第二章-控制系统状态空间表达式的解

第二章控制系统状态空间表达式的解,概述(1/4),概述建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。定性分析主要包括研究系统的结构性质,如能控性、能观性、稳定性等。,概述(2/4),本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题,即状态空间模型-状态方程和输出方程的求解问题。根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程组,通常是很容易的。可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易事。状态转移矩阵的引入,从而使得定常系统和时变系统的求解公式具有一个统一的形式。为此,本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法,并在此基础上导出状态方程的求解公式。,概述(3/4),本章讨论的另一个中心问题是连续系统状态方程的离散化,即建立连续系统的离散系统状态方程。随着计算机在控制系统分析、设计和实时控制中的广泛应用,这个问题显得越来越重要。在离散系统状态方程建立的基础上,本章也将讨论相应的状态方程求解问题,并将导出在形式上与连续系统状态方程的解一致的离散系统状态方程的解。,概述(4/4),本章需解决的问题:线性定常连续系统状态方程的解理论基本概念:状态转移矩阵状态转移矩阵和矩阵指数函数eAt的性质和计算如何将线性定常连续系统离散化线性定常离散系统状态方程的解理论,线性定常连续系统状态方程的解(1/3),本节需解决的主要问题状态转移矩阵?矩阵指数函数？状态转移矩阵和矩阵指数函数的性质齐次状态方程的求解?非齐次状态方程的求解?非齐次状态方程解的各部分的意义？输出方程的解？,重点喔!,重点与难点喔!,要理解喔!,2.1线性定常连续系统状态方程的解,线性定常连续系统状态方程的解(2/3),在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用,状态方程解对输入具有非齐次性。研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。,线性定常连续系统状态方程的解(3/3),下面,将依次分别讨论:齐次状态方程的解线性定常连续系统的状态转移矩阵线性定常连续系统非齐次状态方程的解,线性定常齐次状态方程的解(1/2),2.1.1线性定常齐次状态方程的解什么是微分方程的齐次方程?齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程x=Ax齐次状态方程满足初始状态,的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强迫项(无外力)时的自由运动。,线性定常齐次状态方程的解(2/2),对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有级数展开法和拉氏变换法2种。,级数展开法(1/5),1.级数展开法在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程在初始时刻t0=0的解。该方程中x(t)为标量变量,a为常数。由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有式中,qk(k=1,2,.)为待定级数展开系数。,级数展开法(2/5),将所设解代入该微分方程,可得如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得令x(t)的解表达式中t=0,可确定q0=x(0)因此,x(t)的解表达式可写为,级数展开法(3/5),上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态方程的解。为此,设其解为t的向量幂级数,即x(t)=q0+q1t+q2t2+qktk+式中,qk(k=1,2,.)为待定级数展开系数向量。将所设解代入该向量状态方程x=Ax,可得q1+2q2t+3q3t2+kqktk-1+=A(q0+q1t+q2t2+qktk+)如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得,级数展开法(4/5),若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0,则可确定q0=x(0)=x0因此,状态x(t)的解可写为该方程右边括号里的展开式是nn维矩阵函数。由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所以称为矩阵指数函数,且记为,级数展开法(5/5),利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写为：x(t)=eAtx0,拉氏变换法(1/9),2拉氏变换法若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。对该齐次状态方程x=Ax,设初始时刻t0=0且初始状态x(0)=x0,对方程两边取拉氏变换,可得sX(s)-x0=AX(s)于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为X(s)=(sI-A)-1x0,拉氏变换法(2/9),对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为x(t)=L-1(sI-A)-1x0下面讨论如何求解拉氏反变换L-1(sI-A)-1。主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中。对标量函数,我们有,拉氏变换法(3/9),将上述关系式推广到矩阵函数则有,其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有,拉氏变换法(4/9),因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换,该齐次方程的解为x(t)=L-1(sI-A)-1x0=eAtx0上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结果一致。若初始时刻t00,对上述齐次状态方程的解作坐标变换,则可得解的另一种表述形式:,状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数和初始状态x(t0)所决定。,拉氏变换法(5/9),为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下:(t)=eAt因此,有如下关系式x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0)由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状态转移矩阵有如下关系(t)=L-1(sI-A)-1,拉氏变换法(6/9),齐次状态方程的解描述了线性定常连续系统的自由运动。由解的表达式可以看出,系统自由运动的轨线是由从初始时刻的初始状态到t时刻的状态的转移刻划的,如图2-1所示。,图2-1状态转移特性,拉氏变换法(7/9),当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状态转移矩阵所决定。所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。,拉氏变换法(8/9)例2-1,解(1)首先求出矩阵指数函数eAt,其计算过程为,例2-1试求如下状态方程在初始状态x0下的解,拉氏变换法(9/9)例2-1,(3)状态方程的解为,(2)计算矩阵指数函数eAt。,线性定常连续系统的状态转移矩阵(1/1),2.1.2线性定常连续系统的状态转移矩阵下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为:基本定义矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的计算,基本定义(1/5)状态转移矩阵的定义,1.基本定义定义2-1对于线性定常连续系统x=Ax,当初始时刻t0=0时,满足如下矩阵微分方程和初始条件:(t)=A(t),(t)|t=0=I的解(t)为线性定常连续系统x=Ax的状态转移矩阵。这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状态转移矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等,使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描述，更好地刻划系统状态运动变化的规律。,基本定义(2/5)几类特殊形式的状态转移矩阵,当系统矩阵A为nn维方阵时,状态转移矩阵(t)亦为nn维方阵,且其元素为时间t的函数。下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵1)对角线矩阵。当A为如下对角线矩阵:A=diag12n则状态转移矩阵为式中，diag表示由括号内元素组成对角线矩阵。,基本定义(2/5)几类特殊形式的状态转移矩阵,证明：（通过矩阵指数函数展开式证明）,基本定义(3/5)几类特殊形式的状态转移矩阵,(2)A变换成对角阵,基本定义(3/5)几类特殊形式的状态转移矩阵,证明：（可以用展开式证明，也可以用下面方法）,基本定义(4/5)几类特殊形式的状态转移矩阵,(3)约旦块矩阵。当Ai为特征值为i的mimi维约旦块,则分块矩阵的矩阵指数函数为,基本定义(5/5)几类特殊形式的状态转移矩阵,(4),证明可以采用拉氏反变换法,矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/5),2.矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(t)为方阵A的状态转移矩阵)1)(0)=eA0=I2)eA(t+)=eAteA，(t+)=(t)(),矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(2/5),3)(t)-1=(-t),这个性质说明，状态转移矩阵的逆意味着时间的逆转。利用这个性质，可以在已知x(t)的情况下，求出小于t时刻的x(t0)，(t0t)。并且，从这个性质可以看出，状态转移矩阵(t)一定是非奇异的。4)对于nn阶的方阵A和B,下式仅当AB=BA时才成立e(A+B)t=eAteBt,矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(2/5),矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(3/5),5)6)(t)n=(nt)7)(t2-t1)(t1-t0)=(t2-t0),矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(4/5),由状态转移矩阵的意义,有x(t2)=(t2-t1)x(t1)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)有x(t2)=(t2-t0)x(t0),因此，性质(7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态转移等效为一步状态转移,如图2-2所示。,图2-2系统的状态转移,矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(5/5),例2-2求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵。解：对于该系统,在例2-1已求得状态转移矩阵为由于-1(t)=(-t),所以求得状态转移矩阵的逆矩阵为,状态转移矩阵的计算(1/1),3.状态转移矩阵的计算级数展开法将A阵对角化或者约旦标准型拉氏反变换法应用凯莱-哈密顿定理,4)应用凯莱哈密顿定理,由凯莱哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即：,可以看出，An是An1、An2、A和I的线性组合。,对于一个方阵A，其特征方程为：,应用凯莱-哈密顿定理(1/11),在状态转移矩阵(t)的定义式中，可以用上述方法消去A的n及n以上的幂次项，即可将eAt的无穷多项式表示为An1、An2、A和I的有限项表达式，但其系数为时间t的函数，即：,类推，An1、An2、是An1、An2、A和I的线性组合。,应用凯莱-哈密顿定理(2/11),例2-3：,求状态转移矩阵eAt表达式中的i(t)。,由凯莱哈密顿定理，有：,应用凯莱-哈密顿定理(3/11)例2-3,上例求i(t)，只是为了说明i(t)是时间t的函数；实际却不宜用这种方法计算i(t)，一则是得不到i(t)的解析表达式，二则是当A的维数较高时，将造成计算上的困难。,应用凯莱-哈密顿定理(4/11),当A的特征值互异时,应用凯莱-哈密顿定理(5/11),根据A满足自身特征方程式的定理，可知特征值和A是可以互换的，从而有：,证明,应用凯莱-哈密顿定理(6/11),当A的特征值均相同,上式对求导数，有：,上式再对求导数，有：,重复以上步骤，最后求(n-1)阶导数，有：,应用凯莱-哈密顿定理(7/11),写成矩阵形式：,从而可求得i(t)：,应用凯莱-哈密顿定理(8/11),求状态转移矩阵eAt。,1=-1，2=-2为互异根,应用凯莱-哈密顿定理(9/11)例2-4,例2-4：,求状态转移矩阵eAt。,可列出三个方程：,应用凯莱-哈密顿定理(10/11)例2-5,例2-5：,应用凯莱-哈密顿定理(11/11)例2-5,非齐次状态方程的解(1/2),2.1.3非齐次状态方程的解当线性定常连续系统具有输入作用时,其状态方程为如下非齐次状态方程:x=Ax+Bu该状态方程在初始状态,下的解,也就是由初始状态x(t0)和输入作用u(t)所引起的系统状态的运动轨迹。,非齐次状态方程的解(2/2),下面用两种求解常微分方程的方法直接求解法拉氏变换法讨论非齐次状态方程的解,以及解表达式的意义,直接求解法(1/3),1.直接求解法将状态方程x=Ax+Bu移项,可得x-Ax=Bu将上式两边左乘以e-At,则有e-Atx-Ax=e-AtBu即d(e-Atx)/dt=e-AtBu在区间t0,t内对上式积分,则有,直接求解法(2/3),上式便是非齐次状态方程的解。当t0=0时,解x(t)又可记为,即,因此,直接求解法(3/3),若用状态转移矩阵来表示,上述非齐次状态方程的解又可分别记为,拉氏变换法(1/2),2.拉氏变换法将该非齐次状态方程两边取拉氏变换,可得sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)即X(s)=(sI-A)-1x0+BU(s)其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有,上述求解的关键为等式右边第二项。,拉氏变换法(2/2),下面先回顾卷积积分的拉氏变换法则。两个拉氏变换的乘积是一个卷积分的拉氏变换，即：,结果与直接求解法完全相同。,对上述状态方程的求解式利用卷积分公式,则有,状态方程解的意义(1/1),3.状态方程解的意义由前面讨论的非齐次状态方程的解知,线性定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成。第一个部分是由初始状态所引起的自由运动,它是系统的初始状态对系统状态的转移的影响,与初始时刻后的输入无关,称为状态的零输入响应。第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动,其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积。因此,它与输入有关,与系统的初始状态无关,称为状态的零状态响应。,例2-5(1/2),例2-5已知线性定常系统为,试求系统在单位阶跃输入作用下,状态方程的解。解在例2-1中已求出状态转移矩阵(t)为,于是,系统状态方程在阶跃输入u(t)=1(t)下的解为,例2-5(2/2),线性时变连续系统状态方程的解(1/2),2.3线性时变连续系统状态方程的解严格说来,实际控制对象都是时变系统,其系统结构或参数随时间变化。如电机的温升导致电阻以及系统的数学模型变化;电子器件的老化使其特性也发生变化;火箭燃料的消耗导致其质量以及运动方程的参数的变化等。但是,由于时变系统的数学模型较复杂,且不易于系统分析、优化和控制,因此只要实际工程允许,都可将慢时变系统在一定范围内近似地作为定常系统处理。但对控制目标要求较高的高精度控制系统,需作为时变系统处理。,线性时变连续系统状态方程的解(2/2),下面将讨论线性时变连续系统状态方程的求解问题,依次讨论:时变系统状态方程解的特点线性时变连续系统齐次状态方程的解线性时变连续系统的状态转移矩阵非齐次状态方程的解状态转移矩阵的计算,采用分离变量法，将上式写成：,2.3.1时变系统状态方程解的特点,标量时变系统,时变系统状态方程解的特点(1/5),仿照定常系统齐次状态方程的求解公式，上式中的指数函数也可以表示为状态转移矩阵，不过这时状态转移矩阵不仅是时间t的函数，而且也是初始时刻t0的函数。,时变系统状态方程解的特点(2/5),能否直接运用标量微分方程的结果，使之有：,结论是，只有当A(t)和满足乘法可交换条件，上述关系才能成立。,向量时变系统,时变系统状态方程解的特点(3/5),将,展开成幂级数：,时变系统状态方程解的特点(4/5),将幂级数展开式两边左乘以A(t)：,比较这两个式子可以发现，要使：,成立，其充要条件是：,时变系统状态方程解的特点(5/5),其解为：,式中，(t,t0)类似于线性定常系统中的(t-t0)，它也是nn的非奇异方程，并满足如下的矩阵微分方程和初始条件：,尽管时变系统的自由解不能写出一个封闭的解析形式，但仍然能表示成状态转移的形式。,2.3.2线性时变齐次矩阵微分方程的解,线性时变齐次矩阵微分方程的解(1/2),证明:,将(t,t0)满足的初始条件代入：,和定常系统一样，也是初始状态的转移，故(t,t0)也称为时变系统的状态转移矩阵。,在一般情况下，只需将(t)或(t-t0)改为(t,t0)，则关于定常系统所得到的大部分结论，均可推广应用于线性时变系统。,线性时变齐次矩阵微分方程的解(2/2),状态转移矩阵的性质(1/2),2.3.3状态转移矩阵的性质1)(t,t)=I2)传递性(t2,t1)(t1,t0)=(t2,t0),证明,状态转移矩阵的性质(2/2),3)可逆性-1(t,t0)=(t0,t)证明由性质1)和2),有(t,t0)(t0,t)=(t,t)=I(t0,t)(t,t0)=(t0,t0)=I故-1(t,t0)=(t0,t)成立。,4),A(t)和(t,t0)一般是不能交换的。,线性时变系统非齐次状态方程的解(1/4),2.3.4线性时变系统非齐次状态方程的解当具有外加输入作用时,其状态方程为如下非齐次状态方程:x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)该状态方程在初始状态,下的解,线性时变系统非齐次状态方程的解(2/4),证明先设该非齐次状态方程的解为显然,有式中,(t)为待定函数。,线性时变系统非齐次状态方程的解(3/4),将所设的解代入该状态方程的左边,有将所设的解代入该非齐次状态方程的右边,有因此有即,线性时变系统非齐次状态方程的解(4/4),对上式两端积分,可得故该非齐次状态方程的解为当系统的状态空间模型中输出方程为y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)时,系统的输出为,尽管时变系统的状态转移矩阵(t,t0)和定常系统的(t-t0)或(t)在形式上和某些性质上有如上述类似之处。但究其本质而言，两者是有区别的：主要是(t-t0)或(t)仅仅是t和t0之差或t的函数，而(t,t0)则既是t的函数，也是t0的函数。,2.3.5状态转移矩阵的计算,状态转移矩阵的计算(1/10),状态转移矩阵的计算(2/10),对于线性时变连续系统,状态转移矩阵(t,t0)是如下矩阵微分方程和初始条件的解,它是一个nn维的关于时间变量t和t0的矩阵函数。为了求得状态转移矩阵(t,t0)的表达式,可在时间域内对该矩阵微分方程积分,即有,状态转移矩阵的计算(3/10),如果将上式中积分号内的(1,t0)再按上式展开,则有然后按此法继续迭代下去,并将各展开式代入上式,可得,状态转移矩阵的计算(4/10),于是,可得一个由无穷项之和组成的状态转移矩阵(t,t0),即上式就是线性时变连续系统的状态转移矩阵的计算公式，称为皮诺-贝克公式。在一般情况下,它不能写成封闭的解析形式。在实际应用此公式时,可按一定的精度要求,用数值积分计算方法去近似计算t1时刻的(t1,t0)的值。,状态转移矩阵的计算(5/10),当时变的系统矩阵A(t)满足如下条件时,时变系统的状态转移矩阵的解可以表示为的指数形式。也就是说,只有A(t)与A()d满足矩阵乘法的可交换条件时,上述指数表达形式的解才成立。,例2-6：有线性时变系统的状态方程为：,试计算状态转移矩阵(t,0),验证，不满足乘法可交换，故按皮诺-贝克公式计算：,状态转移矩阵的计算(6/10)例2-6,状态转移矩阵的计算(7/10)例2-6,状态转移矩阵的计算(8/10)例2-6,例2-7：有线性时变系统，其系统矩阵为：,求其(t,0),状态转移矩阵的计算(9/10)例2-7,满足乘法可交换条件，则：,状态转移矩阵的计算(10/10)例2-7,线性连续系统的时间离散化(1/5),2.4线性连续系统的时间离散化离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。整个系统工作于单一的离散状态。对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制造系统等。系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量，如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。,线性连续系统的时间离散化(2/5),对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组又有一阶差分方程组。为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。由此,提出了连续系统的离散化问题。在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制时,都会遇到离散化问题。,线性连续系统的时间离散化(3/5),图2-3所示为连续系统化为离散系统的系统框图。,图2-3连续系统离散化的实现,线性连续系统的时间离散化(4/5),线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采样方式和保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型,并建立起两者的各系数矩阵之间的关系式。为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足如下条件和假设。在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和输出变量的值保持不变。保持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号u(t)在采样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值,故有u(t)=u(kT)kTt(k+1)T,线性连续系统的时间离散化(5/5),采样周期T的选择满足香农(Shannon)采样定理,即采样频率2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。满足上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态空间模型。下面分别针对线性定常连续系统和线性时变连续系统讨论离散化问题。,线性定常连续系统的离散化(1/3),2.4.1线性定常连续系统的离散化本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立相应的线性定常离散系统的状态空间模型。主要讨论的问题为两种离散化方法:精确法和近似法,线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采样周期T下,将状态空间模型,线性定常连续系统的离散化(2/3),变换成离散系统的如下状态空间模型:,由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言,输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变,即C(T)=CD(T)=D离散化主要针对连续系统状态方程(A,B)如何通过采样周期T,变换成离散系统状态方程(G,H)。,在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态空间模型。下面介绍两种离散化方法:精确法、近似法。,线性定常连续系统的离散化(3/3),精确离散化方法(1/4),现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是,1.精确离散化方法所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散化方法,就是利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。连续系统的状态方程的求解公式如下:,精确离散化方法(2/4),考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有,将上式与线性定常离散系统的状态方程x(k+1)T)=G(T)x(kT)+H(T)u(kT)比较,可知两式对任意的x(kT)和u(kT)成立的条件为G(T)=(T)=eAT,对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为,上两式即为精确离散化法的计算式。,精确离散化方法(3/4)例2-8,解首先求出连续系统的状态转移矩阵:,例2-8试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程:,精确离散化方法(4/4)例2-8,根据精确法计算式有,于是该连续系统的离散化状态方程为,近似离散化方法(1/6),2.近似离散化方法所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指在采样周期较小,且对离散化的精度要求不高的情况下,用状态变量的差商代替微商来求得近似的差分方程。即,由于x(kT)=LimT0x(k+1)T)-x(kT)/T故当采样周期较小时,有x(kT)x(k+1)T)-x(kT)/T,近似离散化方法(2/6),将上式代入连续系统的状态方程,有x(k+1)T)-x(kT)/T=Ax(kT)+Bu(kT)即x(k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比较,则可得如下近似离散化的计算公式:G(T)=I+ATH(T)=BT将上述近似离散法和精确离散法比较知,由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。,近似离散化方法(3/6)例2-9,由上述推导过程可知,一般说来,采样周期T越小,则离散化精度越高。但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期T不宜太小。例3-9试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程:,解由近似离散化法计算公式,对本例有,近似离散化方法(4/6)例2-9,于是该连续系统的离散化状态方程为,近似离散化方法(5/6)例2-9,近似法的计算结果为,2.当T=0.001s时,精确法的计算结果为,对上述近似离散化法的精度可检验如下:1.当T=1s时,精确法的计算结果为,近似离散化方法(6/6)例2-9,近似法的计算结果为,从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。,线性时变连续系统的离散化(1/6),2.4.2线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定的采样周期T下,将连续系统的状态方程,变换成线性时变离散系统的如下状态方程:,线性时变连续系统的状态方程的离散化,就是利用时变系统的状态轨迹求解公式来进行离散化。由2.3节可知,连续系统状态方程的解可表示为:,线性时变连续系统的离散化(2/6),现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是,考虑到u(t)在采样周期内保持不变,所以有,线性时变连续系统的离散化(3/6),比较下述两式,可得线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下,线性时变连续系统的离散化(4/6)例2-10,例2-10试写出下列线性时变连续系统的离散化系统的状态方程。,解先求该系统的转移矩阵函数为,线性时变连续系统的离散化(5/6)例2-10,因此,由上述离散化计算公式，可分别计算,线性时变连续系统的离散化(6/6)例2-10,将上述计算所得的G(k)和H(k)代入,则求得离散化状态方程如下,离散时间系统状态方程的解(1/2),2.5离散时间系统状态方程的解本节研究线性定常离散系统方程的解,需解决的主要问题:状态转移矩阵状态转移矩阵的性质状态方程的求解状态方程解的各部分的意义,离散时间系统状态方程的解(2/2),线性定常离散时间系统的状态方程求解有递推法和Z变换法两种主要方法:Z变换法只能适用于线性定常离散系统,递推法可推广到时变系统和非线性系统。下面将分别讨论线性定常离散系统线性时变离散系统的状态空间模型求解。,线性定常离散系统状态方程的解(1/1),2.5.1线性定常离散系统状态方程的解下面介绍线性定常离散系统的状态方程求解的递推法和Z变换法。,递推法(1/10),1.递推法递推法亦称迭代法。用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)时,只需在状态方程中依次令k=0,1,2,从而有x(1)=Gx(0)+Hu(0)x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1)x(3)=Gx(2)+Hu(2)=G3x(0)+G2Hu(0)+GHu(1)+Hu(2),递推法(2/10),上述递推计算公式中的第2项为离散卷积,因此有如下另一形式的线性离散系统状态方程的解表达式,若给出初始状态x(0),即可递推算出x(1),x(2),x(3),重复以上步骤,可以得到如下线性离散系统状态方程的递推求解公式:,递推法(3/10),或,若初始时刻k0不为0,则上述状态方程的解可表达为:,递推法(4/10),与连续系统状态方程求解类似,对线性离散系统的状态方程求解,亦可引入状态转移矩阵。该状态转移矩阵是下列差分方程满足初始条件的解:(k+1)=G(k)(0)=I用递推法求解上述定义式,可得(k)=Gk因此,可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式:,递推法(5/10),比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式:连续系统,离散系统,初始状态的影响,初始时刻