讲变化率与导数导数的计算

第13讲 变化率与导数、导数的计算1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式(sin x)cos_x，(cos x)sin_x，(ax)axln_a，(ex)ex，(logax)，(ln x).3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别试一试1(2013江西高考)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.解析：因为f(ex)xex，所以f(x)xln x(x0)，所以f(x)1，所以f(1)2.答案：22函数yxcos xsin x的导数为_解析：y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.答案：xsin x考点一利用导数的定义求函数的导数利用导数的定义求函数的导数：(1)yx2，(2)f(x).解：(1)因为2xx，所以y (2xx)2x.(2)因为所以y .类题通法定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量yf(xx)f(x)二比：求平均变化率.三极限：取极限，得导数yf(x).考点二导数的运算典例求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)y；(3)yln(2x5)解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.(3)令u2x5，yln u，则y(ln u)u2，即y.类题通法1求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错2有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量3复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导针对训练已知f(x)sin 2x，记fn1(x)fn(x)(nN*)，则f1f2f2 013f2 014_.解析：由题意，可知f2(x)f1(x)(sin 2x)2cos 2x；f3(x)f2(x)(2cos 2x)4sin 2x；f4(x)f3(x)(4sin 2x)8cos 2x；f5(x)f4(x)(8cos 2x)16sin 2x；故f4k1(x)24ksin 2x，f4k2(x)24k1cos 2x，f4k3(x)24k2sin 2x，f4k4(x)24k3cos 2x(kN)所以f1f2f2 01420sin21cos22sin23cos24sin22 010sin22 011cos22 012sin22 013cos(2022242622 00822 01022 012)sin(2123252722 00922 01122 013)cos答案：考点三导数的几何意义导数的几何意义是每年高考的重点，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，利用这一点可以解决有关导数的几何意义的问题.归纳起来常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值.角度一求切线方程1(2014洛阳统考)已知函数f(x)3xcos 2xsin 2x，af，f(x)是f(x)的导函数，则过曲线yx3上一点P(a，b)的切线方程为()A3xy20B4x3y10C3xy20或3x4y10D3xy20或4x3y10解析：选A由f(x)3xcos 2xsin 2x得f(x)32sin 2x2cos 2x，则af32sin2cos1.由yx3得y3x2，过曲线yx3上一点P(a，b)的切线的斜率k3a23123.又ba3，则b1，所以切点P的坐标为(1,1)，故过曲线yx3上的点P的切线方程为y13(x1)，即3xy20.角度二求切点坐标2(2013辽宁五校第二次联考)曲线y3ln xx2在点P0处的切线方程为4xy10，则点P0的坐标是()A(0,1)B(1，1)C(1,3) D(1,0)解析：选C由题意知y14，解得x1，此时41y10，解得y3，点P0的坐标是(1,3)角度三求参数的值3已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1)，则m等于()A1 B3C4 D2解析：选Df(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2，故选D.类题通法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点