统计学原理 第9章 相关与回归

第九章 相关与回归,社会经济现象之间的数量关系可分为：函数关系和相关关系。函数关系反映着现象之间严格的依存关系。相关关系反映着现象之间不确定、不严格的依存关系。,相关关系的分类,1、单相关（简单相关关系，两变量）与复相关（多元相关，三个及三个以上变量）2、正相关（同向变动）和负相关（反向变动）3、完全相关、不完全相关、不相关4、线性相关与非线性相关,相关回归分析的步骤,1、进行相关关系的定性分析；2、确定回归方程；3、计算相关系数或相关指数，对回归方程变量之间的相关性进行显著性检验；4、利用回归方程进行推算和预测；5、对推算和预测作出置信区间估计。,直线相关,（一）相关图,正相关图,负相关图,（二）相关系数相关系数R：它是直线相关分析中用来衡量两个变量之间相关程度的重要指标。,（1）相关系数的取值范围1 R 1（2）R=0，称零相关（3）R=1，称完全相关（4） 当0R1，称普通相关,（二）回归分析,一、模型判别图示法是将数据在坐标轴上以散点图或折线图的形式画出来，以显示数据的变化趋势，通过观察选择预测模型的方法。 如果数据的分布近似直线形状，就配合直线模型进行预测。 如果数据的分布不属于直线型的，则应仔细观察其分布是否近似于某一曲线（如抛物线、双曲线、指数曲线、S曲线等），然后配合相应的曲线模型进行预测。,简单直线回归模型,设y为因变量，x为自变量，y与x之间存在某种线性关系 yi=a+bxi 其中：a、b称回归系数，y为预测目标，x 为影响因素（可控制或预先给定）。,二、参数估计,OLS估计即采用最小平方法来估计模型的参数。 最小平方法的中心思想：是通过数学模型，配合一条较为理想的趋势线。这条趋势线必须满足下列两点要求：（1）原数列的观察值与模型的估计值的离差平方和为最小；（2）原数列的观察值与模型的估计值的离差总和为零。 用公式表示为：,根据最小平方法的要求得到参数估计式为：可得预测回归方程为:,三、相关性的显著性检验,原假设H0 ：a=b=0 备择假设H1：a、b不全为零 (1)计算相关系数R；（2）根据回归模型的自由度（n-m）和给定显著性水平值，从相关系数表中查出临界值R （n-m）。（3）判别：若R R （n-m） ，表明两变量之间线性相关关系显著，检验通过，模型可用于预测；若R R （n-m），表明两变量之间线性相关关系不显著，检验不通过，模型不能用于预测。,t 检验 t 检验是通过 t 统计量对所求回归模型的每一个系数逐一进行检验 原假设H0：a=0或b =0 备择假设H1：a0或b 0 判别：若tt /2 （m-1）拒绝原假设H0 ，样本回归系数是显著的。反之不显著。,估计标准误差,估计标准误差：也称剩余标准差，他是剩余变差的平均数的方根。反映观测值与估计值之间的平均离差程度。,四、进行预测,1、点估计：2、区间估计：,P248例题9-1,可线性化的曲线回归,双曲线模型 yi=1+2（1/x）+i二次曲线模型 yi=1+2xi+3xi2+i对数模型 yi=1+2lnxi+i三角函数模型 yi=1+2sinxi+I指数模型 y=abx 幂函数模型 y=axb,案例：随着人们收入的提高，越来越多的家庭开始购买汽车，下面是我国1985年到2003年汽车销售量的资料。请根据以下资料（1）作相关性分析。（2）作回归分析。（3）对未来三年的汽车销售量做预测。我国1985至2003年汽车销售量资料,（1）相关性分析,SPSS操作步骤：Correlate Birariate结果： Pearson Correlation=0.978皮尔逊相关系数= 0.978在显著性水平为0.01的情况下，汽车销售量与时间密切相关。,（2）回归分析,绘制散点图，确定回归方程的类型。SPSS操作步骤：1、点击Graphs Scatter 2、选择Simple，单击Define进入对话框；3、将销售量y选入Y Axis，年次x选入X Axis；4、单击OK。,（2）回归分析,结论：可以配合直线模型。,（2）回归分析,拟合回归模型并进行预测分析。SPSS操作步骤：1、点击Analyze Regression Linear；2、将销售量y选入dependent，年次x选入independent；3、单击Save进入保存对话框：在Predicted Values中的Unstandardized前的中打，在Prediction Interval中的Individual前的中打。4、单击Continue，单击OK。,（2）回归分析,结果：设y是销售量，x是年次 回归模型：Y=5.161+12.478x R=0.978 R2=0.956 标准误差=15.56651 模型显著性检验 查相关系数表得R 0.05(17)=0.457 R=0.978 模型回归效果显著，可用于预测。,（3）预测,未来三年的预测值与95%的置信区间是：年份 预测值 预测区间2004254.