绕任一直线旋转体体积及旋转曲面面积公式

绕任一直线旋转体体积及旋转曲面面积公式 薛 利 敏 ( 渭南师范学院 数学系, 陕西 渭南 714000) 摘 要: 本文用微元法证明了平面光滑曲线段绕任一直线旋转所成旋转体体积及旋转曲面面积公式 关键词: 微元法; 直线; 旋转体体积公式; 旋转曲面面积公式 中图分类号: O18 文献标识码: A 文章编号: 10095128(2001) S0004602 在数学分析中, 由曲线 y= f( x) 与直线 x= a, x= b 及x 轴所围成的平面图形绕x 轴得一旋转体, 其体积公 式: V = ? b af 2(x )dx (公式 1)。光滑曲线段 y= f( x) 0, (axb) 绕x 轴旋转所成旋转曲面, 其面积公式: S = 2? b af (x ) 1 + f ?2(x) dx ( 公式 2) 。 下面, 我们进一步讨论一平面光滑曲线段绕平面中任一直线旋转所成 旋转体体积及旋转曲面面积。 1 曲线段 y= f ( x) 绕直线 y = kx+ c 旋转所成旋转体的体积及旋转曲面的面积 公式 定理 1 在 xoy 平面内, 光滑曲线段 y= f( x), (axb)绕直线 y= kx+ c 旋转所成旋转体的体积及旋转 曲面的面积分别为: V = ? 1 + k2 b a kx + c - f (x ) 2dx (公式 3), S =2? b a kx + c -f (x ) 1+ k2 1 + f ? 2(x )dx( 公 式 4). 证 明: 如 图 1, 设 A ( a, f (a) , B( b, f ( b) , M( x, f ( x) ), 记曲线段 AB 在直线 y = kx + c 上的投影区间 为 A ?, B? , 将区间 A?, B? 任意分割, 考虑小区间 M ?, N ?, 相应于这一段区间上, 由小弧段MN 绕直线 y = kx + c旋转可得到一个小旋转体M MN N 及一条 窄带, 记 MM N N 的体积为 ?V, MMN N 的表面积 为 ?S, 用直线段MN (长度记为 ?l) 绕 y = kx + c旋转 所得到的正圆台的侧面积来近似代替 ?S(记? MM?= h, ? N N ? =h +?h), ?S ?(h +h +?h) ?l = 2? h?l + ?h ?l. 当 ? M ?N ? 0时, ?h?l是高阶无穷小量, 可以略去不计, 因此得到旋转曲面面积微元为: ds = 2?hdl. 其中 h 是点 M 到直线 y = kx + c 的距离, 所以h = ? kx + c - y 1 + k2 ? = ? kx + c - f (x) 1 + k2 ?, dl 是曲线A B 弧的 弧微分, 所在 dl =1 + f ? 2(x) dx , 且 x 相应的变化区间为a, b , 所以: 2001 年增刊(增总第 6期) 渭南师范学院学报 Vol. 16 S ds = 2? kx + c - f (x) 1 + k2 ?1 + f ?2(x )dx. 由微元法得旋转曲面面积为: S = 2? b a? kx + c - f (x ) 1 + k2 )?1 + f ? 2(x )dx. 而 MM N N 的体积 ?V = ( kx + c - f ( x) 1 + k2 ) 2 M ?N ?, 体积元素 dv = ?( kx + c - f (x ) 1 + k2 ) 2 1 + k2dx. 由微元法得旋转体体积:V= ? 1 + k2 b a kx + c - f ( x) 2dx. 由此可知: 当直线为 x 轴(y= 0) 时, 公式 3、 公式 4分别为公式 1、 公式 2. 因此, 公式 1、 2 分别是公式 3、 4 的一种特殊情况。但是当直线与 x 轴垂直时, 公式 3、 公式 4显然不适用, 这时, 我们有: 2 曲线段 x= ( y) 绕直线 x= a 旋转所成旋转体体积及旋转曲面面积公式 定理 2 在 xoy 平面内, 光滑曲线段 x= (y) , (cyd) 绕直线 x= a 旋转所成旋转体体积及旋转曲面面 积公式分别为: V = ? d c( ! (y) - a) 2dy (公式 5), S = 2? d c?! ( y) - a? 1 + ! ? 2(y) dy (公式 6). 证法同定理 1. 3 应用举例 例: 求曲线段 y= x2( 0x1) 绕直线 y= x 旋转所成旋转体体积及旋转曲面面积. 解: 由公式 3 得: V = ? 1 + 12 1 0(x - x 2)2dx = ? 302 = 2 60 ?. 由公式 4 得: S = 2? 1 0? x - x2 1 + 12 ?1+(x 2)?2dx = 2 ? 1 0(x - x 2) 1+4x2dx =2 ? 1 12( 1+ 4x 2) 3 2- 2 x 8 ( 2x2+ ( 1 2 ) 2 x2+( 1 2 ) 2 + 2 ( 1 2 ) 4 8 ln(x +x 2+ ( 1 2 ) 2 1 0 =2 ? ( 3 25 - 1 12 + ln( 2+5 ) 64 - 95 ) 32 ) 参考文献: 1 四川大学教学系高等教学教研室 . 高等数学: 第一册M ( 第 3 版