2012-2013南通市高三数学一模

.南通市2013届高三第一次调研测试数学I（考试时间：120分钟 满分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1已知全集U=R，集合，则 答案：2已知复数z=(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第 象限 答案：三3已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 答案：48.4定义在R上的函数，对任意xR都有，当 时，则 答案：5已知命题：“正数a的平方不等于0”，命题：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则是的 （从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）开始结束Yn1输入x输出xnn+1x2x+1n3N（第8题）答案：否命题6已知双曲线的一个焦点与圆x2+y210x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为 答案：7若Sn为等差数列an的前n项和，S9=36，S13=104，则a5与a7的等比中项为 答案：8已知实数x1，9，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为 答案：9在ABC中，若AB=1，AC=，则= 答案：10已知，若，且，则的最大值为 答案：211曲线在点(1，f(1)处的切线方程为 答案：(第12题)O12如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时则该物体5s时刻的位移为 cm 答案：1.513已知直线y=ax+3与圆相交于A，B两点，点在直线y=2x上，且PA=PB,则的取值范围为 答案：ABCDEFA1B1C1(第15题)14设P(x，y)为函数图象上一动点，记，则当m最小时，点 P的坐标为 答案：(2，3)二、解答题：本大题共6小题，共计90分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本题满分14分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点求证：（1）平面ABC；（2）平面AEF平面A1ADABCDEFA1B1C1(第15题)解：（1）连结因为分别是侧面和侧面的对角线的交点，所以分别是的中点所以 3分又平面中，平面中，故平面 6分（2）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，所以故由，得 8分又因为是棱的中点，且为正三角形，所以故由，得 10分而，平面，所以平面12分又平面，故平面平面14分16.（本题满分14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为1，求的取值范围解：(1)因为，即，所以，即 ，得 4分所以，或(不成立)即 , 得 7分(2)由因， 8分故ABCD（第17题）P= 11分，故14分17.（本题满分14分）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用如图所示，为长方形薄板，沿AC折叠后，交DC于点P当ADP的面积最大时最节能，凹多边形的面积最大时制冷效果最好（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，因，故 2分设，则因，故由 ，得 ，5分（2）记的面积为，则 6分，当且仅当(1，2)时，S1取得最大值8分故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好 9分（3）记的面积为，则，10分于是，11分关于的函数在上递增，在上递减所以当时，取得最大值 13分故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好 14分18.（本题满分16分）已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1；（2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由解：(1)令n=1，则a1=S1=0 3分(2)由，即， 得 ，得 于是， +，得，即 7分又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1 9分(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是， 11分所以，()易知(p，q)=(2，3)为方程()的一组解 13分当p3，且pN*时，0，故数列(p3)为递减数列，于是0，所以此时方程()无正整数解综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列 16分注 在得到式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分但在做除法过程中未对n2的情形予以说明的，扣1分19.（本题满分16分）已知左焦点为F(1，0)的椭圆过点E(1，)过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为线段AB的中点，求k1；（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标解：依题设c=1，且右焦点(1，0)所以，2a=，b2=a2c2=2，故所求的椭圆的标准方程为 4分(2)设A(，)，B(，)，则，得 所以，k1= 9分(3)依题设，k1k2设M(,)，直线AB的方程为y1=k1(x1)，即y=k1x+(1k1)，亦即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得 于是， 11分同理，当k1k20时，直线MN的斜率k=13分直线MN的方程为，即 ，亦即 此时直线过定点 15分当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点综上，直线MN恒过定点，且坐标为 16分20.（本题满分16分）已知函数且x1)（1）若函数在上为减函数，求实数a的最小值；（2）若，使f(x1)成立，求实数a的取值范围解：（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立 2分所以当时，又，故当，即时，所以于是，故a的最小值为 6分（2）命题“若使成立”等价于“当时，有” 7分由（1），当时， 问题等价于：“当时，有” 8分当时，由（1），在上为减函数，则=，故 10分当时，由于在上为增函数，故的值域为，即(i)若，即，在恒成立，故在上为增函数，于是，=，不合 12分(ii)若，即，由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；所以，=，所以，与矛盾，不合 15分综上，得 16分南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题参考答案与评分标准21【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤B选修42：矩阵与变换已知曲线，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线，在矩阵N对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程解：设A=NM，则A， 3分设是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线上的对应的点为，则 ， 即 7分又点在曲线上， ，即10分C选修44：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数，tR)试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大解：曲线C的普通方程是 2分直线l的普通方程是 4分设点M的直角坐标是，则点M到直线l的距离是 7分因为，所以当，即Z)，即Z)时，d取得最大值 此时综上，点M的极坐标为时，该点到直线l的距离最大 10分注 凡给出点M的直角坐标为，不扣分22(本小题满分10分)解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤如图，已知定点R(0，3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且（1）求动点M的轨迹C1；（2）圆C2： ，过点(0，1)的直线l依次交C1于A，D两点（从左到右），交C2于B，C两点（从左到右），求证：为定值解：（1）法一：设M(x，y)，P(x1，0)，Q(0，y2)，则由及R(0，3)，得化简，得 4分所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线 5分法二：设M(x，y)由，得 所以，由，得 ，即化简得 4分所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线 5分（2）证明：由题意，得 ，C2的圆心即为抛物线C1的焦点F设，则 7分同理 设直线的方程为 由得，即所以， 10分23(本小题满分10