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第三课时利用导数证明不等式专题,利用导数证明不等式是近几年高考的热点问题,主要体现在压轴题中的一问,难度较大,分值占68分.一般是把不等式问题转化成函数的最值问题进行解决.涉及的主要数学思想是转化与化归思想、分类讨论思想及函数与方程思想.,专题概述,考点专项突破,解题规范夯实,考点专项突破在讲练中理解知识,考点一,直接将不等式转化成函数最值问题,【例1】导学号94626107(2017全国卷)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;,(2)当a0时,f(x)2a+aln.,考点二,将不等式转化为两个函数的最值进行比较,【例2】导学号94626108已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)在t,t+2(t0)上的最小值;,(2)对一切x(0,+),2f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;,当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4.因为对一切x(0,+),2f(x)g(x)恒成立,所以ah(x)min=4,即a的取值范围是(-,4.,反思归纳在证明的不等式中,若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题,可以借助两个函数的最值进行证明.,(1)讨论a=1时,函数f(x)的单调性和极值;,(2)求证:在(1)的条件下,f(x)g(x)+;,(3)是否存在正实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.,考点三,构造函数证明不等式,【例3】导学号94626110(2017福建单科质检)已知函数f(x)=(ax-1)ex,aR.,(1)讨论f(x)的单调区间;,解:(1)f(x)的定义域为R,且f(x)=(ax+a-1)ex,当a=0时,f(x)=-exn0时,证明:men+n0,则由f(x)=0得x=lna.当x(-,lna)时,f(x)0,故f(x)在(-,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增.4分,(2)若f(x)0,求a的取值范围.,满分展示:(2)若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0.7分若a0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna.从而当且仅当-a2lna0,即a1时,f(x)0,综合得0a1.9分,答题模板:第一步:确定函数的定义域;第二步:求f(x);第三步:分类讨论确定函数的单调性;
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