第五章中心力场

即角动量是守恒量。因而也是守恒量。,第五章中心力场,5.1中心力场中粒子运动的一般性质,一、角动量守恒与径向方程,设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：,对于势能只与r有关而与,无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便。于是H可改写为：,在求解中心力场中粒子的能量本征方程时，选用为力学量完全集是很方便的。这是因为：当选用了守恒量完全集（，）来对态进行分类以后，属于同一个能级的诸简并态的正交性问题将自动得到保证。,能量本征方程为:,考虑到中心力场的特点：球对称性，选用球坐标系是方便的，,此时利用,左边第一项称为径向动能算符，第二项称为离心势能。,H的本征方程,取:,分离变量,径向方程可写为：,径向波函数或的归一化条件可写成:,，（不慢于）,求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：,代入式得：,由于波函数要求有限，所以要求,这就是径向方程的一个定解条件。,（1）不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或l(r)，它们由中心势V(r)的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级至少为2l+1重简并的。,注意：,（2）在一定边界条件下求解径向方程，即可得出能量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于束缚态，则E取离散值。,（3）在求解径向方程时，由于束缚态边界条件，将出现径向量子数nr.,二、两体问题化为单体问题,两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：,ET为体系的总能量。引入质心坐标和相对坐标,二体运动可化为：,I一个具有折合质量的粒子在场中的运动II二粒子作为一个整体的质心运动。,可以证明：,其中体系的总质量，约化质量或折合质量。,对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商。,则二粒子体系的能量本征方程可化为：,此方程可分离变量，令,得：,分解为二个本征方程:描述质心运动，是能量为EC的自由粒子的能量本征方程，EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式运动。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出与单粒子能量本征方程形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，E理解为相对运动能量。,5.4氢原子,量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，其Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。,氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）,这是一个两体问题。,具有一定角动量的氢原子的径向波函数,满足下列方程：,边界条件：,为电子的约化质量，,me和mp分别为电子和质子的质量。,(1),一、氢原子的能级,氢原子的能量本征值：,(2),玻尔半径：,主量子数：n,见110页：氢原子的能级图,与En相应的归一化的径向波函数为：,二、氢原子的波函数,合流超几何函数,氢原子的束缚态能量本征函数为：,、,主量子数,角动量量子数,磁量子数,1、能级简并度,氢原子的能级,只与主量子数n有关，,对应的本征态,因此能级是简并的（除n=1外），简并度为,讨论：,2、氢原子核外电子的几率分布,当氢原子处于nlm态时，在,点周围的体积元,内发现电子的几率为:,人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云”或“电子云”.,（1）在(r,r+dr)球壳中找到电子的几率径向概率分布,称为径向几率密度或径向分布函数。,取最大值的半径称为最可几半径。,使,例如：氢原子处于基态,，求最可几半径?,解：,令,经检验,为最大值,时,是最可几半径,所以,1，0,2，0,3，0,4，0,0369121518212427303336,r/a0,a0Wnl(r),0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,Wnl(r)r的函数关系,n，l,Rnl(r)的节点数nr=n1,n，l,Rnl(r)的节点数nr=n1,讨论：、关于描述氢原子核外电子分布问题,旧量子论：电子在核外作轨道运动,量子力学：由于电子的波粒二象性使轨道概念失去了意义，氢原子核外电子是以几率分布的形式出现。,、关于氢原子的第一玻尔轨道半径,量子力学几率分布的观点解释a的物理意义：当氢原子处于1s态时，在r=a处找到电子的几率最大，在ra的区域仍有电子分布，只不过几率较小而已。,对r(0)积分,Rnl(r)已归一,电子在(,)附近立体角d=sindd内的几率,右图示出了各种,m态下，Wm()关于的函数关系，由于它与角无关，所以图形都是绕z轴旋转对称的立体图形。,例1.=0,m=0，有：W00=(1/4)，与也无关，是一个球对称分布。,例2.=1,m=1时，W1,1()=(3/8)sin2。在=/2时，有最大值。在=0沿极轴方向（z向）W1,1=0。,例3.=1,m=0时，W1,0()=3/4cos2。正好与例2相反，在=0时，最大；在=/2时，等于零。,m=-2,m=+2,m=+1,m=-1,m=0,=2,解：,的电子，其,例题1,设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方、角动量z分量的可能值及其几率，并求其平均值。,例题2,的可能值为：，,解：能量的可能值为：概率分别为：1/3，1/2，1/6,概率分别为：1/3，1/2，1/6,概率分别为：1/3，1/2，1/6,的可能值为：，,平均值分别为：,设氢原子处于状态,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。,例题3,例题4,解：(1),(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为,令,当,为几率最小位置,是最可几半径。,(4),解：（1）三维谐振子Hamilton量,例1.求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况,5.3二维、三维各向同性谐振子（105页）,（2）本征方程及其能量本征值,解得能量本征值为：,则波函数三方向的分量分别满足如下三个方程：,因此，设能量本征方程的解为：,如果系统Hamilton量可以写成则必有：,（3）简并度,当N确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的n1,n2,n3有多种不同组合，相应于若干不同量子状态，这就是简并。其简并度可决定如下：,当n1,n2确定后，n3=N-n1-n2，也就确定了，不增加不同组合的数目。故对给定