高等数学(上下册)自测题及参考答案

高等数学标准化作业自测题 班级 姓名 学号高等数学标准化作业参考答案（内部使用） 山东交通学院 土木工程学院， 山东 济南SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY第一章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. .2. .3.已知，其中为常数，则 ， .4. 若在上连续，则 .5. 曲线的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 .6. 曲线的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. “对任意给定的，总存在整数，当时，恒有”是数列收敛于的 .A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件2. 设，则 .A. B. C. D. 3. 下列各式中正确的是 .A B. C. D. 4. 设时，与是等价无穷小，则正整数 .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 曲线 . A. 没有渐近线 B. 仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线 D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线6下列函数在给定区间上无界的是 . A. B. C. D. 三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.23.45. 设函数，求.67四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）1.2五、讨论函数在处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）六、设，求的间断点并判定类型. （本题7分）七、设在上连续，且.证明：一定存在一点，使得.（本题6分）第二章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设在可导，且，则 .2.设，则 . 3. .4.设，其中可导，则 .5.设，则 .6.曲线在点的切线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在处可导的是 .A. B. C. D.2.设在处可导，且，则 .A. B. C. D.3.设函数在区间内有定义，若当时恒有，则是的 .A.间断点 B.连续而不可导的点C.可导的点，且 D.可导的点，且4.设，则在处的导数 .A. B. C. D.不存在5.设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则 .A. B. C. D.三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)(2)(3) (4)2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1)(2)(3)3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）（2）4.设在可导，试求与.（本题6分）5.设，求.（本题6分）6.设函数由方程所确定，求.（本题6分）7.设由参数方程，求.（本题6分）8.求曲线在处的切线方程和法线方程.（本题5分）第三章 自测题一、 填空题（每小题3分，共15分）1.若均为常数，则 .2. .3. .4.曲线的凹区间 ，凸区间为 .5.若，则在点 处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设为方程的两根，在上连续，内可导，则在内 .A.只有一个实根 B.至少有一个实根C.没有实根 D.至少有两个实根2.设在处连续，在的某去心邻域内可导，且时，则是 .A.极小值 B.极大值C.为的驻点 D.不是的极值点3.设具有二阶连续导数，且，则 .A.是的极大值 B.是的极小值C是曲线的拐点 D不是的极值，不是曲线的拐点4.设连续，且，则，使 .A.在内单调增加. B.在内单调减少.C.，有 D.，有.三、解答题(共73分)1.已知函数在上连续，内可导，且，证明在内至少存在一点使得.（本题6分）2.证明下列不等式（每小题9分，共18分）（1）当时，.（2）当时，.3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）（1）（2）（3）4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分）（1）（2）5.求的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）6.证明方程只有一个实根.（本题7分）第四章 自测题一、填空题(每小题3分,共12分)1设，则 2已知是的一个原函数，且，则 3 4 二、单项选择题(每小题3分,共12分)1设，则等于 A B C D2设的原函数为，则等于 A B C D3 A B C D4 A BC D三、求下列不定积分（每小题4分，共76分）1 23 45 67 89 1011 1213 1415 16 17 18 19第五章 自测题1求（本题6分）2求（本题6分）3已知，求（本题7分）4设由确定，求（本题6分）5具有连续导数，求（本题7分）6求（本题6分）7求（本题6分）8证明求 （本题8分）9设在上连续，在内可导，且，证明：在内有（本题7分）10求（本题6分）11求（本题6分）12设在上连续，证明在上是偶函数（本题5分）13求（本题6分）14求（本题6分）15已知，求（本题6分）16求（本题6分）第六章 自测题一、填空题（每小题4分，共28分）1曲线与直线所围成的平面图形的面积 2曲线与直线围成平面图形的面积 3由曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转体的体积 4曲线上相应于的一段弧的长度 5.设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从变到的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积 6.心形线和直线所围成的图形绕极轴旋转所形成旋转体的体积 7质点以米/秒作直线运动，则从时刻秒到秒内质点所经过的路程等于 米二、单项选择题（每小题4分，共24分）1.由抛物线与射线及所围成的图形面积为 A B C D2设在上连续且，则由曲线与直线围成的平面图形绕直线旋转而成的旋转体的体积 A BC D3.由曲线与轴所围成平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积 为 A B C D4.摆线的一拱与轴所围成的图形绕轴旋转所得旋转体的体积 .A BC D5.曲线的弧长等于 .A B C D6如图6.2，轴上有一线密度为常数，长度为的细杆，有一质量为的质点到杆右端的距离为，已知引力参数为，则质点和细杆之间引力的大小为 A B C D三、计算题（每小题7分，共42分）1直线将椭圆分为两部分.设小块面积为，大块面积为，求的值.2求曲线的一条切线，使得该切线与直线及曲线所围成的平面图形面积最小.3求由曲线与直线围成的曲边梯形绕轴旋转所成的旋转体的体积4.设是抛物线上任一点处的曲率半径，是该抛物线上介于点与之间的弧长，计算.5设抛物线过原点，当时，又已知该抛物线与直线及轴所围成图形的面积为.试确定的值，使此图形绕轴旋转一周而成旋转体的体积为最小.6一底为8cm,高为6cm的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm，试求它每面所受的压力.四、用定积分的元素法证明：由平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 .（本题6分）第七章 自测题一、填空题（每小题3分，共24分）1设=，=,问与有怎样的关系 ，+与z轴垂直2若已知向量=,=,则,夹角平分线上的单位向量为 3若两个非零向量,的方向余弦分别为和，设,夹角为，则= 4过直线且与平面垂直的平面方程为 5直线:与直线:的夹角= 6点到直线的距离为 7曲线在面上的投影曲线为 8与两直线及都平行，且过原点的平面方程为 二、单项选择题（每小题3分，共12分）1点在平面上的投影点是 A B C D2直线与平面的关系是 A直线在平面上 B平行 C垂直 D三者都不是3两平行平面与的距离为 A B C D4平面上曲线绕轴旋转所得旋转曲面方程为 A B C D三、计算题（共64分）1化简（本题5分）2求与坐标原点及点距离之比为的点的全体所组成的曲面方程，它表示怎样的曲面？（本题6分）3将空间曲线方程化为参数方程（本题5分）4求中心点在直线上且过点和点的球面方程（本题6分）5求通过直线且平行于直线的平面方程（本题7分）6点关于平面的对称点为，求的方程（本题7分）7直线在平面上投影直线的方程（本题7分）8求过直线且与平面成角的平面方程（本题7分）9求过点且与直线:垂直相交的直线方程（本题7分）10直线过点且和直线:,:相交，求此直线方程（本题7分）第八章 自测题一、填空题（每小题3分，共27分）1极限 .2设,则 .3设，其中是由确定的隐函数，则 .4设，其中，均可微，则 .5设是由方程所确定（为常数，为可微函数），则 .6函数在点处沿点向径方向的方向导数为 .7函数在点处的梯度为 .8曲面在点处的切平面方程为 .9曲线，的平行于平面的切线方程为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1若二元函数在处可微，则在点下列结论中不一定成立的是 .A. 连续 B. 偏导数存在 C. 偏导数连续 D. 切平面存在2函数在点处 .A不连续 B. 偏导数存在 C. 任一方向的方向导数存在 D. 可微3设，其中在的某邻域内连续，若，存在，则 .A0 B1 C2 D4. 设，则 .A在点连续B. C. ，其中为的方向余弦D. 在点沿轴负方向的方向导数为5. 函数在点沿方向的方向导数为 .A B C D三、解答题(共58分)1设二元函数，具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求.（本题8分）2. 求由方程所确定的函数的全微分.（本题8分）3设是的函数，且，求.（本题8分）4. 设球面在点处的外法线方向为，求函数在点沿方向的方向导数.（本题8分）5. 求曲线在点处的切线方程和法平面方程.（本题9分）6. 试证曲面，上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于.（本题8分）7. 求二元函数在由直线，轴和轴所围成的闭区域的边界上的最大值和最小值.（本题9分）第九章 自测题一、填空题（每小题4分，共24分）1.若积分区域是由，围成的矩形区域，则 .2. 把二重积分化为极坐标形式，则 .3. 交换积分次序 .4. 二重积分，若为的上半部分，则 .5. 设区域是以，和为顶点的三角形，则 .6. 设：，则 .二、单项选择题（每小题3分，共24分）1. 设区域，则 . A. B. C. D. 2.设，其中是由直线，及双曲线所围成的区域，则 .A. B. C. D. 3设，转化为极坐标后， . A. B. C. D. 4. 设连续,且,是由,围成,则 .A. B. C. D. 5. 设有空间闭区域， ，则有_.A. B. C. D. 6.球面与柱面所围成的立体的体积 . A. B. C. D. 7. 两半径为的直交圆柱体所围立体的表面积 . A. B. C. D. 8. 设是曲面与所围成较小部分，则 . A. B. C. D. 三、计算题(共52分)1. 计算，其中是由曲线与所围成的区域.（本题8分）2. （本题8分）3.设平面薄片所占的区域为由直线，及双曲线所围成的，且其密度函数为，求此薄片的质量.（本题8分）4.,其中是由和围成的区域.（本题9分）5.,其中由不等式和所确定.（本题9分）6. 设一均匀物体(密度)占有的闭区域是由曲线绕轴旋转一周所形成的曲面与平面和所围成的，求物体关于轴的转动惯量.（本题10分）第十章 自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1已知螺旋线上每一点密度等于该点到原点距离的平方，则从到的第一回旋部分的质量为 2设，则= 3设，在单连域内有一阶连续的偏导数，则在内为某一函数的全微分的充要条件是 在内恒成立4= ，其中为球面与平面的交线5= ，其中为，右侧二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，因为，所以 A对任意曲线L，B在L为不含原点的闭区域的边界线时，C因为，在原点不存在，故对任意曲线，D在L包含原点时，不包含原点时2设L为椭圆，其周长为，则= A B C D3设L为任何不经过的区域内的曲线与路径无关，则 A B C D4为三个坐标面与平面所围成的四面体表面的外侧，则= A B C D5设为在平面上方部分的曲面，则= A B C D三、计算题（每小题10分，共70分）1，其中是圆周沿顺时针方向2，其中是平面被圆柱面所截得的部分3计算，其中是球面外侧在的部分4，其中是平面在第一卦限部分的上侧5，其中，为从点沿曲线到点的弧段6验证在面内是某一函数的全微分，并求7在变力作用下，一质点沿曲线从点移动到点，试确定参数，使变力作的功最小第十一章 自测题一、 填空题（每小题3分，共15分）1收敛，则的范围 .2幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为 .3幂级数的和函数为 .4函数在处幂级数展开式为 .5函数在上展开为傅里叶级数，它的和函数为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1设正项级数收敛，则级数 收敛.A B C D2若级数收敛于，则级数 .A收敛于 B收敛于 C收敛于 D发散3若级数，都收敛，则级数 .A一定条件收敛 B一定绝对收敛 C一定发散 D可能收敛也可能发散4函数项级数的收敛域是 .A B C或 D5设，（），且级数收敛，则级数 .A发散 B条件收敛 C绝对收敛 D是否收敛与的取值有关三、判定下列级数的收敛性.（每小题8分，共24分）123四、判断下列级数的收敛性，若收敛，条件收敛还是绝对收敛？（本题16分）12五、求幂级数的收敛域及和函数.（本题10分）六、将函数展开为的幂级数，并求收敛区间.（本题10分）七、将函数展开为正弦级数并指出展开式成立的范围.（本题10分）第十二章 自测题一、填空题（每小题3分，共24分）1.微分方程的类型是 .2.微分方程满足的特解为 .3.若满足，则 .4. 微分方程的通解为 .5. 以为二重特征根，为共轭复特征根的四阶常系数线性齐次微分方程是 .6.设曲线在其上任一点上凹，且曲率与的积为，在点处的切线平行于直线.则曲线所满足的微分方程及初始条件为 .7.微分方程满足初始条件的特解为 .8. 微分方程满足初始条件的特解为 .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1下列函数中是方程的通解的是 .A. B. C. D. 2.设在内有二阶连续导数，且，则 .A. B. C. D. 3. 微分方程的一个特解形式为 .A. B. C. D. 4.设是方程的一个特解，若且，则 在处 .A. 取得极大值 B. 取得极小值 C. 不取得极值 D. 不能确定5.设可微且满足，则 .A. 是的极小值 B. 是曲线的拐点C. 的值域是 D. 是的最大值6.已知函数在任意点处的增量，且当时，是的高阶无穷小，.则 .A. B. C. D. 三、求解下列微分方程的通解（每小题6分，共24分）123. 4. 四、求下列微分方程满足初始条件的特解（每小题7分，共21）1， 2，3.五、设，若连续，求满足条件的.（本题6分）六、验证函数满足微分方程，并利用该结论计算幂级数的和函数. （本题7分）高等数学(上下)各章自测题参考答案第一章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. ， 4. 5. 水平渐近线是，铅直渐近线是 6. 二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. C 2. D 3. D 4. A 5. D 6C三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1.2.3. ，又.4.5.6，所以，原式.7.四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）解：1.据题意设，则，令得，令得，故2左边，右边故，则五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点六、解：，而，故，都是的间断点，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点七、证明：设，显然在上连续，而， ，故由零点定理知：一定存在一点，使，即第二章 自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1. 2. 3. 4. 5. 6.或 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. D 2. A 3. C 4. D 5. D三、解答题（共67分）解：1.(1) .(2) .(3) .(4) 两边取对数得，两边求导数得，.2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1) .(2).(3) .3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）， . （2），.4.首先 在处连续，故，故，其次，由于在 处可导，故，故，.5.，故，由于在，时均可导，故.6.方程可变形为 ，两边求微分得，故.7.，.8.，故.当时，.故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即.第三章 自测题二、 填空题（每小题3分，共15分）1 2 3 4.， 5.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1B 2A 3B，提示：由题意得，当时，；即当时，当时，从而在取得极小值4. C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，即三、解答题(共73分)证明：1.令，则在上连续，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点，使得，故，即2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，解：3.（1）.（2）.（3）.4. 函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为. ，令得驻点，为不可导点.当时，；当时，；当时，；故为极大值点，极大值为；为极小值点，极小值为.5.定义域为；，令得驻点，令得；列表得：-+-+-单减 凸单减 凹极小值点单增 凹拐点单增 凸6证明：令，显然，；令得唯一驻点，且；故在上当时取得极小值；当时，所以方程只有一个实根第四章 自测题一、填空题(每小题3分,共12分)1，提示：已知等式两边求导得代入求解2，提示：由已知得，积分得再根据题意求 3 4二、单项选择题(每小题3分,共12分)1B 2C 3B 4B，提示：切割化弦再求解三、求下列不定积分（每小题4分，共76分）1234，令，则，则，原式5令则，可得，原式678令，则，则910，而，原式11令，则，则12令，则，则1314，而，则原式15161718令，则，19第五章 自测题解：123当时，当时，4方程两边同时对求导得：，即，所以5678证明：，第一个定积分中令，有，结论得证.9证明：.其中由条件可知结论成立101112证明：，故是偶函数13令，则，则141516第六章 自测题一、填空题（每小题4分，共28分）1 ，提示：三曲线的交点分别为，2 34，提示：5.，提示：由P278弧长公式即可6.提示：7提示: 二、单项选择题（每小题4分，共24分）1.A，提示: 2.B，提示：旋转体可看成介于之间，以为底，分别以及为顶的两个曲边梯形绕旋转所成的两个旋转体体积之差，故3.B 4.C，提示：见P275例85.B，提示：6.A，提示：如图建立坐标系，取为积分变量，变化区间为，任取上一小区间，相应直棒近似看成质点，质量，与已知质点相距，因此这段细棒对质点底引力大小为，方向指向轴负轴，故， 图6-9 三、计算题（每小题7分，共42分）解：1椭圆化为标准方程 ，椭圆面积为，与直线的交点为，取为积分变量， ,图6-10，.2设所求切线的切点为，切线方程为：，即，所围面积为，当，最小， 所求切线：.34.在点处的曲率，又设，又，.5曲线过原点，又，解得，旋转体体积：，令，得驻点，又， 是唯一极值点且为极小值点，从而.6如图建立坐标系，所在直线方程为 ，水比重，取为积分变量，变化区间为，设为上任一小区间，压力元素为 图6-11.四、解：如图建立坐标系，在小区间上，对应的小曲边梯形绕轴旋转一周所得立体可近似看作底半径为，高为，厚为的空心圆筒，故体积元素图6-12为，.第七章 自测题一、填空题（每小题3分，共24分）1 2，提示： ，夹角平分线上的单位向量为34，提示：，化为，即，过的平面束为：，由得，代入，可得平面方程5 6，提示：过与：垂直的平面为：，与的交点为，到的距离即为7 8二、单项选择题（每小题3分，共12分）1B，提示：过与：垂直直线为，与的交点即为投影点 2A3C，提示两平行平面的距离为平面上任一点到另一平面的距离 4A三、计算题（共64分）解：1设所求曲面上的点为，则由题意知：，曲面方程为：，表示一球面2把代入，得，令，则，空间曲线方程的参数方程为：3把化为对称式方程：，设中心点为，则，从而，所以球面方程方程为4设所求平面的方程为：，即，又直线平行于平面，所求平面方程为：5设的中点为，则，取，由题意知所求的方程为：，即6设过直线且与平面垂直的平面方程为：，即，又，投影直线的方程为：7设所平面的方程为：即，又，即，解得，所求平面方程为：8由题意知过点且垂直与的平面方程为：即，令，代入上述平面方程，解得所以平面与的交点为，由于所求直线的方向向量，所以取，所以直线方程为9所求直线为，则与，分别相交，：，：，所以，取，；，令，过与的平面方程为：，即，过与的平面方程为：，即，所以的方程为：第八章 自测题一、填空题（每小题3分，共27分）11 2， 提示：，两边同时对求导，得 3，提示：，又方程 两边同时对求偏导得：，所以，则， 4. 5，提示：方程两边分别对求偏导得： 则；，则，代入所求的式子化简得，. 6 7 89或二、单项选择题（每小题3分，共15分）1C 2. C 3. A 4. D 5. B三、解答题(共58分)解：1，则.2.方程两边对分别求导，得,， ，同理， ，.3.方程组两边对求偏导：，解方程组得，.4.令，则， 又，函数在点沿方向的方向导数为.5.（法一）在每个方程两边对求导，得解得：，将代入，得曲线的切向量，切线方程为 ，法平面方程为 ，即.（法二）令，则从而，曲面的法向量为；再令，则，从而曲面的法向量为；切线的方向向量为，从而切线方程为：，法平面方程为 即.6.令，则,设曲面上的任一点为,在此点处的法向量为,切平面方程为，即，在各个坐标轴上的截距分别为，从而截距之和为 .7.，当，时，；当，时，；当，时，；令，则，当时，；当时，；当时，；二元函数在 点处取得最大值，在处取得最小值.第九章 自测题一、填空题（每小题4分，共24分）1. 2. 3. 4. 提示： . 5. 6.二、单项选择题（每小题3分，共24分）1. A 2. C 3D 4. C 5. C 6. C 7. D 8. D三、计算题(共52分)解：1.原式.2.原式.3.薄片质量，其中，故上式.4.原式 .825.原式图9-104.6.如图9-10，由于，故. 第十章 自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1 ，提示： 2 34，提示：由轮换对称性， 5，提示：二、单项选择题（每小题3分，共15分）1B 2D，提示： 3D，提示：由，得4B，提示：由Gauss公式，原式 5D三、计算题（每小题10分，共70分）解：1令，由格林公式得2如图10-19，, 3上侧，设上一点处法向量为，则，所以，图10-20图10-194如图10-20，的上侧，设上一点处法向量为，则，所以，,5如图10-21，添加辅助线段与一起构成封闭曲线，令，应用格林公式得，故图10-216法一: 曲线积分法,，所以在面内是某函数的全微分. 法二