第三章+激光原理-光学谐振腔理论(ABCD矩阵).ppt

第三章光学谐振腔理论,第一节光腔理论的一般问题一、光学谐振腔最简单的光学谐振腔：激活物质+反射镜片平行平面腔：法布里-珀罗干涉仪（F-P腔）共轴球面腔：具有公共轴线的球面镜组成i.开放式光学谐振腔（开腔）：在理论处理时，可以认为没有侧面边界（气体激光器）根据几何逸出损耗的高低分为-稳定腔、非稳腔和临界腔,ii.闭腔：如某些固体激光器，具有侧面反射边界（图a）半导体激光器iii.气体波导激光谐振腔：（图c）由两个以上反射镜构成的腔：折叠腔，环形腔,n2n1，n2n3,开腔内插入透镜一类光学元件复合腔分布反馈式谐振腔：(DistributedFeedback,DFB)二、腔的模式腔的模式：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态谐振腔所约束的一定空间内存在的电磁场，只能存在于一系列分立的本征态腔内电磁场的本征态因此：腔的具体结构腔内可能存在的模式（电磁场本征态）,麦克斯韦方程组腔的边界条件,模的基本特征主要包括：1、每一个模的电磁场分布E(x,y,z)，腔的横截面内的场分布（横模）和纵向场分布（纵模）；2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗；3、每一个模的激光束发散角。腔的参数唯一确定模的基本特征。,开腔傍轴传播模式的纵模特征傍轴光线(paraxialray)：光传播方向与腔轴线夹角非常小，此时可认为sintan,开腔傍轴传播模式的纵模频率间隔(F-P腔，平面波),:光波在腔内往返一次的相位滞后:光波在腔内往返一次的电场变化率（=12）,E0,E1=E0e-j,E2=E1e-j,E4,E3=E2e-j,ET=E0+E1+E2+E3+E4+,ET,当|1的情况下（往返传播次数无限多），只有当=q2时，ET幅度可以达到,腔内纵模需要满足的谐振条件相长干涉条件：腔中某一点出发的波，经往返一周回到原来位置时，应与初始出发的波同相位。,0真空中的波长；L腔的光学长度,为腔内介质折射率,纵模间隔,多纵模情况下，不同的纵模对应腔内不同的驻波场分布纵模序数q对应驻波场波节个数,在F-P腔中均匀平面波纵模场分布的特点场沿腔的轴线方向形成驻波，驻波的波节数为q，波长为q。,纵模间隔与序数q无关，在频率尺度上等距排列；纵模间隔大小与腔长成反比。,a.几何偏折损耗；b.衍射损耗；c.腔镜反射不完全引入损耗；d.材料吸收、散射，腔内插入物所引起的损耗等。,选择损耗（有选模作用）,非选择损耗（无选模作用）,腔内损耗的描述平均单程损耗因子定义无源腔内，初始光强I0往返一次后光腔衰减为I1，则,三、光腔的损耗,1、损耗的种类及举例,损耗因子也可以用来定义当损耗很小时，两种定义方式是一致的,对于由多种因素引起的损耗，总的损耗因子可由各损耗因子相加得到,损耗举例,反射镜反射不完全损耗：,衍射损耗（均匀平面波夫琅和费（Fraunhofer）衍射）：,孔阑传输线第一衍射极小值：,2a,L,N腔的菲涅耳数，表征衍射损耗大小，N，衍射损耗,是从一个镜面中心看到另一个镜面上可以划分的菲涅耳半波带数，也是衍射光在腔内的最大往返次数,2、光子在腔内的平均寿命设，初始光强I0，在腔内往返m次后，光强为Im，则,则在t时刻时，往返次数则t时刻光强,物理意义为,腔内光子平均寿命,3、光子寿命与无源谐振腔的Q值的联系,谐振腔的损耗越小，Q值越高,定义：,谐振腔损耗越小，腔内光子寿命越长腔内有增益介质，使谐振腔净损耗减小，光子寿命变长,第二节共轴球面腔的稳定性条件,一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）,1.表示光线的参数r光线离光轴的距离光线与光轴的夹角傍轴光线dr/dz=tansin,正,负号规定:,2.自由空间区的光线矩阵,A处：r0,q0B处：r,q,自由空间光线矩阵,3.空气与介质(折射率为n2)的界面,入射出射,4.薄透镜传输矩阵,5.球面镜反射矩阵,薄透镜与球面反射镜等效,6.ABCD矩阵的应用球面镜腔,球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）,薄透镜与球面反射镜等效,共轴球面腔的稳定性条件,其中,n次往的返传播矩阵:,可求得rn,n,思考题：对1和2两种光线顺序，分别求,其中,课本上式（2.2.15）为精确推导的、n次往的返传播矩阵:,可求得rn,n,总结：1、反射镜R符号规定：凹面向着腔内，R0，相当于凸薄透镜f0；凸面向着腔内时，R0，相当于凹薄透镜f0。2、对于同样的光线传播次序，往返矩阵T、Tn与初始坐标（r0,0）无关；3、当光线传播次序不同时，往返矩阵不同，但(A+D)/2相同。,例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线对于平行于x,z平面传输的光线（子午光线），其焦距对于平行于“光轴”k和y确定的平面传输的光线（弧矢光线），其焦距,二、共轴球面腔的稳定性条件几何偏折损耗1、稳定腔傍轴光线在腔内任意多次往返不会横向逸出腔外,2、非稳腔傍轴光线在腔内有限次往返必然从侧面溢出腔外,对简单共轴球面腔和复杂腔可选择不同适用公式,3、临界腔,（2）、平行平面腔(R1=R2=,g1=g2=1),不稳定,稳定,类似于平行平面腔，通过公共中心的光线稳定不通过公共中心的光线不稳定,适用任何形式的腔,只需列出往返矩阵就能判断其稳定性,（3）、共心腔(R1+R2=L),临界腔其实是稳定的,（1）、对称共焦腔：满足R1=R2=L，此时g1=g2=0；,练习：,1、画出图1所示谐振腔的等效透镜光路，并写出往返矩阵试问：这种腔是否能用,判断腔的稳定性。,2、画出图2所示谐振腔一个周期的等效透镜光路。,第三节开腔理论的物理概念和衍射理论分析方法,一、理想开腔模型，孔阑传输线,理想开腔模型：两块反射镜片（平面或曲面）沉浸在均匀、无限、各向同性的介质中。不考虑几何偏折损耗情况下（稳定），由于反射镜的有限大小导致的衍射损耗将决定开腔中激光震荡能量的空间分布。,在反射镜边缘处由于衍射发生损耗，进而改变us+1的分布当经过足够多次渡越，形成这样一种场分布，渡越时分布情况不再受衍射影响，只有整体按同样比例衰减。,开腔的自再现模或横模,孔阑传输线,1、初始入射波的形状不影响自再现模的形成；2、不同初始入射波可能导致不同自再现模-横模的形成。,二、菲涅耳-基尔霍夫衍射积分,S曲面上光场分布函数,各子波源发出的球面波,倾斜因子,u(x,y)可以看作S曲面上各子波源发出的非均匀球面波的叠加,右图,左图,三、自再现模所应满足的积分方程,考虑对称开腔的情况：,（6）为自再现模场V(x,y)应满足的积分方程式，K(x,y,x,y)称为积分方程的核。,则|V(x,y)|描述镜面上场振幅的分布，其辐角argV(x,y)描述镜面上的相位分布。,简化得到,注意：指数上的(x,y,x,y)不能做这样的简化？,其中,适用任何对称光学开腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）,本征函数,本征值,1.本征函数形式,镜面上振幅分布,镜面上场的相位分布,四、自再现模积分方程的解的物理意义,2.本征值gmn复常数,g量度自再现模的单程损耗,不同横模有不同的g和dd，g模的单程损耗,3.单程相移dmn自再现模在腔内渡越一次的总相移,开腔自再现模的谐振条件,几何相移,附加相移，与模式有关,当gmn得知,可求得模的谐振频率,五、分离变量法,1、矩形平面镜腔,Y方向和X方向无限长的窄带镜的自洽积分方程,以Vm和Vn表示第m个和第n个解，m和n表示相应的复常数：,积分本征值问题，m、n为一系列不连续的特定值，分别对应相应的本征函数Vm(x)和Vn(y)。,2、方形球面腔,对称共焦腔,方形镜对称共焦腔的自再现模满足积分方程：,第四节自再现模积分方程的解法,1.解析解：精确解近似方形镜共焦腔长椭球函数厄米高斯函数圆形镜共焦腔超椭球函数拉盖尔高斯函数,第五节方形镜对称共焦腔的自再现模,2.数值解(数值迭代法),.,.,振幅,相位,300次迭代结果,详见63页图2.20,方形共焦腔,分离变量Vmn=Fm(X)Gn(Y),Y方向和X方向无限长的窄带镜共焦腔的自洽积分方程,精确解：长椭球函数系采用类比法,通过对比，找到了m,Fm(X)和n,Gn(Y)的表达式！,对于一定的c值，可查长椭球函数表确定,本征函数角向长椭球函数镜面上场的振幅、相位分布,本征值径向长椭球函数决定模的相移和损耗,均为实函数,对给定c值，当m、n取一系列不连续的整数时，即得到一系列本征函数,镜面上为等相位面，渡越时，附加相位由m,n决定,二、厄米高斯函数近似解,当xa，y1时,厄米-高斯函数能近似满足积分方程(2.5.6)，即使不能满足c=2N1，厄米-高斯函数仍然能描述镜面中心附近的共焦腔模的振幅和相位分布。,至此，我们得到了厄米-高斯近似下共焦镜面上的场分布特性。,Cmn常系数,厄米-高斯近似下共焦镜面上的场分布特性：,1、基模:TEM00m=0,n=0,光斑尺寸定义(1)w0s：,y,基模在镜面上分布为高斯型,定义：,光斑尺寸定义(2)光强降到中心光强的一半处的半径w0s：,厄米多项式的零点决定场的节线,2、高阶横模的场振幅分布（m,n不同时为0）,3、高阶横模的光斑尺寸,定义：光场分布坐标均方差值的四倍为光斑半径的平方,厄米多项式的零点决定场振幅的节线,5、单程损耗(mn),本征值决定模的相移和损耗,径向长椭球函数,m、n与腔的菲涅尔数(N)腔的单程损耗,4、镜面上光场的相位分布,的辐角决定镜面上场的相位分布,长椭球函数为实函数，表明镜面上各点场的相位值相等等相位面与共焦腔镜面重合,同种腔NDm,nD选横模的物理基础,不同腔共焦腔衍射损耗0时：,比较,近轴球面波,近轴高斯光波,高斯光波在腔轴附近可近似为球面波，球面半径,抛物面方程近轴处近似为球面,当z1时,共焦腔的自再现模可以由厄米高斯或拉盖尔高斯函数近似描述共焦腔基模高斯光束的基本特征唯一地由焦距f或w0决定,与反射镜尺寸无关。参数f或w0是表征共焦腔高斯光束的特征参数。只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相同。共焦腔的特点：衍射损耗低；模式高度简并；基模光斑尺寸沿腔轴以双曲线规律变化;等相位面近似为球面，在反射镜处，等相位面与镜面重合。,自再现模所应满足的积分方程,分离变量法,方形镜对称共焦腔镜面场分布（长椭球函数）,厄米-高斯函数,圆形镜对称共焦腔镜面场分布（超椭球函数）,对称共焦腔,拉盖尔-高斯函数,N近似,镜面场分布,空间行波场分布,本征值D，nmnq,腔内、外行波场,腔内、外行波场,基模高斯光束：w0、f、w(z)、R(z)、,本征函数,镜面上光斑，模体积,空间场分布光斑、相位,衍射损耗,1、证明：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价：,可以证明R1,R2,L满足,共焦腔与稳定球面腔的等价性（具有相同的行波场）任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价，而任何一个稳定球面镜腔只能有一个等价共焦腔,是稳定球面腔,第八节一般稳定球面镜腔的模式特征,2、证明：任意一个稳定球面腔只有一个等价的共焦腔：,关键问题：已知R1,R2,L如何求出等价共焦腔位置及f值,当,可得,联立解出：,一、镜面上的光斑尺寸（基模）,一般稳定球面镜腔的模式特征,将前面的表达式带入，得到,稳定腔,二、模体积（基模）,模体积（高阶模）对方形镜稳定腔：,三、等相位面分布：,等相位面,（2.8.4）,四、基模远场发散角：,五、谐振频率：,方形镜,圆形镜,表达式代入,将,方形镜稳定球面腔：,圆形镜稳定球面腔：,六、衍射损耗：,稳定球面镜腔的有效菲涅尔数,共焦腔菲涅耳数,稳定球面腔与等价共焦腔的衍射损耗遵循相同规律,时，两个腔的单程损耗应该相等。,带入（2.8.6）和（2.8.7）,可以按共焦腔的Nmn关系，将有效菲涅耳数代入，分别求出对应的mn1和mn2,共焦腔TEM00近似公式00=10.9104.94N,行波场相同,共焦腔各模式的损耗单值的由N决定,第九节高斯光束的基本性质及特征参数,一、基模高斯光束,沿z轴方向传播的基模高斯光束，不管它是由何种结构的稳定腔所产生的，均可表示为：,瑞利长度共焦参数,腰斑半径,等相位面曲率半径,光斑半径,f或w0为高斯光束的典型参数,发散(+)会聚(-),BasicparametersdescribingaGaussianbeam,二、基模高斯光束的特征参数,1.用w0(或f)及位置表征；已知w0(或f)w(z),R(z),等参数,2.用w(z)及R(z)表征;已知w(z),R(z)w0,z,1、曲率不断变化的非均匀球面波；2、横截面内振幅/强度分布为高斯分布；3、等相位面始终保持为球面。,发散(+)会聚(-),基模高斯光束特点,3.高斯光束的q参数,(2-9-1)改写为,q参数,(高斯光束的复曲率半径),q参数物理意义：同时反映光斑尺寸及波面曲率半径随z的变化,若已知高斯光束某一位置的q参数w(z),R(z)w0,z,若已知高斯光束某一位置的q参数w(z),R(z),q参数表征高斯光束的优点:将描述高斯光束的两个参数w(z)和R(z)统一在一个参数中,便于研究高斯光束通过光学系统的传输规律高斯光束三种描述方法的比较,光腰处（z0）,0,整理可得：,三、高阶高斯光束,1、厄米-高斯光束,横向场分布由高斯函数与厄米多项式的乘积决定,光腰尺寸：,z处光斑尺寸：,远场发散角：,2、拉盖尔-高斯光束,横向场分布,z处光斑尺寸：,光腰尺寸：,远场发散角：,二、高斯光束通过光学元件的变换ABCD公式,1.自由空间,2.薄透镜(透镜焦距为F）,球面波,3.光学系统传输矩阵为的光学系统,球面波,高斯光束q参数通过光