概率论基本公式

.概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、例：证明：2、对偶率：3、概率性率：(1) (2)（3）4、古典概型5、条件概率例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？6、独立事件（1）P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立。(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p, (0p1,p+q=1)相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。伯努利定理： （k=0,1,2） 事件A首次发生概率为：例：设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。第二章7、常用离散型分布（1）两点分布：若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为： （0p0）都是常数。分布函数为：。当称为标准正态分布，概率密度函数为：分布函数为：定理：设其期望E(X)= ,D(X)= 。9、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值，然后通过Y的每一个可能的取值(i=1,2,)来确定Y的概率分布。（2）连续型随机变量函数分布方法：设已知X的分布函数或者概率密度，则随机变量Y=g(X)的分布函数,其中，进而可通过Y的分布函数，求出Y的密度函数。例：设随机变量X的密度函数为，求随机变量10、设随机变量XN(,Y=也服从正态分布.即。11、联合概率分布(1)离散型联合分布：XY PX=p PY= 1(2)连续型随机变量函数的分布：例：设随机变量（X，Y）的密度函数求，D(X+Y).解：当0x2时由，得：，当x2时，由，所以，同理可求得:； E(X)=,由对称性同理可求得，E(Y)=7/6。因为E(XY)= 所以，cov（X,Y）= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)=-1/36。同理得D(Y)=,所以，=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=12、条件分布：若13、随机变量的独立性：由条件分布设A=Yy,且PYy0,则：，设随机变量（X,Y）的联合分布概率为F（x,y），边缘分布概率为，若对于任意x、y有：，即：，则称X和Y独立。14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为,边缘概率密度函数为，则对于一切使0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为：，同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密度函数为：，若=几乎处处成立，则称X,Y相互独立。例：设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：，求（1）确定常数c；（2）X,Y的边缘概率密度函数；（3）联合分布函数F(x,y);(4)PYX;(5)条件概率密度函数；（6）PX2|Y0，D(Y)0，则当且仅当存在常数a，b（），使：附注：设e=EY-(,称为用来近似Y的均方差，则：设D(X)0，D(Y)0,有：使均方误差达到最小。18、切比雪夫不等式：设随机变量X的期望E(X)=,方差D(X)=,则对于给定任意正数，有：19、大数定理：设随机变量X,X,X相互独立，且具有相同的期望和方差：，i=1,2,3，则对于任意0,有：20、中心极限定理；（1）设随机变量X,X,X相互独立，服从同一分布，且， i=1,2,3，则：一个结论：(2)棣莫佛拉普拉斯定理：设随机变量X,X,X相互独立，并且都服从参数为p的两点分布，则对任意实数x，有：第二部分 数理统计21、由于样本方差（或样本标准差）很好的反应总体方差（或标准差）的信息，因此，当方差未知时，常用去估计，而总体标准差则常用样本标准差S去估计。22、常用统计分布（1）分位数：设随机变量X的分布函数F（x）,对给定的实数22、抽样分布A、单正态总体抽样分布（1）设总体则有：B、双正态总体抽样分布：23、参数估计点估计：，需要构造一个适当的：，然后观察值：来估计，称为的估计量，称为的估计值，估计量和估计值统称为点估计。设是未知参数的估计量，若,则称为的无偏估计量，24、点估计常用方法（1）矩估计法：先求E（X）,得到一个E(X)与未知参数的式子，用E(X)表示未知参数，再把E(X)用代替即可。例：已知总体X的概率分布为求参数的矩估计。（2）最大似然估计：一般方法：a、写出最大似然函数L(;或c、判断并求出最大值点，在最大值点得表达式中，用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。25、假设检验的一般步骤：（1）根据实际问题的要求，充分考虑和利用已知的背景知识，提出原假设及备择假设；（2）给定显著水平以及样本容量n；（3）确定检验统计量U，并在原假设成立的前提下导出U的概率分布，要求U的分布不依赖于任何未知参数；（4）确定拒绝域，即依据直观分析先确定拒绝域形式，然后根据给定的显著性水平和U的分布，由P拒绝|为真=，确定拒绝域的临界值，从而确定拒绝域W；（5）做一次具体抽样，根据得到的样本观察值和所得的拒绝域，对假设做出拒绝或接受的判断。例：水泥厂用包装机包装水泥，每袋额定重量50千克，某日开工后随机抽查了9袋，得其样本均值为499，样本方差为