直线和直线图形.ppt

计算机图形学,武汉大学电子信息学院王泉德qdwang,第二章直线,在光栅显示器的荧光屏上生成一个图形，实质上是往帧缓存寄存器的相应单元中填入数据。计算机生成图形时，需要绘制大量的直线，设计快速有效的直线绘制算法意义重大。一般来讲，水平、垂直直线和对角线能准确地画出，但要准确绘制一条斜线并不容易。在光栅显示器上画（x1,y1）到（x2,y2）的直线，实质上是确定最佳逼近直线的象素序列。,（1）生成的直线要直选择最靠近直线的象素点来逼近直线。,理想绘制效果,1、绘制直线的要求,实际绘制效果,（2）起点和终点要准确：在绘制直线的过程中由于受精度的影响，直线的终点与原终点有一个累积误差，导致直线的终点不准。,（3）直线的粗细要均匀由于选点不均匀，造成直线粗细不均匀，直观上反映出直线的亮度不均匀。,（4）直线宽度应该与线段的长度和斜率无关：要取得均匀的线段宽度，应该保持每单位长度的点数是常数。（5）显示线段的速度应快：直线的绘制是生成计算机图形的基础，其绘制速度直接影响到计算机图形生成的效率，常采用硬件来实现。,2、直线的方程,若其始坐标和终点坐标分别为：,则斜率为,截距为,(1),(2),(3),直线的绘制算法以直线方程（1）、（2）和（3）式为基础。,直线的点斜式方程为：,对任何沿直线给定的x的增量x，对应的y增量y：ymx同样，对应于y的增量y，x的增量x为：x(1/m)y,3、逐点比较法,（1）算法的基本思想：在绘制直线的过程中，每绘制一个点，就与原直线进行比较，根据比较的结果决定下一步的走向，这样一步一步逼近直线。保证要绘制的点尽可能的靠近直线而不发生远离直线的趋向。,（2）绘制思路由当前点到下一个点的走法是只在X方向或Y方向走一步。,计算当前点偏差：=tg-tg,1)=0，点在直线上；2)0，点在直线上方，下一步走X方向；3)0，点在直线下方，下一步走Y方向。,可以简化为,根据计算出偏差，然后确定下一步的走向。初始：,则=0；,第一步：,第二步：,假定起点为坐标原点偏差计算公式为：,(7,5),A,(0,0),偏差递推公式,1）时，走X方向一步，即,2）时，走Y方向一步，即,偏差计算公式为：,以上讨论的是起点为原点，X为最大步长方向的情况，对于起点是任意点，最大步长方向为其他情况下的绘制直线的偏差计算和偏差判别，可类似推导。判别终点的方法：设立计数器，计数取X或Y方向的最大增量值（计长方向），在计长方向每走一步，计数器减1，只到计数器值为零为止。,2、DDA算法(DigitalDifferentialAnalyzer),DDA算法是建立在微分方程的基础上。由到的直线段满足的微分方程为：,因此有,则有,令,有,DDA绘制的直线,1/15；,DDA绘制直线的算法,if|xb-xa|yb-ya|then计算直线在y方向上的增量：length=|yb-ya|else计算直线在x方向上的增量：length=|xb-xa|计算x方向的单位增量：dx=(xb-xa)/length计算y方向的单位增量：dy=(yb-ya)/length置初值：x=xa，y=yafori=1tolengthdobegin输出点(trunc(x),trunc(y)计算下一个点坐标x=x+dx，y=y+dyendendofalgorithm,3、Bresenham算法,算法的基本思想：每次迭代在增量最大方向上走一步，另一方向上是否也走，取决于计算出来的点与直线上的点的误差，根据误差决定是否走一步。即x方向的步长总是1(斜率小于1的情况)，y方向是否有变化，取决于直线的理论值与假设点之间的误差值大小。例如取X方向为最大增量方向，则有：,其中1；,绘制的直线时点的选取,偏差计算,设偏差为,当时，计算的点（实际直线上的点）在中点的上方，取当0时，计算的点（实际直线上的点）在中点的下方，取,整理后，有,yi,yi+1,偏差的递推关系,误差,因为,有,偏差初值0=m0.5,将乘以2x记为2x，则同有相同的符号，根据的符号确定象素点的过程仍然正确。此时偏差的表示式做如下变动：初始误差项：02x02y-x；积累误差k+1km修改为：k+12xk+12x(ky/x）2xk2yk2y；如果选取上面的象素点，积累误差还要减去1，修改为：k+12x（k+11）k2y2x,Bresenham直线生成算法描述,计算x和y方向的增量：dx=|xb-xa|，dy=|yb-ya|计算递推公式的初值d1:d=2dy-dx计算两个单位增量：incr1=2dy,incr2=2(dy-dx)if(xaxb)then置起点为x=xb，y=yb，置终点为xe=xa,ye=yaelse置起点为x=xa，y=ya，置终点为xe=xb，ye=yb输出起点(x,y)while(xxe)dobeginx=x+1if(d0)thend=d+incr1elsey=y+1，d=d+incr2输出点(x,y)endendofalgorithm,总结,前面所介绍的逐点比较法、数值微分法以及Bresenham算法，它们各有优缺点。因此在使用不同的图形输出设备时要选用最适合于该设备的方法，如在绘图仪中多采用逐点比较法，在点迹技术的显示设备中多用DDA法和Bresenham算法。,4、直线的属性,任何影响图元显示方法的参数称为属性参数。线段的基本属性有线型、宽度和颜色。线型：实线、虚线、点线等。,通过设置沿直线路径显示的实线线段的长度和间距来修改画线算法，产生各种类型的直线。,线宽：,线刷子：沿着生成直线时获得的象素点，移动一把具有一定宽度的“刷子”来实现。斜率k=1，刷子设置为垂直方向，否则设置为水平方向,线的连接：,一定宽度的折线段时，线段的接头处会出现缺口，典型的处理方式有：尖头，圆头和方头三种,线头：,绘制具有宽度的线段，需要对线头进行处理，典型的线头有下述三种,第三章二次曲线,圆也是图形系统中常用的元素。圆可以定义为所有以距离中心位置为给定值r的点集。圆的方程为：,利用这个方程，我们可以沿x轴，从到以单位步长计算对应的y值，从而得到圆周上每点的位置。,可以利用圆的对称性：可以先绘制八分之一圆弧，再利用对称性绘制整个圆,1、中点画圆算法,考虑圆心在原点的圆。设函数：,故有（x,y)位于圆边界内（x,y)位于圆边界上（x,y)位于圆边界外,对上述函数在每个取点步骤上，对接近圆周的两个象素点的中点进行测试来决定取点。,考虑一个四分之一圆弧,从x=0到x=y的情况（第一象限的上八分之一圆弧），圆的曲率从0变化到-1，在该段弧上的正x方向取单位步长，并确定每一步更接近圆弧的y的位置。设已经取的点为，决策参数为：,以此来判断下一步的点如何取。是还是。,故有,中点位于圆边界内中点位于圆边界上中点位于圆边界外,递推决策函数,其中的取值，决定于的符号。,中点画圆,圆弧上点的对称关系,只画1/8圆，其余点通过对称关系求得。,象限判别,在进行绘制圆弧曲线时，需要考虑轨迹点所在象限的情况，因此需要进行象限的判别。对于在坐标轴上的点，需要根据绘制圆的方向来决定。,A,B,C,D,2、Bresenham算法,仍然考虑圆心在原点的一个第一象限的圆弧。对于圆弧上的点p(x,y)，其下一个可选择的点如图。,圆弧上点与该二点之间的关系,H、D全在圆外；H在圆外，D在圆内；H在圆外，D在圆上；H、D全在圆内；,可以计算出这三点到圆心的距离与半径的差：,分析：,1）当时，圆弧在D的上方，可以取的点是H或D，只要看H和D两个点，哪个与圆弧的距离近。设：,时，H点距离圆弧近，H为可取的下一个点。,表示了H和D点到圆弧的距离之差。,时，H和D点均为可取的下一个点。,时，D点距离圆弧近，D为可取的下一个点。,当,2）当时，圆弧在D的下方，可以取的点是D或V，只要看D和V两个点，哪个与圆弧的距离近。设：,时，V点距离圆弧近，V为可取的下一个点。,时，V和D点均为可取的下一个点。,时，D点距离圆弧近，D为可取的下一个点。,当,3)当时，D点在圆上，取D点。,3、多边形逼近法,考虑绘制圆心在(xc,yc)，半径为r的圆，一个第一象限的圆弧。对于内接正多边形顶点Pi(xi,yi)，其幅角为i，则：,下一个顶点Pi+1坐标为：,只需要计算一次sin()，cos()，就可以递推计算其他顶点，计算一个顶点只需四次乘法。,3、二次曲线参数拟合法,研究二次曲线的参数方程以及通过已知的型值点构造