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文档简介

.,1,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,第十一章,.,2,引例.变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移动过程中变力所作的功W.,恒力沿直线所作的功,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,解决办法:,.,3,1.定义,2.性质,(1)L可分成k条有向光滑曲线弧,(2)L表示L的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,.,4,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,.,5,2.格林公式,3.等价条件,在D内与路径无关.,在D内有,对D内任意闭曲线L有,在D内有,设P,Q在D内具有一阶连续偏导数,则有,4.两类曲线积分的联系,.,6,对空间有向光滑弧:,斯托克斯公式,.,7,例1.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,.,8,例2.计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解:令,设L所围区域为D,由格林公式知,.,9,在D内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记L和l所围的区域为,林公式,得,.,10,例3.计算,其中L是沿逆,时针方向以原点为中心、,解法2令,则,这说明积分与路径无关,故,a为半径的上半圆周.,.,11,解法1,它与L所围区域为D,(利用格林公式),则,添加辅助线段,.,12,例4.验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2可知,存在函数u(x,y)使,.,13,例5.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L沿上半圆周,.,14,P245例6.,求力,沿有向闭曲线所作的,其中为平面x+y+z=1被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从z轴正向看去沿顺时针方向.,利用对称性,角形的整个边
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