2013-计算力学-7-插值函数的构造

1,2020年6月,1,计算力学,插值函数的构造,2,2020年6月,2,本章要点,C0型单元插值函数构造Hermite单元插值函数构造*阶谱单元插值函数构造,3,2020年6月,3,目录,1几点说明2Lagrange单元簇3Serendipity单元簇4三角形单元簇5三维单元的插值函数6Hermite单元簇7阶谱单元,4,2020年6月,4,.1几点说明,主要讨论C0型单元包括三角形单元系，矩形单元系（Lagrange和Serendipity单元族），不考虑C1型单元（梁除外）；对等参元（等参数单元）而言，插值函数等同于形函数位移函数的完全多项式构造参照：Pascal三角形,Pascal三角形,5,2020年6月,5,.1几点说明,对协调元而言，构造插值函数的原则性要求：1.Ni(xj,yj,zj)=ij2.保证连续性，即协调性3.完备性，对C0单元，要求包含任意线性项4.Ni=1保证刚体平动，但不保证能描述常应变状态,6,C0型单元簇插值函数构造,7,2Lagrange单元簇,8,2.1一维Lagrange多项式,n次多项式在n+1个点上都等于1,Kroneckerdalta,9,单元的节点参数中只包含场函数的节点值的0型单元称为Lagrange单元,对于具有n个节点的一维单元，如果他的包含场函数的节点值，则单元的场函数可插值表示为:,2.1Lagrange单元,10,2020年6月,10,2.2二维Lagrange多项式,对所有的点沿着两个编号，设第i个点对应的编号为(I,J)，其对应的插值函数为：,11,2020年6月,11,2.2二维Lagrange多项式,几种常用的Lagrange单元：,若m=n，其对应的Pascal三角形为菱形：,三次完全多项式很多寄生项,12,2020年6月,12,2.3三维Lagrange多项式,13,2.4Lagrange单元的特点,优点：满足协调性，形式统一，使用简单缺点：二维、三维情形有大量内部节点，增加自由度高阶多项式拟合性差,14,令,由形函数性质,划线法(试凑法):采用经过除了本节点外的其他节点的直线方程的左部的函数积来构造插值函数N，这个方法的本质还是Lagerange插值法。,矩形单元的形函数矩阵构造,2.5划线法,15,同理,有,2.5划线法,对于点可设:,16,三角单元中特殊部位的面积坐标值,L1=0,L2=0,L3=0,P,L2=b,L3=c,L1=a,1）三角形顶点1相似的L1=1，其余的L2=L3=0；,2）三角形所对底边上的L1=0;(1,2,3),3)平行于1所对底边的n-n直线,其L1=kn/k=常量.,4)三角形中某点P的面积坐标可由通过P点平行于三角形底边直线的面积坐标来决定.,L1=1,(a,b,c),2六节点三角形单元的形函数构造,L3-1/2=0,L1-1/2=0,L2-1/2=0,(1/2,0,1/2),(1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),L1-1/2=0,L2-1/2=0,(1/2,0,1/2),(1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2),(1,0,0),(0,0,1),2.5划线法,17,对于点可设:,对于4点可设:,2.5划线法,18,3Serendipity单元簇,19,3.1一些Serendipity单元的插值函数,20,3.1一些Serendipity单元的插值函数,21,3.1一些Serendipity单元的插值函数,22,使之有完全四次多项式,插值函数的构造：凑or有规律,3.1一些Serendipity单元的插值函数,23,3.2Serendipity单元插值函数的构造变节点数法,(1)构造角节点的插值函数：双线性乘积，暂时保证在本节点处为1,在其余角节点处为0,24,(2)构造边中节点的插值函数：某个方向的一次项与另一个方向的Lagrange多项式的乘积。保证在本节点处为1,在其余所有节点处为0，但在单元内部不为0。若没有中心点(单元内），由此构造的插值函数为最终的结果。如有单元中心点，则需对边中节点修正.,?,3.2Serendipity单元插值函数的构造变节点数法,25,(3)使角节点的插值函数在边中点处等于0,3.2Serendipity单元插值函数的构造变节点数法,26,2020年6月,26,位移函数的特点(边上节点为p+1个)：一个方向一次乘以另一个方向的p次Lagrange多项式在Pascal三角形中的分布,最多只能形成三次完全多项式增加完全多项式阶次的方法：增加内部节点,3.2Serendipity单元插值函数的构造变节点数法,27,若单元包含内部节点，插值函数的构造方法：,1)构造角节点的插值函数（不考虑其它节点）,2)构造边节点的插值函数（不考虑内部节点）,3)构造内部节点的插值函数,6)修正角节点插值函数，使之在边节点等于0,这种方法适用于缺少内部节点和任意边节点的单元，缺少某个节点时，只需将相应的插值函数置0.,4)修正边节点插值函数，使之在内部节点等于0,5)修正角节点插值函数，使之在内部节点等于0,3.2Serendipity单元插值函数的构造变节点数法,28,3.3例：带内部节点的三次平面单元的插值函数,(1)构造角节点的插值函数,29,(2)构造边节点的插值函数,例：带内部节点的三次平面单元的插值函数,30,(3)构造内部节点的插值函数,内部节点最终的插值函数求解方法：1）Lagrange插值公式）划线/面法,例：带内部节点的三次平面单元的插值函数,31,(4)修正边节点插值函数,?,例：带内部节点的三次平面单元的插值函数,32,(5)修正角节点插值函数,比较划线法与变节点数法结果?,例：带内部节点的三次平面单元的插值函数,33,附：49节点平面单元的插值函数表,34,4三角形单元簇,35,2020年6月,35,4.1.一般公式,显然N1=L1N2=L2N3=L3,36,4.1一般公式,37,4.1一般公式,38,4.2例：三次三角形单元的插值函数,39,例：三次三角形单元的插值函数,40,对应的Pascal三角形这种形式的三角形单元的插值多项式总是完备的，并且,插值多项式之和共有10个系数，而它却在10个节点处等于1，故可推出它恒等于1,例：三次三角形单元的插值函数,41,5三维单元的插值函数,42,5.1六面体的Serendipity簇,43,(1)不考虑边中节点和内部节点的角节点插值函数,(2)不考虑内部节点的边中节点插值函数,5.1六面体的Serendipity簇,44,(3)内部节点的插值函数,(4)修正边中节点的插值函数,5.1六面体的Serendipity簇,45,(5)修正角节点的插值函数,若某个节点不存在，则去掉相应的项,5.1六面体的Serendipity簇,46,5.2六面体的Lagrange簇,3节曾经介绍,47,5.3四面体单元,对M次单元，一节点有四个与之对应的编号(I,J,K,P),其原理与平面的三角形单元完全类似，最后得到的仍是完全m次多项式,48,5.4三棱柱单元,方法：平面内用面积坐标L1,