇数时，即 2 3 11 分 即 2 3 0 对任意 nN*都成立， 即 n 2n+1n2n+1 1( 1)1 2( 2)1220 (*) 932 对任意 nN*都成立. 当 n 为正奇数时，由(*)式得 2n+1n2n+1 1 221210 93 ， 即 n+1nn+1 1 (21)(21)(21)0 93 ， 2n+110， n 1 (21) 3 对任意正奇数 n 都成立. 当且仅当 n=1 时， n 1 (21) 3 有最小值 1，0， n 1 (21) 3 对任意正奇数 n 都成立. 当且仅当 n=1 时， n 1 (21) 3 有最小值 1，0， n+1 1 (21) 6 对任意正偶数 n 都成立. 当且仅当 n=2 时， n+1 1 (21) 6 有最小值 1.5，0 对任意 nN*都成立， 的取值范围是 (，1). 14 分 7、 （2020 宣威六中第一次月考）已知数列 n a满足 2 1 2 nnn aaa nN ，且 1 01a （1）用数学归纳法证明：01 n a ； （2）若lg 1 nn ba，且 1 9 10 a ，求无穷数列 1 n b 所有项的和。 解： 8、 （2020 广东三校一模） 2 a, 5 a是方程 2 x02712x的两根,数列 n b的前n项 和为 n T,且 n T 2 1 1 n b Nn (1)求数列 n a, n b的通项公式; (2)记 n c= n a n b,求数列 n c的前n项和 n S. 解：(1)由27,12 5252 aaaa.且0d得9, 3 52 aa 2 分 2 3 25 aa d,1 1 a Nnnan12 4 分 在 nn bT 2 1 1中,令, 1n得. 3 2 1 b当2n时,Tn=, 2 1 1 n b 11 2 1 1 nn bT, 两式相减得 nnn bbb 2 1 2 1 1 ,2 3 1 1 n b b n n 6 分 Nnb n n n 3 2 3 1 3 2 1 . 8 分 (2) nn n n nc 3 24 3 2 12 , 9 分 n n n S 3 12 3 5 3 3 3 1 2 32 , 132 3 12 3 32 3 3 3 1 2 3 nn n nnS , 10 分 132 3 12 3 1 3 1 3 1 2 3 1 2 3 2 nn n n S=2 1 1 3 12 3 1 1 3 1 1 9 1 2 3 1 n n n = 11 3 44 3 4 3 12 3 1 3 1 3 1 2 nnn nn , 13 分 n n n S 3 22 2 14 分 9、 （2020 江门一模）已知等差数列 n a和正项等比数列 n b， 11 1ab ， 2 33 ba 求 n a、 n b； 对 Nn，试比较 n a、 n b的大小； 设 n b的前n项和为 n S，是否存在常数p、c，使)(log2cSpa nn 恒成立？ 若存在，求p、c的值；若不存在，说明理由 解：由daa) 13( 13 ，得 2 1 d-1 分 由 2 13 qbb 且0q得2q- -2 分 所以 2 1 ) 1( 1 n dnaan， 2 1 1 1 2 n n n qbb-4 分 显然1n，3时， nn ba ；2n时， 2 3 2 a，2 2 b， 22 ba -5 分 3n时， 2 12 ) 11 ( 2 ) 1( 2)(2 22 22 nnn ab nn nn 2 12 2 3210 nn CCCC nnnn -6 分 0 1 3 )2( 2 1 nnn - -7 分 因为 n a、0 n b，所以3n时， nn ba -8 分 ) 12)(12( 1 )1 ( 2 1 nn n q qb S-9 分， )(log2cSpa nn 恒成立，则有 )221 (log2 )1 (log1 2 2 cp cp -11 分， 解得12 c，)22(log2p-12 分 Nn，)12() 12)(12(log)22(log)(log 2 222 n n cSp n nn a n 2 1 )22(log2) 12)(22(log 2 2 2 2 -13 分 所以，当)22(log2p，12 c时，)(log2cSpa nn 恒成立- 14 分 10、 （2020 汕头一模）在等比数列an中，an0 (nN） ，公比 q(0,1)，且 a1a5 + 2a3a5 +a 2a825， a3与 as的等比中项为 2。 （1)求数列an的通项公式； (2)设 bnlog2 an，数列bn的前 n 项和为 Sn当 12 12 n SSS n 最大时，求 n 的值。 解：（1）因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，所以， 2 3 a + 2a3a5 + 2 5 a25 又 ano，a3a55，2 分 又 a3与 a5的等比中项为 2，所以，a3a54 而 q（0,1） ，所以，a3a5，所以，a34，a51， 1 2 q ，a116，所以， 1 5 1 162 2 n n n a 6 分 （2）bnlog2 an5n，所以，bn1bn1， 所以，bn是以 4 为首项，1 为公差的等差数列。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分 所以， (9) , 2 n nn S 9 2 n Sn n 所以，当 n8 时， n S n 0，当 n9 时， n S n 0，n9 时， n S n 0， 当 n8 或 9 时， 12 12 n SSS n 最大。 12 分 11、 （2020 深圳一模文）设数列 n a的前n项和为 n S，1 1 a，且对任意正整数n, 点 nn Sa, 1 在直线022 yx上. () 求数列 n a的通项公式； （）是否存在实数，使得数列 n n nS 2 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，则说明理由. （）求证： 2 1 ) 1)(1( 2 6 1 1 1 n k kk k aa . 解：()由题意可得： . 0 22 1 nn Sa 2n时, . 0 22 1 nn Sa 1 分 得2 2 1 022 1 1 n a a aaa n n nnn ， 2 1 22, 1 2121 aaaa 3 分 n a是首项为1，公比为 2 1 的等比数列，. 2 1 1 n n a 4 分 （）解法一:. 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 n n n S 5 分 若 n n S 2 为等差数列， 则 3 3 2 21 2 3, 2 2, 2 SSS成等差数列, 6 分 2, 8 25 4 7 2 3 1 4 9 2 3 2 8 25 2 3 4 9 312 SSS 得. 2 8 分 又2时，22 2 2 2nnS n n ，显然22 n成等差数列， 故存在实数2，使得数列 n n nS 2 成等差数列. 9 分 解法二: . 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 n n n S 5 分 . 2 1 22 22 1 2 2 1nnnn n nnnS 7 分 欲使 n n nS 2 成等差数列,只须02 即2便可. 8 分 故存在实数2，使得数列 n n nS 2 成等差数列. 9 分 （） ) 1)(1( 1 1kk aa ( 2 1 ) 1 2 1 )(1 2 1 ( 1 1 k kk 1 2 1 1 k ) 1 2 1 1 1 k 10 分 n k k n k ktk k aa 11 1 1 2 1 1 ( ) 1)(1( 2 ) 1 2 1 1 1 k 11 分 ) 11 1 1 2 1 1 ( ) 1 2 1 1 1 2 1 1 ( 2 1 2 1 1 ( t ) 1 2 1 1 1 k 11 1 1 2 1 1 k 2 1 12 2 k k 12 分 又函数 12 2 x x y 1 2 1 1 x 在), 1 x上为增函数， 1 12 2 12 2 1 1 k k ， 13 分 2 1 1 2 1 12 2 2 1 3 2 k k ， 2 1 ) 1)(1( 2 6 1 1 1 n k kk k aa 14 分 2020 年联考题 一、选择题 1.(北京市朝阳区 2020 年 4 月高三一模理)各项均不为零的等差数列 n a中，若 2 11 0(,2) nnn aaann N，则 2009 S等于 （ ） A0 B2 C2020 D4018 答案 D 2. (北京市西城区 2020 年 4 月高三一模抽样测试理) 若数列 n a是公比为 4 的等 比数列，且 1 2a