自动控制-08a非线性控制系统分析

,控制系统在不同程度上都存在着非线性。有些系统可通过在工作点附近线性化来处理，但当系统包含有本质非线性特性时，就不能用线性化的方法处理。非线性系统与线性系统有本质的差别，非线性系统不满足叠加原理，它的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件与输入信号有关。,第8章非线性控制系统分析,内容提要,在前面各章中，我们讨论了线性系统各方面的问题。但是，理想的线性系统是不存在的。实际的物理系统，由于其组成元件在不同程度上具有非线性特性，严格地讲，都是非线性系统。当系统的非线性程度不严重时，在某一范围内或某些条件下可以视为线性系统，采用线性方法进行研究是有实际意义的。但是，如果系统的非线性程度比较严重，采用线性方法往往会导致错误的结论。因此，必须对非线性系统进行专门的探讨。,81非线性控制系统概述,1.研究非线性控制理论的意义,2.非线性系统的特征与线性系统相比较非线性系统具有一些显著的特点：线性系统的稳定性和零输入响应的性质只决定于系统本身的结构和参数，而和系统的初始条件无关。然而非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统本身的结构和元件特性而且与系统的初始条件有关。对于同一结构和参数的系统，可能出现在较小初始值时系统稳定，但在较大初始值时系统不稳定的情况，也可能相反。因而对非线性系统，不能笼统地讲系统是否稳定。,对于线性系统而言，只有两种基本的运动形式即发散和收敛。只有当系统处于稳定的临界状态时，才会出现等幅振荡但这一运动形式是不能持久的。系统参数稍有细微的变化，这一临界状态就不能继续，而会转化为发散或收敛。然而在非线性系统中，除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，往往也会发生具有一定振幅和频率的振荡，称为自持振荡，又称自激振荡。在有的非线性系统中，还可能产生几种振幅和频率都不相同的自持振荡。,(3)在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位上不问，因此可以用频率特性来表示系统的固有特性。但是在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，其周期与输入信号相同。有时还会出现跳跃谐振、倍频和分频振荡等现象。,(4)从分析方法上看，线性系统用线性微分方程来描述，可以应用叠加原理。用典型信号对系统分析的结果，一般也适用于其他情况。而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。在实际上遇到非本质的非线性系统时，常常采用小偏差线性化方法处理。对于本质非线性特性，有时采用分段线性化方法或其他近似方法。应该指出，研究非线性系统并不一定都要求解其暂态过程，通常讨论的重点是系统是否稳定；会不会产生自持振荡，如会产生，其振幅和频率为多少；如何消除自持振荡等。,在工程实际上应用的分析非线性系统的方法中，描述函数法和相平面法是应用较为广泛的。相平面法是一种时域分析法，它保留非线性特性，而将高阶的线性部分近似地化为二阶来进行分析。描述函数法是一种频域分析法，它保留线性部分，而对非线性环节进行谐波线性化分析。它们采用的近似方法是互相补充的。此外还有逆系统法。,3.非线性系统的分析与设计方法,1.基本概念,82常见非线性特性及其对系统运动的影响,静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单的。,一个单输入单输出静态非线性特性的数学描述为：,定义非线性环节输出与输入的比值为等效增益K：,继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性,继电特性有双位特性如附图1（a）和（b），三位特性如附图1（c）等。当然，不限于继电器，其它装置如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等。分析继电特性有十分重要的意义，因为采用继电器、电磁阀等元件的的控制系统比比皆是，例如大多数家用电冰箱、空调就是继电器控制系统。,2.常见非线性因素对系统特性的影响,(1).继电特性,附图1几种典型的继电特性,图1（a）所示继电特性的数学描述为：,图（c）所示继电特性的数学描述为：,不灵敏区又称死区常见于测量、放大元件中，其特点是当输入信号在零值附近的某一小范围之内时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时，才有输出信号。执行机构中的静摩擦的影响往往也可用死区来表示。死区特性如附图2所示。控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳差，而测量元件死区的影响尤为显著。摩擦死区会造成系统低速运动的不均匀，导致随动系统不能准确地跟踪目标。,(2)死区特性,附图2死区特性,死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成的。实际的死区特性一般如附图2中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用附图2中的三段直线（实线）来近似，并称之为理想死区特性。理想型死区特性的的数学描述为：,死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力。,饱和也是一种常见的非线性，在铁磁元件及各种放大器中都可遇到，其特点是，当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号而变化，将保持某一常数值(附图3)。饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性做信号限幅。,(3)饱和特性,附图3,传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性特性，齿轮传动是典型的间隙特性，附图4表示齿轮传动原理，附图4（b）表示主动轮位移与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动态、稳态特性都不利。一般来说，它会使系统稳态误差增大，相角滞后增大，影响动态特性。,(4)间隙特性,式中，K为等效增益。,附图4间隙特性,相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先提出的，本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为相平面，方程组的解在相平面上的图象称为相轨迹。本章将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。,83相平面法,因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的，所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力，但是，如果我们将相平面概念推广到到抽象空间，就得到三维状态空间。下面讨论相平面和相轨迹的基本概念。,考察二阶非线性时不变微分方程:,1.相平面的基本概念,为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组:,上述微分方程组有两个变量:x可以看作广义位移，可以看作广义速度。一般，直接对微分方程（8-15）求解，可以得到该系统的时间解x(t),还可以作出x(t)与t的关系图时间响应曲线。,如果我们对上述微分方程组1求解，可以得到解x(t)和,如果我们取x和为坐标，以时间t为参变量,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面上的一点，当t变化时，这一点在平面上绘出的曲线，表征了系统的运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。,附例1考虑二阶系统：将它写成微分方程组：,两式相除得到：,即：,两边积分得:,在相平面上绘出的相轨迹如附图5(a)所示椭圆，如果取遍所有的初始值，就会得到无数一环套一环的椭圆称为相轨迹场，相轨迹场布满了整个相平面，相轨迹场从全局上展示了动态系统的运动过程，图（a）只绘出了相轨迹场中的2根相轨迹。当xo=0时，响应曲线如图（b）。,附图5附例1的相轨迹与时间响应,例81某弹簧质量运动系统如图811所示，图中m为物体质量，K为弹簧的弹性系数，若初始条件为试确定系统自由运动的相轨迹。,解：描述系统自由运动的微分方程为,2.相轨迹图,绘制相轨迹图有多种办法，概括起来有如下几类：第一类：手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的素描，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而随手画出的草图，它虽然在具体细节上缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。,第二类：手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如等倾线法、法等。这些手工作图法要绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的，如今已没有多大实用价值。第三类：计算机绘制精确图。借助计算机数值解法以及SIMULINK等软件绘制相轨迹图。,相轨迹的基本特征有：,1）奇点,对于二阶系统，相平面上满足的点叫做奇点，记作。对照方程组（8*1）知，奇点座标是代数方程的解。,对于二阶系统，和就是速度和加速度均为零，也就意味着不再运动，所以，奇点又称平衡点。相平面上任何其它点，都叫普通点。奇点又分稳定奇点和不稳定奇点。,奇点处的斜率不确定。,线性微分方程的一般形式为,则,求奇点，令和,得奇点坐标为：,即为坐标原点。下面根据取值的不同，介绍几种性质不同的奇点。,1中心点,当时，原方程变为，若定义初始条件，可得特征方程的一对纯虚根,得通解,则,2稳定焦点,当时，系统特征根是一对具有负实部的共轭复根，收敛于平衡点的周期性衰减振荡。,3稳定节点,当时，系统特征根是两个负实根，对应收敛于平衡点的非周期衰减。,4不稳定焦点,当时，系统特征根是一对具有负实部的共轭复根，对应发散的振荡。,5不稳定节点,当时，系统特征根是两个正实根，对应非周期的发散。,6鞍点,当线性微分方程的一般形式为,相当于正反馈系统的情况，系统的特征根为一正一负两个实根，对应非周期发散。,2）奇线,当非线性系统存在多个奇点时，整个系统的相轨迹就取决于多个奇点的共同作用，会产生特殊的相轨迹，这类相轨迹叫奇线。最常见的奇线是极限环。,1稳定极限环：相轨迹卷入，自持振荡。,2不稳定极限环：相轨迹卷离，小偏差稳定，大偏差不稳定。,3半稳定极限环：两种情况，内部卷入外部卷离，或内部卷离外部卷入。小偏差等幅振荡，大偏差不稳定；小偏差稳定，大偏差等幅振荡。,3）相轨迹切线斜率,由方程组（8*1）知，相轨迹上任一点的切线斜率为：某点的切线斜率就是相轨迹通过该点的运动方向，前面提到的等倾线就是相轨迹场上所有切线斜率等于某一常数的点的连线。,4)相轨迹的性质：,1,2,3,相轨迹与x轴相交时，斜率无穷大，相轨迹与x轴正交。,研究线性系统相轨迹的意义主要在两个方面：一是许多非线性特性可以近似为分段线性的，如死区特性、饱和特性、继电特性等，而分段线性系统的相轨迹可以由几段线性系统的相轨迹连接而成；二是大多数非线性系统在奇点附近的相轨迹，与其在奇点附近的线性化系统的相轨迹十分接近。,3.线性系统的相轨迹,(1).线性一阶系统的相轨迹,描述线性一阶系统自由运动的微分方程为：,其中，为常数。将它写成微分方程组：,假如用下列二阶微分方程描述二阶线性系统：,(2).线性二阶系统的相轨迹,容易求出奇点为:,可见，当且时，奇点为座标原点（0，0），当且时的奇点为轴上的点，当时奇点为整个轴。上述二阶系统的特征根为：,显然，当参数取不同值时，特征根在根平面上的分布也不同，响应曲线和相轨迹的形态也不同。,4.非线性系统的相平面分析,非线性系统相平面分析的关键是绘出相轨迹图，有了相轨迹图，我们就可以得到系统稳定性、稳定域、振型、稳态误差等方面的结论。我们也可以绘出不同初始条件、不同输入、不同系统参数所对应的相轨迹图，研究其中的规律。我们还可以绘出加进某种校正环节后的相轨迹图，研究非线性系统的校正。当然，相平面分析是有局限性的，比如参数的改变只能取几个离散值，校正环节不能使系统阶次高于2阶等等。本节主要讨论具有几种典型非线性特性的控制系统。,附图7具有分离结构的非线性系统,系统的结构如附图7所示，其显著特点是：系统具有静态非线性环节和动态线性环节的分离结构，且静态非线性环节是分段线性的，动态线性环节为一阶或二阶。,(1)具有死区特性的非线性系统,分析附图7所示非线性系统的具体方法是：先将静态非线性特性分为几个线性段，划分出每段对应的相平面分区；然后在每个分区按线性系统绘出相轨迹；最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线性系统的相轨迹。,附图7中，如果非线性特性为死区特性，线性部分的方程为：联列上述两式得到整个系统的数学模型为：,在阶跃输入作用下，因为,系统的分区域方程简化为：,代入初始条件可作出相轨迹曲线。图829。,系统结构如图,(2)具有继电特性的非线性系统,附图7具有分离结构的非线性系统,如果非线性特性为带滞环的继电特性，按继电特性表达式将相平面划分为3个区域，当时该系统的数学模型为：,整个系统的相轨迹场如附图8。这里，又看到了非线性系统的特殊现象极限环。极限环是一条封闭曲线，它是一些相轨迹的极限，属于奇线。,附图8具有继