组合数学习题答案(部分)

期末总复习期末总复习 n n 阶阶幻方的构造幻方的构造 分分三种情况：三种情况：n n 为奇数、为奇数、n n 为为 4 4 的倍数、的倍数、 n n 为其它偶数为其它偶数(4n+2(4n+2 的形式的形式) ) n n 为奇数时，最简单为奇数时，最简单 (1) (1) 将将 1 1 放在第一行中间一列放在第一行中间一列; ; (2) (2) 从从 2 2 开始直到开始直到 nnnn 止各数依次按下列规则存放：止各数依次按下列规则存放： 按按 45 45方向行走，方向行走，（如向右上如向右上） 每一个数存放的行比前一个数的行数减每一个数存放的行比前一个数的行数减 1 1，列数加，列数加 1 1 (3) (3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。 例如例如 1 1 在第在第 1 1 行，则行，则 2 2 应放在最下一行，列数同样加应放在最下一行，列数同样加 1; 1; (4) (4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第 1 1 行行 第第 n n 列时，列时， 则把下一个数放在上一个数的下面。则把下一个数放在上一个数的下面。 采用对称元素交换法。采用对称元素交换法。 1.1.把数把数 1 1 到到 nnnn 按从上至下，从左到右顺序填入矩阵按从上至下，从左到右顺序填入矩阵 2.2.将方阵的所有将方阵的所有 4444 子方阵中的两对角线上位置的数关子方阵中的两对角线上位置的数关 于方阵中心作对于方阵中心作对 称交换，即称交换，即 a(i,j)a(i,j)与与 a(na(n+ +1 1- -i,ni,n+ +1 1- -j)j) 交换，所有其它位置上的数不变。交换，所有其它位置上的数不变。 ( (或者将对角线或者将对角线上上的的数数换成换成和和它它互补互补的的数数) ) 互补： 如果两个数字的和， 等于幻方最大数和最小数的和互补： 如果两个数字的和， 等于幻方最大数和最小数的和 （即即 1 2 n） ， 称为互补称为互补。 n 为 4 的倍数时 人们很早就掌握了奇数阶和阶数人们很早就掌握了奇数阶和阶数 n=4kn=4k 的幻方的构造方法，而阶数的幻方的构造方法，而阶数 n=4k+2n=4k+2 的幻方的构造是直到的幻方的构造是直到 19181918 年才由数学家年才由数学家 R.StracheyR.Strachey 给出。给出。 （1 1） 令令 m=n/2,m=n/2,将将nn的幻方格分成的幻方格分成 4 4 个个 A A、B B、C C、D D 区域，其中的区域，其中的 每个区域由每个区域由mm的方格组成。的方格组成。 （2 2） 分别用数字分别用数字 1,1, m m 2 2; ; m m 2 2+1, +1, 2 2m m 2 2; ; 3 3m m 2 2+1, +1, 4 4m m 2 2 构造构造mm阶幻方添入阶幻方添入 4 4 个区域个区域。 （3 3） 在在 A A 区的中间一行从第区的中间一行从第 2 2 个元素始选定个元素始选定 k k（n=4k+2n=4k+2）个元素，在）个元素，在 A A 区区 其他行从第一个元素始选定其他行从第一个元素始选定 k k 个元素；个元素； 在在 D D 区选定与区选定与 A A 区相应位置的元素。区相应位置的元素。 在在 C C 区的最后一列始，在每行选定区的最后一列始，在每行选定 k k- -1 1 个元素，在个元素，在 B B 区选定与区选定与 C C 区相应位区相应位 置的元素。置的元素。 （4 4）调换）调换 A A 区和区和 D D 区，区，B B 区和区和 C C 区中选定的对应元素。区中选定的对应元素。 （3） 阶数 n=4k+2 时 3030 3939 4848 1 1 1010 1919 2828 3838 4747 7 7 9 9 1818 2727 2929 4646 6 6 8 8 1717 2626 3535 3737 5 5 1414 1616 2525 3434 3636 4545 1313 1515 2424 3333 4242 4444 4 4 2121 2323 3232 4141 4343 3 3 1212 2222 3131 4040 4949 2 2 1111 2020 第一章第一章 鸽巢原理鸽巢原理 8 14 16 第二章第二章排列与组合排列与组合 1 2. 比5400大的四位整数中，数字2,7不出现，且各位 数字不同的整数有多少个？ 3 4 5 6 7. 8个棋子大小相同，其中个棋子大小相同，其中5个红的，个红的，3个蓝的。把它们放在个蓝的。把它们放在 88的棋盘上，每行、每列只放一个，问有多少种方法？若放的棋盘上，每行、每列只放一个，问有多少种方法？若放 在在1212的棋盘上，结果如何？的棋盘上，结果如何？ 8 9 10 12. 14. 15. 21. 31. 第三章第三章 二项式系数二项式系数 7. 利用利用 求求 8. 13. 14. 19. 用牛顿二项式定理近似计算用牛顿二项式定理近似计算 101/3 . 解解： 3 1 10= r r r 4 1 3 1 2) 4 1 1 (2 0 3 1 ) 4 1 ! 3 )2 3 1 )(1 3 1 ( 3 1 4 1 2 ) 1 3 1 ( 3 1 4 1 3 1 1 (2 32 1522. 2)0069. 0083. 01 (2) 16 1 9 1 12 1 1 (2 第四章第四章 容斥原理容斥原理 2 . 4 . 5 . 6. 7. 7. 求集合求集合11，2 2，nn的排列数，使得在排的排列数，使得在排 列中正好有列中正好有k k个整数在它们的自然位置上。个整数在它们的自然位置上。 8. 13. 14. 16. 17. 第五章第五章 生成函数生成函数 7. 4. 5. 18. 19