工程图学：点、直线和平面的投影

第3章点、直线和平面的投影,3.1点在三面体系中的投影,3.2直线的投影,3.3直线上的点,3.4一般位置线段的实长及对投影面的倾角,3.5两直线的相对位置,3.6直角的投影,3.8平面上的点和直线,3.7平面的投影,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,一、点在一个投影面上的投影,a,3.1点在三面体系中的投影,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,V,X,O,水平投影面H正面投影面V投影轴OX,1.两投影面体系的建立,二.点在两个投影面上的投影,A,a,a,O,X,y,V,H,z,点A的水平投影a点A的正面投影a,2.两投影面体系中点的投影,点的两个投影能唯一确定点的空间位置,A,a,a,o,y,V,H,z,a,ax,X,H,V,O,a,a,ax,z,y,3.点的两面投影图的画法,不动,点的两面投影图是将空间点向两个投影面作正影后将两个面展开后得到的。展开时，规定V面不动，H面向下旋转90。用投影图来表示空间点，其实质是在平面上用点在两个不同投影面上的投影来表示空间位置。,4.点在两面体系中的投影规律,（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴aaOX（2）点的投影到投影轴的距离等于该点到相邻投影面的距离，即aax=Aa,aax=Aa,O,a,a,ax,X,三.点在三投影面体系中的投影,1.投影面体系建立,正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴V面与H面的交线,OZ轴V面与W面的交线,OY轴H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,2.空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,3.投影面展开,（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，aaOX（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，aaOZ（3）点的水平投影a到OX轴的距离等于侧面投影a到OZ轴的距离，即aax=aaz,V,H,W,a,a,a,Y,O,V,H,W,A,a,a,a,O,X,YH,Z,YW,aX,az,ay,ay,4.点的直角坐标与三面投影的关系,Aa=aaz=aay=Oax=XAa=aax=aaz=Oay=YAa=aax=aay=Oaz=Z,投影面上的点：点的一个坐标为零，有一个投影与点本身重合，另两个投影分别在投影轴上。投影轴上的点：点的两个坐标为零，有两个投影与点本身重合，另一投影与原点重合。,5.特殊位置点的三面投影,Y,O,V,H,W,A,a,a,a,X,Bb,C,b,b,Cc,C,W,V,H,Z,a,a,X,Y,Y,O,b,b,C,b,z,c,C,V,H,W,a,a,a,Y,O,V,H,W,A,a,a,a,O,X,YH,Z,YW,X=Xa-XbY=Ya-YbZ=Za-Zb,B,b,b,b,b,b,b,两点的相对位置由两点在左右、前后、上下三方向的坐标差即对投影面的距离差来确定。若已知两点的相对位置及其中一点的投影，即能作出另一点的投影。,6.两点的相对位置,两点中x值大的点在左两点中y值大的点在前两点中z值大的点在上,O,V,H,W,A,a,a,a,B,b,b,b,Y,X,Z,点A在点B的左方点A在点B的下方点A在点B的前方,若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面上的重影点。由于投影产生重影，则存在可见性的判别。从上向下看，Z坐标大的为可见；从前向后看，Y坐标大的为可见；从左向右看，X坐标大的为可见。其投影的可见性判别原则是：上遮下，前遮后，左遮有右。,6.重影点及其可见性判别,V,H,例1：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,例2：已知点A的投影，点B在点A之左10，之上20，之前20。点C在点B的正后方8，求其投影。,a,a,a,b,b(c),b,20,10,20,8,c,c,一、直线的分类,按直线与投影面的相对位置分为三类七种：,3.2直线的投影,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,1.一般位置直线的三面投影,Z,Y,A,B,X,YH,YW,O,Z,a,b,a,b,b,a,一般位置直线的投影特征:三面投影都小于本身的实长；、在三投影面上都不反映真实大小,直线和它在在平面上的投影之间所成的锐角称为该直线对该平面的倾角。对H、V、W所成的倾角分别用、表示,二、直线的投影,直线投影的基本作图方法：求出两端点的投影，将同面投影相连。,2.投影面的平行线的三面投影,投影面平行线的投影特征：1）直线在与其所平行的投影面上的投影反映该直线的实长，同时还反映该直线与另两个投影面之间的真实倾角。,V,H,W,X,Y,Z,2）直线的其余两个投影均分别平行于相应的投影轴，该两投影与相应投影轴之间的距离即为该直线与相应投影面之间的距离。,3.投影面垂直线,凡垂直于某一投影面,同时平行于另两个投影面的直线称为投影面的垂直线。其中：,垂直于正投影面（V面）的称为正垂线；垂直于水平投影面（H面）的称为铅垂线；垂直于侧投影面（W面）的称为侧垂线；,投影面垂直线的投影特征为：1)直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚为一点。该积聚投影与相应投影轴间的距离即为直线与相应投影面间的距离。,V,X,Y,a(b),2)直线的其余两个投影均垂直于相应的投影轴且反映该直线的实长。,一般位置直线,1.直线上点的两个重要投影特性：（1）从属性:直线上的点，其各个投影必在该直线的同面投影上。,3.3直线上的点,（2）定比性:直线上的点分割线段成定比，其各个投影亦分成相同的比例。,解：方法一先求出直线的侧面投影，再根据直线上的点的投影特征求出k。,方法二使用定比性。,直线和直线的相对位置,【例1】已知直线DE的正面投影和水平投影及线上K点的正面投影k,试求出K点的水平投影,a,b,a,b,C,c,X,O,【例2】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点的两面投影。,X,Yh,Yw,Z,O,b,c,a,a,c,b,例3：判别点C是否在直线AB上,分析：因为所给直线AB及点C位于平行于侧面的同一平面内，不管点C是否在AB上，都有cab,cab的关系。为此，必须根据第三投影或利用点分线段之比投影后不变的性质来判别。,由上述的两种判别方法可知，点C不在AB上。,（1）迹点的定义：直线与投影面的交点,（2）迹点的分类：水平迹点（M）、正面迹点（N）和侧面迹点（S）。,2.直线的迹点,由于迹点是属于投影面的点，故有一个坐标为0，它的一个投影必在投影轴上；但迹点又是直线上的点，它的投影必在直线的同面投影上，据此即可从直线的投影图中定出各个迹点。由于迹点M在H面上，其Z坐标为0，故正面投影m，必在OX轴上，水平投影m与M本身重合。由于M点在直线AB上，所以mab,mab。,由此得出求水平迹点的方法：（1）延长直线的正面投影ab,与OX轴相交得m；（2）由m定出m，则m和m为所求水平迹点M的两投影。同理可求得正面迹点N。,3.4一般位置直线的实长及对投影面的倾角,|zA-zB|,B,A,b,a,a,b,b,a,b,a,C,b,a,b,a,于是，可得到三个求一般位置直线的实长及与投影面夹角的直角三角形，这三个直角三角形的组成情况如下：（1）H面投影，Z坐标差，斜边为实长，夹角为。（2）V面投影，Y坐标差，斜边为实长，夹角为。（3）W面投影，X坐标差，斜边为实长，夹角为。不难看出，每个直角三角形含有四个要素，若知其中任意两个，则此直角三角形便完全确定，由此可求出另两个要素。凡涉及此四要素的问题均可用此法来解决。,x,o,a,b,a,b,ab,实长,LBC,c,c,LBC,例题已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L,例题：试过点S（s,s）作实长为L的直线，它与H，V面的夹角分别为和，并说明此问题有解的条件。解：由直角三角形法可知，已知线段的实长和倾角，即可求得另两个要素：即投影长度和坐标差。根据本题所给的条件，即可作出此直线的两面投影。首先利用实长及角，求出水平投影长度和Z坐标差Z。然后用同样的方法利用实长及角求出直线的正面投影长度和Y坐标差为y。,s,s,A0,y,L,cd,ab,c,a,b,d,在直角三角形sA0a0和soa0中，sa0为公共边，且直角边sA0=sa大于直角边so,所以，但=900-，即得900-，或+900，无解。,a0,o,3-5两直线的相对位置,一、平行两直线二、相交两直线三、交叉两直线四、交叉两直线的可见性,一、平行二直线,1、两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。2、平行两线段之比等于其投影之比。,注意：要判别两条一般位置直线是否平行，只需看它们的任意两面投影是否平行即可，当直线为某投影面平行线时，应检查在其平行投影面上的投影是否平行。,例求作如图所示物体截平ABCDEF面的三视图,应运用直线上的点和两直线平行的投影特性来作图,a,b,c,d,e,f,a,b,d,c,e,f,a,b,c,d,e,f,两直线相交,二、相交二直线,两直线相交的投影特征是：两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线,交点的连线垂直于相应的投影轴。,例判断两直线是否相交,解：(1)画出第三面投影，按两直线相交的投影特征进行判定。,1d,1c,解：(2)使用定比分割原理。,三、交叉两直线,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,投影特征：其同面投影不会同时平行，其同面投影可能相交，但交点的连线不垂直于相应的投影轴。,判别两重影点其积聚性投影的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之为不可见。不可见点的投影用括号表示。,三、交叉两直线重影点投影的的可见性判断,例不用第三面投影试判定直线AB和CD是平行还是交叉。,O,X,a,b,a,b,d,c,c,d,交叉,x,o,e,e,例：试判别已知直线AB，CD，AE两两之间的相对位置,d,a,c,b,a,b,c,d,因为它们有公共点A,所以AB与AE相交。,AC与BD的交点的投影连线不垂直于OX轴，即此四点不共面，所以AB与CD交叉,AE与CD交叉,例求作直线MN与已知直线AB，CD相交且平行于已知直线EF。,m,n,m,n,直线CD的水平投影积聚为一点c(d),故CD为铅垂线。由于所求直线MN与CD相交，故其交点N的水平投影也必积聚于点c(d)。又所求直线MNEF，且与AB相交。故可过点c(d)作mnef交ab于m,由m找到m,过m作mnef交cd于n，则mn,mn为所求直线MN的两面投影。,3-6直角的投影,一、垂直相交的两直线的投影定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。二、交叉垂直的两直线的投影定理三：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四：两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设直角边BC/H面因BCAB,同时BCBb所以BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即abc为直角,因此bcab,故bcABba平面,又因BCbc,证明：,一、垂直相交的两直线的投影,试判定两直线是（1）相交（2）垂直相交（3）交叉？,a,b,c,d,a,b,c,d,O,X,相交,b,a,O,O,c,a,b,b,c,a,c,a,a,c,b,b,三对相交直线中，由于各有一条平行于某一投影面的直线。且在所平行的投影面上的投影夹角为90，故根据直角投影定理可知，这三对直线在空间都是垂直相交的。,二、交叉垂直的两直线的投影,AB垂直于MN,且AB平行于H面,则有abmn,例：试求点A到直线BC的距离,a,a,b,c,b,c,o,x,k,k,ak的长度,距离,k0,分析：由于所给直线BC为正平线，故根据直角投影定理，自点A向BC作垂线，得垂足为K。然后利用直角三角形法求出AK的实长即为所求的距离。,例试完成矩形ABCD的两面投影，已知矩形BC为水平线，其顶点A在直线FG上,分析：BC为水平线，是所求矩形的一条边。另一边ABBC，且点A在FG上。于是可根据直角投影定理作出AB边，且交FG于点A，则边AB被定出。然后根据矩形对边平行且相等的性质即可作出矩形。,a,d,a,d,例过点A作EF线段的垂线AB。,直线AB与EF的位置关系？,3-7平面的投影,物体是由各种不同形状的表面组成的，平面是基本几何元素，也是构成物体表面的基本要素。同前面分析直线的投影类似，讨论平面的分类方法以及各种位置平面的投影特点，是为准确绘制物体的投影图提供必要理论基础。作平面的投影图仍然是以点的投影为基础，只是要多找一些点。,一、平面的表示法二、平面的投影三、各种位置平面的投影特性,（a）,(b),(c),(d),(e),不在同一直线上的三点,一直线和线外一点,两相交直线,两平行直线,任意的平面图形,一、平面的表示法,1、用几何元素表示平面,迹线是平面与投影面的交线,PV,2、平面的迹线表示法,PX,PY,PZ,V,H,W,PX,PYH,PYW,PZ,Z,o,X,PX,PY,PV,V,H,P,o,N1,N2,M1,M2,A,B,C,PH,迹线的求取,m1,m1,a,b,c,n1,a,b,c,m2,m2,n1,n2,n2,PH,PV,V,H,P,二、平面的投影,(1),(2),(3),平面对一个投影面的投影特性,平面对于三投影面体系的位置分类,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,三、各种不同位置平面的投影特征,(1)一般位置平面的投影特性,为侧垂面,为一般位置平面,为一般位置平面,为水平面,例物体上平面投影分析,s,(2)投影面垂直面的投影特性,H,例物体上垂直面投影分析,投影面垂直面的投影特性：在平面所垂直的投影面上，其投影积聚成一倾斜直线；其余两个投影均为缩小的类似形。,主视图投影方向,(3)投影面平行面的投影特性,例物体上平行面的投影分析,投影面平行面的投影特性：在平面所平行的投影面上，其投影反映实形；其余两个投影积聚成直线且分别平行于相应的投影轴。,主视图投影方向,思考：投影面的平行面与投影面的垂直面有何区别？,C,b,a,读上图,Q1,R,S,3-8平面上的点和直线,点在平面上的条件：点在平面上，则该点在此平面的一条直线上。也就是说，如果点在平面内的某直线上，则点必在该平面上。（取点先取线）,一、平面上的点,举例,例设在四棱台前侧面BCED上有一点A。已知它的水平投影a，求正面投影a。,b,举例,例试判断A,B,C,D四点是否位于同一个平面上,b,a,c,d,a,b,c,d,e,e,A,B,C,D四点不在同一平面上,直线在平面上的条件（1）过平面上的两个已知点；（取线先取点）（2）过平面上的一个已知点，且平行于该平面上任一已知直线。,二、平面上的直线,例已知三角形ABC的两面投影及该平面上的直线MN的正面投影,求作MN的水平投影。,E,F,e,f,续上例,例在平面上作正平线和水平线,b,c,a,b,b,a,a,b,a,(c),例过一般位置直线作正垂面几何元素表示法,c,(c),例过一般位置直线作铅垂面几何元素表示法,a,b,a,b,b,a,例过一般位置直线作投影面的垂直面（迹线表示法）,属于平面且平行于投影面的直线称为平面上的投影面平行线。它可分为三种：平面上的水平线（H面）、正平线（V面）、侧平线（W面）。,一般位置平面P上的投影面平行线，平行于该平面的相应迹线（如正平线ABPV，水平线CDPH）。他们的方向代表了平面对投影面的倾斜方向。,三、平面上的投影面平行线,P,PV,PH,V,H,属于平面的正平线和水平线,例题1在ABC平面上过点C作正平线CD，过点A作水平线AD。,分析：必须首先抓住其投影特性，确定先画什么。后画什么。正平线CD的投影特性是水平投影平行于OX轴，抓住这一特征即可作图。同理作水平线。,a,a,b,c,d,c,d,b,d,d,o,X,例题在ABC平面上找点K使之在H面之上15mm，在V面之前28mm。,分析：在平面上取定点K，所作的平面上的投影面平行线是一条与所平行的投影面等距的直线。因此，所求点K位于平面上距H面为15的一条水平线上，又位于距V面28的一条正平线上，于是所求点K为平面上这两条直线的交点。在实际作图时，只须作出水平线，然后在该水平线上取位于距V面为28的点K即可。而不必作出正平线。,a,a,b,c,c,b,15,28,e,f,e,f,k,k,平面上垂直于该平面的的投影面平行线的直线称为该平面的最大斜度线,平面上对某投影面倾角最大的直线，它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上投影面的平行线垂直。,四、平面上的最大斜度线,平面上垂直于该平面上的水平线的直线称为对H面的最大斜度线平面上垂直于该平面上的正平线