2010年高考模拟试卷江西汇编——压轴题

.1.（江西省十所重点中学2010届高三第一次模拟考试（理科）22.(本小题满分14分) 已知数列中，.(1)求;(2)求 的通项公式;(3)设Sn为数列的前n项和,证明:.22.【解析】: 1)由,得:2分2)由(1)可归纳猜想:3分，现用数学归纳法证明：当n=1时，显然成立；假设n=k(kN*)时成立，即，则：n=k+1时：；所以，n=k+1时，猜想也成立。故：由可知，对任意nN*,猜想均成立。8分;3)证明:设f(x)=x-sinx ,则f(x)=1-cosx0,f(x)=x-sinx在上是增函数. f(x)f(0)=0,即sinxx .又,14分。2.（江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考理数）22（本题满分14分）数列满足，.（1）求通项公式；（2）令，数列前项和为，求证：当时，；（3）证明：.22【解析】（1），两边同除以得：是首项为，公比的等比数列4分（2），当时，5分两边平方得：相加得：又9分（3）（数学归纳法）当时，显然成立当时，证明加强的不等式假设当时命题成立，即则当时当时命题成立，故原不等式成立14分3.（江西师大附中、临川一中、南昌三中2010届高三联考文数）22已知数列中，对于任意的，有（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：求数列的通项公式；（3）设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.22（1）取pn，q1，则（2分）（）是公差为2，首项为2的等差数列（4分）（2）得：（5分）（6分）当时，满足上式（7分）（8分）（3）假设存在，使（9分）当为正偶函数时，恒成立当时（11分）当为正奇数时，恒成立当时（13分）综上，存在实数，且（14分）4.（江西师大附中2010届高三上学期数学（理科）期中试卷）22.（本小题满分14分）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，且求证：；（3）求证：.22解：（1）当时，可得：，可得，（2）当时，不等式成立假设当时，不等式成立，即那么，当时，所以当时，不等式也成立.根据（），（）可知，当时，（3）设在上单调递减，当时，5.（江西师大附中2010届高三上学期数学（文科）期中试卷）22（本小题满分14分）设函数满足，且对任意，都有=。（1） 求得解析式（2） 若数列，且，求数列通项公式；（3） 设数列的前项和为，求证：22解：（1）（2）（3）两式想减得： 6.(江西省南昌一中、南昌十中20092010学年度高三11月联考（数学理）22已知各项均不为零的数列的前项和为且，其中 求数列的通项公式 求证：对任意的正整数，不等式都成立22【解析】：时，由及得当时，得因为，所以从而 由知，不等式只需证即令在上恒正，所以在上单调递增，当时，恒有即原不等式得证7.（南昌三中高三第三次月考理科数学试卷）22.（本小题满14分）已知函数有两个极值点（）求a的取值范围，并讨论的单调性；（）证明：. 22. 【解析】：（）由题设知，函数的定义域是， 且有两个不同的根，故的判别式 即 且 又故 因此的取值范围是 当变化时，与的变化情况如下表：（）（）+0-0+极大值极小值因此在区间和（）是增函数，在区间是减函数（）由题设和知于是 设函数 ， 则 当时， 当时，0，故在区间是增函数 于是，当时，因此8.（2010届鹰潭市高三第一次模拟考试（文）数学试题）22（本小题满分14分）（文科）在数列（1）求证：数列为等差数列；（2）若m为正整数，当解：（I）由变形得：故数列是以为首项，1为公差的等差数列（5分） （II）（法一）由（I）得（7分）令当又则为递减数列。当m=n时，递减数列。（9分）要证：时，故原不等式成立。（14分）（法二）由（I）得（7分）令上单调递减。（9分）也即证，故原不等式成立。（14分）9.（2010届鹰潭市高三第一次模拟考试（理）数学试题）（理科）已知数列中，当时，其前项和满足，（1） 求的表达式及的值；（2） 求数列的通项公式；（3） 设，求证：当且时，。解：（1）所以是等差数列。则。（2）当时，综上，。（3）令，当时，有 （1）法1：等价于求证。当时，令，则在递增。又，所以即。法（2） （2） （3）因所以由（1）（3）（4）知。法3：令，则所以因则 所以 （5） 由（1）（2）（5）知10.（江西省重点中学协作体2010届高三第三次联考（数学文理）22. 双曲线的离心率,是左，右焦点，过作轴的垂线与双曲线在第一象限交于P点，直线F1P与右准线交于Q点，已知（1）求双曲线的方程；（2）设过的直线MN分别与左支，右支交于M、N ，线段MN的垂线平分线与轴交于点，若,求的取值范围。22.【解析】：（1） ，P ，设Q 三点共线 得 （2）设MN：代入 得： 设M，N 且 令 在 上单调递增 得 11.（抚州一中2010届高三第二次同步考试 理科数学）22已知数列，)在直线上, （1）求数列的通项公式； （2）求证：（其中e为自然对数的底数）；（3）记 求证： 22.（I）【解析】：由题意， 为首项，为公比的等比数列。 证明：构造辅助函数，单调递减，即令则 （III）证明： 时，（当且仅当n=1时取等号）。 另一方面，当时，.c.o.，（当且仅当时取等号）。（当且仅当时取等号）。综上所述，有 12.（抚州一中2010届高三第二次同步考试 文科数学）22已知数列是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列，且满足，其中.（1）求的值；（2）若数列与数列有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列，求数列的通项公式；（3）记（2）中数列的前项之和为，求证：.22.【解析】（）由题设. 由已知，所以.又b0，所以a3. 因为，则.又a0，所以b2，从而有. 因为，故. （）设，即. 因为，则，所以.因为，且bN*，所以，即，且b3.故. （）由题设，. 当时，当且仅当时等号成立，所以.于是. 因为S13，S29，S321，则. 13.（江西省八校2010届高三下学期联考试卷（数学理）22（本小题满分14分）设数列，满足，且，（）求数列的通项公式；（）对一切，证明成立；（）记数列,的前项和分别为、，证明：22【解析】（）解： 数列是以为首项，以为公比的等比数列 (2分) (4分)（）证明： 构造函数（ ， (7分)在内为减函数，则 （，对一切，都成立 (9分)（）证明：由()可知 (12分) (14分)14.（江西省白鹭洲中学2009年高三第二次月考理科数学试卷）22. 对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义设是每项均为正整数的有穷数列，令（1）如果数列为5，3，2，写出数列；（2）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，【解析】：（1）解：，；，（2）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，从而又，所以，故（3）证明：设是每项均为非负整数的数列当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则当存在，使得时，若记数列为，则所以从而对于任意给定的数列，由可知又由（）可知，所以即对于，要么有，要么有因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有即存在正整数，当时，15.（江西省白鹭洲中学2009年高三第二次月考文科数学试卷）22. 已知函数，函数其中一个零点为5，数列满足，且（1）求数列通项公式；（2）试证明；（3）设，试探究数列是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由【解析】：（1）解：函数有一个零点为5，即方程，有一个根为5，将代入方程得， 由得或 由（1）知，不合舍去由得方法1：由得 数列是首项为，公比为的等比数列， 方法2：由-得当时-得（）即数列是首项为，公比为的等比数列，-由得代入整理得（2）由（1）知 对有，即 （3）由得令，则，函数在上为增函数，在上为减函数当时，当时，当时，当时，且当时,有最小值，即数列有最小项，最小项为 当即时，有最大值，即数列有最大项，最大项为16.（江西省崇义中学2010届高三第一次月考（数学理）22设函数，函数，其中为常数且，令函数。（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域；（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由。22【解析】：（1），其定义域为；（2）令，则且 在上递减，在上递增，在上递增，即此时的值域为（3）令，则且在上递减，在上递增，在上递增，上递减，时的最大值为，又时由的值域恰为，由，解得：或即的值域恰为时， 所求的的集合为教学资源网教学资源网17.（江西省赣州十一县（市）2010届下学期高三期中联考（数学理）22、(本小题满分14分) 已知数列是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列，且满足，其中.（）求的值；（）若数列与数列有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列，求数列的通项公式；（）记（）中数列的前n项之和为，求证：.22【解析】：（1）由题设. 分由已知，所以.又b0，所以a3. 因为，则.又a0，所以b2，从而有. 因为，故. 分 （2）设，即. 因为，则，所以. www.ks￥5因为，且bN*，所以，即，且b3. 故. 8分（3）由题设，. 当时，当且仅当时等号成立，所以 10分于是.12分因为S13，S29，S321，则. 14分18.（江西省赣州十一县（市）2010届下学期高三期中联考（数学文）22. 如图，已知：及点,在上任取一点，连并作的中垂线，设与直线交于点，若点取遍上的点.（1）求点的轨迹的方程；（2）若过点的直线与曲线交于两点,且,则当时,求直线的斜率的取值范围.22【解析】：(1)是线段A的中垂线，,|PA|P|=|P|P|=|=.即点P在以、A为焦点，以4为焦距，以为实轴长的双曲线上，故轨迹C的方程为. 6分 (2)设,则直线的方程为,则由,得 ,.由,得.,.由,消去,得.,函数在上单调递增.,，所以 或.故直线的斜率的取值范围为. 14分 19.（江西省九江市2010届高考数学模拟试卷（文、理）22（本小题满分14分）（理）已知数列中，。若是函数的一个极值点。（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：对于任意正整数，都有；（3）若，证明：。22【解析】：（1），所以。整理得：。当时，是常数列，得；当时，是以为首项，为公比的等比数列，所以方法一：由上式得，即，所以。又，当时上式仍然成立，故。方法二：由上式得：，所以是常数列，。又，当时上式仍然成立，故。（2）。因为，所以，即。从而，于是（3）且，所以因为，所以，从而原命题得证。20.（江西省九江市六校2010届高三第二次联考数学理）22（本小题满分14分）已知数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，且，求证：；（3）求证：。22、【解析】：（1）当时， ，可得：，.可得，.4分 （2）当时，不等式成立. 假设当时，不等式成立，即那么，当时， 所以当时，不等式也成立。 根据（），（）可知，当时，.9分 （3）设 在上单调递减， 当时， ，14分21.（九江市六校联考第一次考试（理数）22（本题满分14分）（理）已知，其中（1）若，求的极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，请说 明理由22.（理）【解析】（1），当，此时单调递减，当1x0时，此时单调递增，的极小值为 4分（2）的极小值即在e，0)上的最小值为1，|min1，令， 又，当，且在处连续在e，0)上单调递减， 当e，0) 时， 8分 （3）假设存在实数 当时， 由于（e，0)， 则函数的增函数 当时， 则当e时，= 此时是减函数，当时，= 此时 是增函数，由、知，存在实数，使得当 e，0，时有最小值314分22.（九江市六校联考第一次考试（文数）22（本题满分14分）（文）设为奇函数，且（1）试求的反函数的解析式及的定义域；（2）设，是否存在实数，使得对于任意的，恒成立，如果存在，求实数的取值范围. 如果不存在，请说明理由22.【解析】（文）（1）因为为奇函数，且所以，得， 6分（2）假设存在满足条件的实数。因为，所以 由得，所以，所以当时，恒成立 10分即，又所以的取值范围是 14分23.（江西省九江一中2010届高三上学期第二次月考理数）22.(本小题满分14分）已知函数()求函数的最小值；()求证：；-()对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”.设函数，与是否存在“分界线”？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22. ()解：因为，令，解得，令，解得，所以函数在上递减，上递增，所以的最小值为 ()证明：由()知函数在取得最小值，所以，即两端同时乘以得，把换成得，当且仅当时等号成立由得， ， ，将上式相乘得 （）设. 则 所以当时，；当时，因此时取得最小值0，则与的图象在处有公共点设与存在 “分界线”，方程为.由在恒成立，则在恒成立.所以成立.因此.下面证明成立. 设，. 所以当时，；当时，. 因此时取得最大值0，则成立.所以，. 24.（江西省九江一中2010届高三上学期第三次月考理数）22（本小题满分14分）已知数列的首项为，前项和为，且对任意的，当时，总是与的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求；（3）设，是数列的前项和，试证明：.22、【解析】：（1）依题意，对任意的，当时，有，.又，数列是首项为2，公比为的等比数列，数列的通项公式为（2）由（1）知，则 ，得，.（3），. 即得证.25.（江西省六校2010届高三下学期联考（数学理）22、(14分)设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*, 点(n, )都在函数f(x)x的图象上。(1)求a1, a2, a3的值，猜想an的表达式，并证明你的猜想。(2)设An为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式An对一切nN*都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由。22【解析】(1)点(n, )都在函数f(x)x的图象上，故n.Snn2an, 令n1得a11a1, a12令n2得a1a24a2, a24令n3得a1a2a39a3, a36由此猜想：an2n (nN*)，2分下面用数字归纳法证明：当n1时，由上面的求解知，猜想成立。3分假设nk时猜想成立，即ak2k成立，那么，当nk1时，由条件知，Skk2ak，Sk1(k1)2ak1, 两式相减，得ak12k1ak1ak，ak14k2ak4k22k2(k1)即当nk1时，猜想成立。根据、知，对一切nN*，an2n成立。6分(2)1, 故An(1)(1)(1),An(1)(1)(1)又f(a)aa故Anf(a)对一切nN*都成立，就是(1)(1)(1)a对一切nN*都成立. 8分设g(n)(1)(1)(1)，则只需g(n)maxa即可。9分由于(1)1g(n1)g(n), 故g(n)是单调递减，于是g(n)maxg(1),12分由a得0解得a0或a.综上所述，使得所给不等式对一切nN*都成立的实数a存在，且a的取值范围为(, 0)(, ).14分26.（江西省南昌大学附属中学2010届高三第五次月考数学（理）试题）22.（本小题满14分）已知函数有两个极值点（）求a的取值范围，并讨论的单调性；（）证明：. 22. 【解析】（）由题设知，函数的定义域是， 且有两个不同的根，故的判别式 即 且 又故 因此的取值范围是 当变化时，与的变化情况如下表：（）（）+0-0+极大值极小值因此在区间和（）是增函数，在区间是减函数（）由题设和知 于是 设函数 ， 则 当时， 当时，0，故在区间是增函数 于是，当时，因此27.（江西省重点中学协作体2010届高三年级第二次联考 数学文）22（本小题满分14分）如图，已知抛物线：过点F（1，0）作两条互相垂直的弦，AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N。 （1）线段MN是否恒过一个定点？如果经