Wilcoxon符号秩检验课件

2.2Wilcoxon符号秩检验,Wilcoxon符号秩检验(Wilcoxonsigned-ranktest)是非参数统计中符号检验法的改进，它不仅利用了观察值和原假设中心位置的差的正负，还利用了差的值的大小的信息。虽然是简单的非参数方法，但却体现了秩的基本思想。,1,学习交流PPT,例2.4下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的酒量（相当于纯酒精数）（单位：升）。数据已经按升幂排列。4.125.187.639.7410.3911.9212.3212.8913.5414.45人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数相当于纯酒精8升，也就是me0=8。由数据算得的中位数为11.16。因此，我们的检验设为：H0：me8，H1：me8,2,学习交流PPT,先计算每个样本值和原假设中me0的值之差，即Xi8。考虑这些差的绝对值并将绝对值从小到大排序，从而求出这些绝对值的秩。再计算比8大的样本对应的绝对值的秩之和，如果这个和比较大，我们就拒绝原假设，接受备择假设。,3,学习交流PPT,问题一般提法：假定样本X1,Xn来自分布连续对称的总体X，在此假定下总体X的中位数等于均值。问题主要是检验中位数，即原检验为H0：me=me0，相对于各种单双边的备择假设。,4,学习交流PPT,注：（1）与符号检验不同：Wilcoxon符号秩检验假设总体分布是对称的。（2）在总体分布对称的假设下，即设总体X的分布关于点对称，则X的均值和中位数相同，且均为。所以检验总体中位数可等价于检验总体对称中心。即检验的原假设H0：M=M0等价于H0：=0（相对于各种单双边的备择假设）。,5,学习交流PPT,检验步骤：H0：0（对应于各单双边备择假设）Step1.计算i=1,2,n。记差为zi.Step2.将差zi.的绝对值，即,按从小到大的顺序排列。由于总体服从连续型分布，不妨假定样本互不相等，都不等于0，且样本差的绝对值也互不相等。所以可得到样本zi.的绝对值的秩，不妨记的秩为Ri。,6,学习交流PPT,Step3.符号秩和检验统计量为其中或者取检验统计量为其中主要取W为检验统计量。,7,学习交流PPT,Step4设w表示由样本算出的W的值。（1）H0：0,H1：0p值P(Ww)；（2）H0：0,H1：0。若H1成立，则总体X的分布关于点对称。从而有，P(X0)P(Xa)P(X8下面来用Wilcoxon符号秩检验，等价于检验H0：8，H1：8,11,学习交流PPT,检验步骤Step1.对于i=1,2,n，计算得到新的样本zi和它们对应的秩如下：,12,学习交流PPT,Step2.计算W。W+=2+4+6+7+8+91046利用W的分布，辅以统计软件，可计算出p值0.032。Step3.所以给定0.05时，此时可拒绝原假设，认为欧洲人均酒精年消费多于8升。,13,学习交流PPT,W的分布性质,设独立同分布样本x1,xn来自连续对称总体X,X分布的对称中心为。为方便讨论，不妨设原假设为H0：0，即总体分布关于原点0对称的条件下，讨论W的性质。注：W与W有下列关系：W+W-=n(n1)/2,14,学习交流PPT,（关键）性质2.1令则在总体的分布关于原点0对称时，W与S同分布。注：S是W当Rii时的特殊情况。研究W的分布可转为研究S的分布。,15,学习交流PPT,概率分布性质2.2在总体的分布关于原点0对称时，W的概率分布为P(W+=d)=P(Sd)=tn(d)/2n,其中，d0,1,2,n(n+1)/2，tn(d)表示从1,2,n这n个数中任取若干个数（包括一个都不取），其和恰为d，共有多少种取法。,16,学习交流PPT,对称性性质2.3在总体的分布关于原点0对称时，W服从对称分布，对称中心为n(n+1)/4，即：对所有的d=0,1,2,n(n+1)/4，有P(W+=n(n+1)/4d)P(W+=n(n+1)/4+d),P(W+n(n+1)/4d)P(W+n(n+1)/4+d)。,17,学习交流PPT,期望方差及渐近正态性性质2.4在总体分布关于原点0对称时，E(W+)=n(n+1)/4，D（W+）=n(n+1)(2n+1)/24。性质2.5若总体分布关于原点0对称，则在样本容量n趋于无穷大时，W+有渐近正态性：WN（n(n+1)/4,n(n+1)(2n+1)/24）,18,学习交流PPT,有结的情况下，用平均秩法。性质2.6在总体的分布关于原点0对称，有结秩取平均时，E(W+)=n(n+1)/4，D（W+）=n(n+1)(2n+1)/24其中g表示结的个数，表示第i个结的长度。有结时，W的期望和方差实际上是条件期望和方差，它们是在样本数据中给定有g个结，且结的长度分别给定为时的条件期望和条件方差。,19,学习交流PPT,与符号检验的比较。续例2.2两个不同方向的假设检验。考虑下面的假设检验：H0：M=12.5,H1：M8（H1）对这两个问题分别用Wilcoxon符号秩检验和符号检验方法。,20,学习交流PPT,符号检验结果对于检验（H1）：S=3,S+=7,检验统计量KS3，p值0.171875，对0.05，不能拒绝H0。对于检验（H2）：S=7,S+=3,检验统计量KS3，p值0.171875，对0.05，不能拒绝H0。结果完全对称！说明符号检验只与符号有关！,21,学习交流PPT,Wilcoxon符号秩检验结果对于检验（H1）：检验统计量W+=46，p值0.03223，对0.05，拒绝H0。对于检验（H2）：检验统计量W11，p值0.05273，对0.05，不能拒绝H0。结果不对称！说明Wilcoxon符号秩检验不仅与符号有关，还和数值大小有关！,22,学习交流PPT,Wilcoxon符号秩检验置信区间,Walsh平均为利用更多的信息，可求每两个数的平均(XiXj)/2,ij，（一共有n(n+1)/2个）来扩大样本数目。这样的平均称为Walsh平均。,23,学习交流PPT,Walsh平均和W+的关系。在原假设成立的条件下，即H0：0成立，有特别当原假设为H0：0成立，有,24,学习交流PPT,HodgeLehmann估计量利用Walsh平均可以得到对称中心的点估计，即可由Walsh平均的中位数来估计对称中心，称之为HodgeLehmann估计量。,25,学习交流PPT,0的置信区间。可利用Walsh平均得到0的100(1-)%置信区间。具体步骤：(1)先求出满足下面两式的整数k，即k使得P(W+k)/2，P(W+nk)/2，,26,学习交流PPT,(2)将求出的Walsh平均数，按升幂排列，记为W(1),W(N)，N=n(n+1)/2，则0的100(1-)%置信区间为W(k1),W(Nk)。,27,学习交流PPT,再看看例2.2的置信区间。求出其Walsh平均，共55个值。取=0.05，则求得k=9时，有P(W+9)0.025，P(W+559)0.025，所以的95的置信区间为W(10),W(46)8.02,12.73。,28,学习交流PPT,两配对数据比较问题,两成对数据的比较问题可以转化成单样本问题，用符号检验或Wilcoxon符号秩检验做统计分析。方法是将两成对样本作差，观察它们的差值，将其视为新的样本，所以两配对样本实际上就是单一样本。,29,学习交流PPT,例2.3给12组双胞胎做心理检验，以测量每个人的进取心。我们感兴趣的是对双胞胎进行比较，看第一个出生的是否倾向于比另外一个更有进取心。结果如下，高分显示更多的进取心。表中，Xi表示第一个出生的得分，Yi表示第二个出生的得分。Di表示两者差，即DiYiXi,i=1,2,12。Ri表示Di绝对值的秩。则D1，D12是独立同分布的，且设总体为D。问题是求D的中位数MD的95置信区间。,30,学习交流PPT,31,学习交流PPT,Di的12个值按顺序排列为：-15,-12,-10,-8,-7,-4,-3,-1,2,5,6,9间为W(15),W(64)。这15个最小的平均，由(-15-15)/2开始，是-15,-13.5,-12.5,-12,-11.5,-11,-1