等比数列知识点并附例题及解析

等比数列知识点附有例题和分析1、等比数列的定义：称为公比2、通项式：颈： 公比：普及：3、等比中项：(1)成为等比数列时，和的等差中项，即称为or注：相同编号的两个个数只有等比中项，其等比中项有两个(2)数列是等比数列4、等比数列的前项和公式：(1)当时(2)当时(常数)5、等比数列判定方法：(1)用定义：任意有等比数列(2)等比中项：等比数列(3)通项式：等比数列6、等比数列证明方法：根据定义，如果是等比数列7、等比数列的性质：(2)对于任何事，等比数列都有。(3)如果是这样的话。 特别是当时必须注意的是(4)数列如果是等比数列，则为数列，(非零常数)为等比数列。(5)数列是等比数列，每隔项取出1个项目也是等比数列(6)如各项为正等比数列，则数列为等差数列(7)等比数列，等比数列(8)等比数列则为数列、等比数列(9)当时当时当时，该数列为常数列(此时数列也为等差数列)。当时，该数列是摆动数列(10 )在等比数列中，项数为时二例题分析【例1】如果已知sn是数列an的前n项和Sn=pn(pR，nN* )，则数列an.a .等比数列b.p0时等比数列b.c.p0、p1时不是等比数列d .等比数列通知等比数列1、x1、x2、x2n、2，求出x1x2x3x2n .得知式(a3a4a5=8，求出a2a3a4a5a6值.图4求出数列的通项式(1)在1)an中，a1=2、an 1=3an 2(2)在2)an中，a1=2，a2=5，且an 2-3an 1 2an=0三、考点分析试验点1 :等比数列定义的应用1、如果数列满足的话，2、数列中，如果是这数列的通项_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _试点2 :等比中项的应用1、等差数列的公差为、等比数列时()A. B. C. D在2、等比数列的情况下，函数的图像与轴的交点的数量为()A.B. C.D .不明3、已知的数列是等比数列，试验点3 :等比数列及其前n项和的基本运算1、若公比的等比数列的第一项为最后一项，则该数列的项数为()A. B. C. D2、在已知等比数列中，该数列的通项是.3、等比数列，且公比_ _ _ _ _ _ _ _4、等比数列、其公比、的值为()A.B. C. D5、在等比数列an中，公比q=且a2 a4 a100=30，a1a 2a 100=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _试验点4 :等比数列及其前n项和性质的应用1、等比数列，如果是()A. B. C. D2、等比数列时()a.b .c.d .3、在等比数列中，A.B.C.D4、在等比数列中，A. B. C. D5、等比数列，和为二次方程式的两个根时的值为()A.B.C.D6、等比数列，如果是，则的值相等试验点5 :公式的应用1、如果数列的前n项和Sn=a1 a2 an满足条件log2Sn=n，an为()a .公比2的等比数列b .公比的等比数列c .公差为2的等差数列d .既不是等差数列也不是等差数列2、等比数列高位n项和Sn=2n-1，高位n项的平方和为()(2n-1 )2b.(2n-1 )2c.4 n-1 d.(4n-1 )3、设等比数列an的前n项和Sn=3n r时，r的值为_一、等差与等比数列的比较：等差数列等比数列定义递归公式灬灬通项式（）中项（）（）前项和很重要性情二、等差数列的定义和性质定义：(常数)通项：等差中项：等差数列前项和：性质：等差数列(1)如是，则(2)数列为等差数列，等差数列，公差为(3)等差数列，且与前项分开(4)是等差数列(常数，对于常数项为0的二次函数，有可能是最大值或最小值)(5)有项数为偶数的等差数列是.(6)项数是奇数的等差数列、三、等比数列的定义和性质定义：(常数)，通项：等比中项：等比数列，或前项和： (请注意q！ 中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析性质：等比数列(1)如是，则(2)仍为等比数列，公比四、数列加法的常用方法：1、裂项分类法：、2、位置偏差减法运算：将由等差数列和等比数列对应项的积构成的数列相加时例：求：解答：、二减：得：寻求。错开相位的减法步骤： (1)在相加的数列前后分别写入3个项目，将列举公式的(2)公式的左右两侧乘以公比q，得到公式(3)用减去位置偏移(4)简化计算。3、反相加法：前两种方法不行时，考虑反相加法范例：等差数列总计：将两个表达式相加，您可以即，即所以呢等比数列例题分析【例1】若知道sn是数列an的前n项和Sn=pn(pR，nN* )，则为数列an。a .等比数列b.p0时为等比数列c.p0、p1时为等比数列d .不是等比数列通知等比数列1、x1、x2、x2n、2，求出x1x2x3x2n .得知式(a3a4a5=8，求出a2a3a4a5a6值.已知b0，b0且ab，在a、b之间插入n个正整数x1、x2、xn，求出a、x1、x2、xn、b为等比数列a、b、c、d为等比数列，求出(b-c)2 (c-a)2 (d-b)2=(a-d)2) .图6求出数列的通项式(1)在1)an中，a1=2、an 1=3an 2(2)在2)an中，a1=2，a2=5，且an 2-3an 1 2an=0当a、b、c为等差数列，且a 1、b、c和a、b、c 2为等比数列时，求出b值.【例9】等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d，另外，已知d1，a4=b4，a10=b10 :(1)求a 1和d的值(2)b16是an项吗？3个个数为等比数列，在第2个数上加上4，则为等差数列，进而在该等差数列第3项上加上32，则为等比数列，求出该3个个数.例12中，前3个为等差数列，后3个为等比数列，且第1个数与第4个数之和为16，第2个数与第3个数之和为12，有求出这4个4个个数.【例13】已知3个等差数列，其和为126，其它3个个数为等比数列，将2个数列的对应项依次相加，分别得到85、76、84 .在数列an中，已知a1、a2、a3为等差数列，a2、a3、a4为等比数列，a3、a4、a5倒数为等差数列，证明a1、a3、a5为等比数列.已知(b-c ) log MX (c-a ) log my (a-b ) log mz=0.(1)a、b、c依次为等差数列，公差不为零，求证： x、y、z为等比数列(2)正数x、y、z依次为等比数列，且公比不是1，求出证明： a、b、c为等差数列.等比数列例题分析【例1】若知道sn是数列an的前n项和Sn=pn(pR，nN* )，则为数列an。a .等比数列b.p0时为等比数列c.p0、p1时为等比数列d .不是等比数列解析为Sn=pn(nN* )，a1=S1=p，在n2情况下an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1但是，由于不存在满足该条件的实数p，因此本问题应该选择d说明数列an的等比数列所需的条件是an0(nN* )，需要进一步注意通知等比数列1、x1、x2、x2n、2，求出x1x2x3x2n .解1，x1，x2，x2n，2成等比数列，公比q2=1q2n 1x1x2x3x2n=qq2q3q2n=q1 2 3 2n得知式(a3a4a5=8，求出a2a3a4a5a6值.a4=2已知b0，b0且ab，在a、b之间插入n个正整数x1、x2、xn，求出a、x1、x2、xn、b为等比数列设这个由n 2个构成的数列的公比为q，则证明了b=aqn 1a、b、c、d为等比数列，求出(b-c)2 (c-a)2 (d-b)2=(a-d)2) .证据法1a，b，c，d为等比数列b2=ac，c2=bd，ad=bc左边=b2-2bc c2 c2-2ac a2 d2-2bd b2=2(b2-ac) 2(c2-bd) (a2-2bc d2 )=a2-2ad d2=(a-d)2=右已证明证据法二a，b，c，d为等比数列，设其公比为q，则如下所示b=aq，c=aq2，d=aq3左边=(aq-aq2)2 (aq2-a)2 (aq3-aq)2=a2-2a2q3 a2q6=(a-aq3)2=(a-d)2=右已证明这是综合了等比数列和代数式恒等变形的主题。 证明法1是抓住求证式右边没有b、c的特征，利用等比的条件消去左边式的b、c的路线。 证明法2是将a、b、c、d统一化为等比数列的基本要素a、q来解决的。 证明法2虽然有些麻烦，但是统一化其所采用的基本要素的方法比证明法1的方法更具有普遍性图6求出数列的通项式(1)在1)an中，a1=2、an 1=3an 2(2)在2)an中，a1=2，a2=5，且an 2-3an 1 2an=0构想：转化为等比数列an 1为等比数列an 1=33n-18756； an=3n-1an 1-an为等比数列，即an 1-an=(a2-a1)2n-1=32n-1再有，在关注a2-a1=3、a3-a2=321、a4-a3=322、an-an-1=32n-2的情况下，能够将这些式相加而得到解决问题的关键在于发现等比数列，即已知化疏远，(1)中发现an 1为等比数列，(2)中发现an 1-an为等比数列也是一般所说的化归思想的一种证明a1、a2、a3、a4都是非零实数上述方程式判别式0，即另外a1、a2、a3为实数因此，a1、a2、a3成为等比数列a4是等比数列a1、a2、a3公比当a、b、c为等差数列，且a 1、b、c和a、b、c 2为等比数列时，求出b值.若将解a、b、c分别设为b-d、b、b d，则已知b-d 1、b、b d和b-d、b、b、b d 2成为等比数列整理b d=2b-2d即b=3d代入9d2=(3d-d 1)(3d d )9d2=(2d 1)4d解是d=4或d=0(向下舍入)b=12【例9】等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d，另外，已知d1，a4=b4，a10=b10 :(1)求a 1和d的值(2)b16是an项吗？想法：运用通项式的列方程式(2)b16=b1d15=-32b1如果b16=-32b1=-32a1、b16是an的第k项-32a1=a1 (k-1)dk-1 d=-33a1=33dk=34即b16是an的第34项设等差数列an公差为d，则