控制系统的数学模型 1

2-2线性系统的输入输出传递函数描述,2-3非线性数学模型的线性化,2-4典型环节的数学模型,第二章线性系统的数学模型,2-1线性系统的输入输出时间函数描述,2-5建立数学模型的实验方法简介,2-6框图及其化简方法,2-7信号流程图,数学模型：,描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间相互关系的数学表达式。,有了数学模型，就可以应用一定的数学方法对系统的性能进行定性分析和定量计算，乃至对系统进行综合和校正。,对线性定常系统，微分方程是最基本的数学模型，最常用的数学模型是在此基础上转换来的传递函数和动态结构图。,建立数学模型的方法有机理分析法和实验辨识法两种。,2-1线性系统的输入输出时间函数描述,线性系统微分方程的编写步骤：,1.确定系统或环节的输入量和输出量，选取必要的中间变量。,2.从输入端开始，根据决定各变量之间相互关系的物理、化学等定律，一一写出相关变量的微分（或代数）方程式。,3.消去中间变量，写出只含有系统输入和输出变量的微分方程。,4.将结果标准化，即含输出量的项写在等式左边，含输入量的项写在等式右边，且都按微分的高阶到低阶排列。其形式为：,把代入，并进行整理得：,解：(1)确定输入输出量和中间变量,R,C,i,例1：写出图示一阶RC电路的微分方程。,这是一个线性定常一阶微分方程。,(2)列写微分方程,(3)消去中间变量,并进行整理得：,解：(1)确定输入输出量,例2：写出二阶RC网络的微分方程。,这是一个线性定常二阶微分方程。,(2)列写微分方程,(3)消去中间变量,令R1C1=T1，R2C2=T2，R1C2=T3。,消去中间变量可得：,问题：,例2：写出二阶RC网络的微分方程。,显然，这个结果是错误的。这是为什么呢？,这是一个两级的RC网络，能否先写出两个单级RC网络的微分方程，再消去中间变量，从而得到整个网络的微分方程呢？,我们来试一下，由上例结果可得：,在列写电路的微分方程时，必须考虑到后级电路是否对前级电路产生影响。,这种后一级对前一级的影响称为负载效应。,例2中，只有当后级R2C2网络的输入阻抗很大时，对前级的影响才可以忽略不计。,把代入，并进行整理得：,解：(1)确定输入输出量,例3：写出RLC串联电路的微分方程。,这是一个线性定常二阶微分方程。,(2)列写微分方程,(3)消去中间变量,解：画出小车受力图。,例4：求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。K为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数，忽略小车与地面的摩擦，试写出以外力F为输入，以位移y为输出的系统微分方程。,阻尼器阻力为,由牛顿运动定律，有,弹簧力为,该系统微分方程为：,例5,解：电枢回路方程为,当外加额定励磁时，有：,反电势,电磁力矩,其中Ce称为电动机电势常数，Cm称为电动机转矩系数。,电动机的运动方程式：,ML为电动机轴上的反向力矩（包括负载、摩擦等）J为电动机整个旋转部分的总转动惯量。,图为直流他励电动机，试写出以电枢电压为输入量，电动机旋转角速度为输出量的微分方程。,以上各式联立，消去中间变量、及，即可得到：,电动机空载时，ML=0，则：,这是一个线性定常二阶微分方程。,这些都是线性定常二阶微分方程，即这些系统具有相同形式的数学模型。,此类物理性质不同，但具有相同数学模型的系统称为相似系统，在微分方程中对应相同位置的物理量称为相似量。,二阶RC网络：,RLC串联电路：,弹簧-阻尼-质量系统：,电枢控制式直流电动机：,相似系统中的相似量,微分方程是描述线性系统的一种基本的数学模型，在确定的初始条件和输入信号作用下，通过对微分方程的求解，便可得到系统的输出响应，从而分析评价系统的性能，研究系统参数的变化对性能的影响。,但是高阶微分方程的求解是比较困难的，而且分析系统的结构参数对性能的影响也十分不便。所以对系统进行分析和设计时，通常采用另外一种数学模型传递函数。,2-2线性系统的输入输出传递函数描述,传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：,不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。,了解系统参数或结构变化对系统动态过程的影响分析,可以把对系统性能的要求转化为对传递函数的要求综合,由微分方程转换为传递函数的数学工具是拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。,一、复习拉氏变换,一个函数存在拉氏变换的条件是：,（1）当t0时，f(t)=0；,（2）当t0时，f(t)分段连续；,（3）当t时，f(t)的上升较est慢。,我们在自动控制系统中遇到的函数大多满足以上条件。,拉氏变换是一种单值变换。f(t)和F(s)之间具有一一对应关系。,它的拉氏变换为：,即单位阶跃函数的拉氏变换为,例：求单位阶跃函数的拉氏变换。,拉氏变换的象函数与原函数是一一对应的，所以通常可以通过查表来求取象函数。,2.性质：,(1)线性性质,(2)微分定理,(2)微分定理,则,在零初始条件下，,上式表明：在初始条件为零的前提下，原函数的n阶导数的拉氏变换等于其象函数乘以sn。利用这个定理就可以将微分运算转换为代数运算。,(3)积分定理,则,上式表明：在零初始条件下，原函数的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以sn。,(4)初值定理,上式表明：原函数f(t)在t=0时的数值（初始值），可以通过将象函数F(s)乘以s后，再求s的极限求得。,(5)终值定理,上式表明：原函数f(t)在t时的数值（稳态值），可以通过将象函数F(s)乘以s后，再求s0的极限求得。,（6）延迟定理：,（7）位移定理：,（8）相似定理：,（9）卷积定理：,3.拉氏反变换,由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。,拉氏变换的象函数与原函数是一一对应的，所以通常可以通过查表来求取原函数。,1.传递函数的定义,线性定常系统的传递函数是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记为：,二、传递函数的概念,设线性定常系统的微分方程为：,在零初始条件下，对上式进行拉氏变换得：,传递函数：,2.传递函数的性质,传递函数的概念只适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。,传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。,传递函数仅描述系统在零初始条件下输入和输出之间的关系，不反映系统内部中间变量如何传递。,物理性质不同的系统可以具有相同的传递函数；而在同一系统中，取不同的物理量作为输入或输出时，传递函数是不同的。,传递函数是s的有理分式，分母多项式称为系统的特征多项式。一个实际的即物理上可以实现的线性集总参数对象，总有分子的阶次m小于或等于分母的阶次n。此时称为n阶系统。,3.传递函数的几种表达形式,表示为有理分式形式：,式中：为实常数，一般nm上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。,表示成零点、极点形式：,将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项式，然后在复数范围内因式分解，得：,分别称为时间常数，K称为放大系数,显然：，,表示成时间常数形式：,将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项式，然后在复数范围内因式分解，得,从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最基本的一些形式。,式中：,或：,或在实数范围内因式分解，得,4.单位脉冲响应,且,单位脉冲函数的拉氏变换：,当系统输入信号为(t)时，系统的输出响应称为脉冲响应，用g(t)表示。,4.单位脉冲响应,可见，脉冲响应函数g(t)的拉氏变换就是传递函数。,脉冲响应,即：,由卷积定理知：c(t)=g(t)*r(t),所以，线性定常系统的传递函数和脉冲响应函数包含了关于系统动态特性的相同信息。通过用脉冲输入信号激励系统并测量系统的响应，能够获得有关系统动态特性的全部信息。即脉冲响应也可作为系统的数学模型。实际上，与数值较大的系统时间常数相比，持续时间很短的脉动输入信号可以看作脉冲输入信号。,2-3非线性数学模型的线性化,严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的如：弹簧的刚度与其形变有关，弹性系数K与位移x有关，且非常值；电阻、电容、电感等值也与周围环境及经过它们的电流有关；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素也存在。,常用两种处理方法：忽略不计取常值切线法或小偏差法,切线法或小偏差法特别适用于具有连续变化的非线性特性函数，其本质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。数学上的处理是取其泰勒展开式的线性项。,例：发电机励磁特性,工作原理,数学模型：非线性,。改变励磁来改变电压,。励磁电流只在A点附近有微小的变化,。正常工作在“额定”状态（A）,线性化U(t)=K*i(t)K=Const,过A作切线在内近似程度最好,在线性化处理时要注意以下几点：,（1）线性化方程中的参数（如上面的K1,K2）与选择的工作点有关，工作点不同相应的参数也不同。因此处理时，首先应确定工作点。,（2）当输入量变化较大时，用上述方法处理误差较大，注意信号变化要在小范围内。,（3）如系统在工作点处的非线性是不连续的，其泰勒级数不收敛，这时上述方法不能用，这种非线性称为本质非线性。,（4）线性化以后得到的微分方程，是增量微分方程。有时为了简化方程，略去增量的表示符号。,通常接触到的自动控制系统都可以看成由这些典型环节组合而成。,2-4典型环节的数学模型,从每个元件或设备的动态特性或数学模型来看，可以分成为数不多的几种基本类型，称它们为典型环节。,不管元件是机械式的、电气式的、热力式的、气力式的、液力式的或其他形式的，只要它们的数学模型一样，就认为它们是同一种基本环节。,特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化。,微分方程：,框图：,传递函数：,阶跃响应：,K放大系数，又称增益,1.比例环节,实例：,利用“虚短”、“虚断”的概念，可得：,另外，分压器、齿轮减速器等都是自控系统中常见的比例环节。,进行拉氏变换：,传递函数：,特点：输出量延缓地反应输入量的变化规律。当输入信号为阶跃函数时，输出响应按指数曲线上升。,微分方程：,框图：,传递函数：,阶跃响应：,T惯性时间常数,2.惯性环节,实例：,利用运算阻抗的概念：,传递函数：,利用“虚短”、“虚断”的概念，可得：,利用运算阻抗的概念及电路定律：,特点：输出量与输入量对时间的积分成正比。,微分方程：,框图：,传递函数：,阶跃响应：,T积分时间常数,3.积分环节,实例：,利用运算阻抗的概念：,传递函数：,利用“虚短”、“虚断”的概念，可得：,电动机（忽略惯性和摩擦）,可见，为比例环节，为积分环节。,图中，为转角，为角速度。,特点：输出量与输入量对时间的微分成正比。,微分方程：,框图：,传递函数：,阶跃响应：,t微分时间常数,4.微分环节,（1）理想微分环节,单位阶跃响应为t=0+时的一面积为t，宽度为0，幅值为无穷大的理想脉冲。显然，这在实际中是不能实现的。,实例：,利用运算阻抗的概念：,传递函数：,利用“虚短”、“虚断”的概念，可得：,测速发电机（忽略磁滞、涡流和电枢反应的影响）,可见，为理想微分环节。,图中，为转角，为角速度。,该环节可视为理想微分环节和惯性环节的串联组合。,传递函数：,t、T均为时间常数,（2）实用微分环节,当T远小于1时，上式可近似为G(s)s。,实例：,利用运算阻抗的概念：,传递函数：,利用运算阻抗的概念及电路定律：,传递函数：,t微分时间常数K放大系数,（3）一阶微分环节(比例微分环节),实例：,利用运算阻抗的概念：,传递函数：,利用“虚短”、“虚断”的概念，可得：,实例：,利用运算阻抗的概念：,传递函数：,利用运算阻抗的概念及电路定律：,为输入量，为输出量,微分方程：,传递函数：,5.振荡环节,令，,则,阶跃响应：,为输入量，为输出量,实例：,微分方程：,传递函数：,微分方程：,框图：,传递函数：,阶跃响应：,6.延迟环节(纯滞后环节、迟滞环节),在实际的控制工程中，有许多系统具有传递滞后的特征，特别是液压、气动和机械传动系统。,对于计算机控制系统，由于计算机进行数学运算需要一定时间，因此这类系统也有控制滞后的特征。,上述六种典型环节是按数学模型的特征来划分的，因此，它们与系统中的部件不一定能完全相对应。即一个部件的传递函数可以由若干个典型环节的传递函数所组成；反之，若干个部件传递函数的组合，有可能用一个典型环节的传递函数来表示。,通常自动控制系统均可看成各种典型环节的组合。,2-5建立数学模型的实验方法简介,通过机理分析法去建立被控对象的数学模型有诸多局限性，因此通过实验测试被控对象动态性能去建立数学模型就成为一种较为常见的建模方法。,自动控制系统是由被控对象、控制环节和反馈环节三个基本部分组成。通常所说的建立控制系统的数学模型，首要的就是建立被控对象的数学模型。只有在被控对象的数学模型确定后，才能根据预期的性能要求及限制条件去选择某种控制环节和反馈环节，从而构建出能够达到目标的控制系统。,用实验的方法确定被控对象的数学模型时，涉及到两个主要问题：一是如何选择和确定恰当的输入激励信号。原则是既要选择能够较为容易取得的典型信号，同时又要使被测对象在此输入信号激励后所检测到的响应便于数据处理而获得数学模型。二是从检测得到的对象输出端的响应到获得数学模型的数据处理方法应该简单实用且能满足一定的精度要求。,用实验的方法去确定被控对象的数学模型，通常是在被控对象的输入端施加一适当的激励信号，同时在被控对象的输出端检测出其响应（即动态特性）。然后将实验所得通过某种处理，得到被控对象的数学模型。此时得到的数学模型即是被控对象的输入输出描述，不涉及其内部结构和机理。,1.时域测定法在输入端施加阶跃信号或脉冲信号，在输出端检测出被激励后的响应，然后对所得阶跃响应或脉冲响应进行数据处理，以获得相应的数学模型。2.频域测定法在输入端施加不同频率的正弦信号，同时检测输出端在不同频率时的响应，然后经过数据处理以确定被控对象的数学模型。3.统计相关测定法在输入端施加某种典型的随机信号，然后根据各参量的变化，采用统计相关法确定被控对象的动态特性和数学模型。,根据输入激励信号不同，目前主要有三种实验方法：,2-6框图及其化简方法,对于控制系统中的每个元件（环节），都可以用框图来表示它的功能和信号流向，即把元件的传递函数写在方框内，指向方框的箭头表示输入，从方框出来的箭头表示输出。,按照信号传递关系，从输入量到输出量依次把各个元件（环节）的方框连接起来，就组成了系统的动态结构图（框图）。,一、框图的概念（方块图、结构图）,框图是描述系统的又一种数学模型。框图不仅直观地表示了系统中各环节间的关系和信号的传递过程，而且通过变换的方法可以比较方便地求出系统的传递函数。,1.综合点（相加点）,2.引出点（分支点）,在框图中会用到以下两个概念：,每个箭头上的“+”、“-”表示信号是相加还是相减，进行相加减的量应具有相同的量纲。,引出点引出信号后，不改变原来的信号。,1.根据系统的结构及工作原理把系统分解为若干环节，确定各环节的输入输出量，写出各环节的传递函数。如果某些环节之间存在负载效应，则必须把这些元件合并为一个环节。,2.绘制各环节的框图。,二、绘制系统框图的步骤,3.按照信号的传递方向，把各个方框依次连接起来，即可得到系统的框图。,解：,例2.绘制图示二阶RC网络的结构图。,解：,例2.绘制图示二阶RC网络的结构图。,另解：,拉氏变换：,拉氏变换：,拉氏变换：,同一系统可以有形式不同的框图。但系统的传递函数是唯一的。,三、框图的等效变换和化简,框图等效变换的基本原则：,变换前后各变量间的数学关系保持不变。,系统中的各环节有串联、并联和反馈三种基本的连接方法。,（一）环节组合的等效变换,1.串联连接,依此类推，可得：n个环节串联，等效传递函数为各环节传递函数的乘积，即：,2.并联连接,依此类推，可得：n个环节并联，等效传递函数为各环节传递函数的代数和，即：,3.反馈连接,推导：,等效传递函数：,如果上述三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动某些信号的综合点和引出点。,（二）综合点和引出点的移动,等效变换的原则：,1.变换前后前向通道中传递函数的乘积保持不变。2.变换前后回路中传递函数的乘积保持不变。,1.综合点的移动：把综合点从环节的输入端移到输出端（后移）,把综合点从环节的输出端移到输入端（前移）,2.引出点的移动：引出点从环节的输入端移到输出端（后移）,引出点从环节的输出端移到输入端（前移）,注意：相邻的信号综合点位置可以互换,同一信号的引出点位置可以互换,综合点和引出点在一般情况下，不能互换。,所以，一般情况下，综合点向综合点移动，引出点向引出点移动。,作用分解,解：首先通过移动综合点消除交错。,然后按反馈连接的法则从内层到外层依次求解，得：,例：闭环控制系统的典型结构图如下图所示，求系统的输出C(s)。,（1）给定输入单独作用下：,输出量为：,令，则有：,（2）扰动输入单独作用下：,输出对扰动的传递函数为：,输出为：,令R(s)=0,结构图如下：,(3）给定输入和扰动输入同时作用下,输出：,提示：各个传递函数都具有相同的分母多项式，称为控制系统的特征多项式。,根据线性叠加原理：,例.,解：(1)在给定输入R(s)单独作用下，令N(s)=0，则,例.,(2)在扰动输入N(s)单独作用下，令R(s)=0，则,通过移动综合点消除交错：,(3)在两种输入共同作用下,输出：,2-7信号流程图,一、信号流图的常用术语：节点：用以表示变量或信号的点称为节点，用“o”表示。传输：两节点间的增益或传递函数称为传输。支路：连接两节点并标有信号流向的定向线段，支路的增益即为传输。源点：又称源节点，只有输出支路而无输入支路的节点，与系统的输入信号相对应。,阱点：只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输出节点或汇节点，与输出信号相对应。混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。通道：沿支路箭头所指方向经过多个节点的路径。开通道：如果通道从某节点开始，终止在另一节点上，且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为开通道。闭通道：如果通道的终点就是通道的起点，而与任何其它节点相交次