机械制图工程图学第二章-点、直线、平面的投影

南京师范大学xws,1,第二章点、直线、平面的投影,2.1投影法2.2点的投影2.3直线的投影2.4平面的投影,南京师范大学xws,2,第二章点、直线、平面的投影,2.1投影法2.1.1投影的方法如图2-1，设光源S为投影中心,平面P为投影面,在光源S和平面P之间有一空间物体ABC，从光源S发出一束光线投射到ABC上任一点A的直线SA称为投射线，投射线SA与投影面的交点a称为A在投影面上的投影。同理可作出物体ABC上包括B、C两点在投影面P上的投影b、c和ABC的投影abc。,图2-1投影的基本概念,南京师范大学xws,3,这种投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。,南京师范大学xws,4,2.1.2投影的分类,1)中心投影投影线都通过投影中心的投影方法称为中心投影法。2)平行投影投影线都互相平行的投影方法称为平行投影法。(1)斜投影投影线倾斜于投影面，如图2-2(a)。(2)正投影投影线垂直于投影面，也称直角投影，如图2-2(b)。,投影法按照投影线是否相交分为中心投影和平行投影两大类。,(a)斜投影法(b)正投影法图2-2平行投影,南京师范大学xws,5,正投影的优点：光线与投影面垂直，得到物体的投影能准确地表达物体的形状结构，且度量性好，作图方便，因此正投影在工程上得到了广泛的运用。机械图主要是用正投影法绘制的，所以正投影法是我们学习的主要内容。今后除特别说明外，所讲的投影均指正投影。,南京师范大学xws,6,2.2点的投影,2.2.1点的投影仅用一个投影面上的投影并不能唯一确定点的空间位置。,图2-3点的正投影,南京师范大学xws,7,1)点的三投影面体系的建立如图2-4(a)所示为一个三投影面体系。处于正面直立位置的投影面称为正投影面，（简称正面，用V表示）；处于水平位置的投影面称为水平投影面（简称水平面，用H表示）；处于侧立位置的投影面称为侧立投影面（简称侧面，用W表示）。,图2-4点的三投影面体系,南京师范大学xws,8,这样三个互相垂直的H、V、W面就组成了一个三投影面体系。三投影面之间的交线OX、OY、OZ称为投影轴，简称轴。H面、V面的交线称为X轴；H面、W面的交线称为Y轴；V面、W面的交线称为Z轴。如果把三个投影面看成坐标面，则互相垂直的三根投影轴即为坐标轴，三轴交点即为原点O，则形成了一个空间直角坐标系。,南京师范大学xws,9,2)点的投影规律从点的三面投影图上可以得出以下点的投影规律：aaOX（a和a反映同一x坐标）；aaOZ（a和a反映同一z坐标）；aax=aaz（a和a反映同一y坐标）。,南京师范大学xws,10,3)根据点的两个投影求其第三投影点的投影规律表明：点的两个投影反映了点的三个坐标，确定了点的空间位置，因此已知点的任意两个投影，总可以求出其第三投影，且唯一。,南京师范大学xws,11,【例1】已知A点的两个投影a和a，求a。分析：由于已知点A的正面投影a和水平投影a，则点的空间位置可确定，也即点A的三个坐标x、y、z都已知，根据点的投影规律，aaOZ，aax=aaz，作出其侧面投影a。,图2-5已知点的两投影求第三投影,南京师范大学xws,12,【例2】如图2-8(a)，已知点的三个坐标A（40、30、20），作点的三面投影。分析：已知点A的三个坐标，根据坐标作出三个投影。,(a)(b)图2-8已知点的三个坐标，作点的投影,南京师范大学xws,13,注意：用极轴方式可以画水平线、垂直线和指定角度的斜线。打开状态栏中的极轴按钮，右键单击极轴按钮，会出现光标菜单，选择【设置】选项，在【草图设置】对话框的【极轴追踪】选项卡中将极轴角设置中角增量选为30（或根据需要选择其它角度），然后单击确定按钮退出即可。,南京师范大学xws,14,【例3】已知A（20，15，30），B（30，10，0），作其投影图。,图2-9作A、B两点的三面投影,南京师范大学xws,15,4)两点的相对坐标点的投影既然能反映点的坐标，当然也能反映出两点的坐标差，即反映两点间的相对坐标。,图2-10两点的相对坐标,南京师范大学xws,16,通常X方向坐标差（x），反映两点的左右关系（X坐标大的视为左）；通常Y方向坐标差（y），反映两点的前后关系（Y坐标大的视为前）；通常Z方向坐标差（z），反映两点的上下关系（Z坐标大的视为上）；注意：点的Y坐标愈大，即离OX轴向下愈远，或离OZ轴向右愈远，代表愈靠前。,南京师范大学xws,17,【例4】已知B点的三个投影如图2-11(a)，A点在B点的上方18，前方20，右方20，求A点的三面投影。,（a）（b）（c）图2-11根据A点与B点相对位置作出A点的三面投影,分析已知点B的三投影，以及A点在B点的上方18，前方20，右方20。则A点的Z坐标比B点的Z坐标大18，A点的Y坐标比B点的Y坐标大20，A点的X坐标比B点的X坐标小20，分别在B点的V面投影b的上方量取18，得1，在B点的H面投影b的下方量取20，得1，分别在1和1的右方量取20得a和a，由a和a作出a。,南京师范大学xws,18,【例5】已知B点在A点正前方20，求作B的三面投影。如图2-12。,（a）（b）,（c）（d）图2-12已知B点在点A正前方20，求作B点投影,南京师范大学xws,19,分析已知B点在点A正前方20，则B点的X坐标和Z坐标都与A点相同，只是Y坐标比A点大20。注意：利用夹点拉伸直线时，为了保证精确拉伸，一般只在该线处于水平或垂直方向，且打开正交开关时进行。夹点还可以用来做移动、拉伸、旋转、复制等工作。,南京师范大学xws,20,2.3直线的投影,2.3.1直线的投影图求空间一直线的投影，一般在直线上任取两点（通常是取其中一线段的两个端点），将这两点分别向投影面投影，连接这两点的同面投影，即为该直线的投影。,(a)(b)(c)图2-13直线的投影,南京师范大学xws,21,2.3.2各类直线的投影特性直线相对于一投影面有三种位置：（1）直线平行于投影面，则直线在该投影面上的投影反映实长。（2）直线垂直于投影面，则直线在该投影面上的投影积聚成为一点。（3）直线倾斜于投影面，则直线在该投影面上的投影比实长小。,南京师范大学xws,22,投影面平行线在三投影面体系中只平行于一个投影面而与其它两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线,表2-1投影面平行线的投影及其投影特性,南京师范大学xws,23,正平线的投影特性：（1）正面投影ab为一斜线且反映实长，它与X轴的夹角反映直线对H面的倾角，与Z轴的夹角反映直线对W面的倾角；（2）水平投影abX轴，侧面投影abZ轴，且投影长度小于实长。,图2-14正平线AB的三面投影,南京师范大学xws,24,2）投影面垂直线在三投影面体系中，垂直于一个投影面与其它两个投影面都平行的直线称为投影面垂直线。垂直于V面的直线称为正垂线；垂直于H面的直线称为铅垂线；垂直于W面的直线称为侧垂线。,南京师范大学xws,25,(1)正面投影积聚为一点。(2)水平投影abOX轴，侧面投影abOZ轴(3)ab、ab均反映实长。,图2-15正垂线AB的三面投影,南京师范大学xws,26,表2-2投影面垂直线的投影及其投影特性,南京师范大学xws,27,3）一般位置直线如图2-13所示一般位置直线AB的三面投影，由于一般位置对三个投影面都是倾斜的，从图中可看出，一般位置直线的投影特性是：三个投影都是直线线段，且小于实长。,(a)(b)(c)图2-13直线的投影,南京师范大学xws,28,2.3.3直线上点的投影1）直线上点的投影直线上的点有以下投影特性。（1）点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上；反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一定在直线上。（2）点分割线段成定比。即直线上的点分割直线成两段，则两线段实长之比等于分割两线段的各个同面投影之比。,南京师范大学xws,29,【例1】如图2-17，已知AB线段的两面投影，求分AB为AC：CB=2：3的C点的投影。,图2-17求等分点C的投影,南京师范大学xws,30,注意：也可用定数等分命令来作直线的等分点。求作该题。首先设定点的样式：单击菜单中的【格式】/【点样式】命令，弹出【点样式】对话，如图2-7所示，在对话中选中“空心圆”样式，再在“点大小（S）”中设置点大小相对于屏幕尺寸为3%。然后按确定按钮。单击菜单中的【绘图】/【点】/【定数等分】命令。则命令提示行会出现：然后从ab的第二个等分点作X轴的垂线交ab于c。标注文字c、c。,南京师范大学xws,31,【例2】已知侧平线AB的两投影和其上S点的正面投影s，求水平投影s。方法一：先作出AB的侧面投影，再由直线上点的投影规律作出s和s，见图2-18。方法二：利用定比定律作出S点的两投影，见图2-19。,图2-18由点的三面投影规律求S点的水平投影,图2-19由定比定律求S点的水平投影,南京师范大学xws,32,2.3.4两直线的相对位置空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉（异面）。前两种称为同面直线，后一种称为异面直线。1)平行两直线平行两直线的所有同面投影必定相互平行，反之如果两直线在投影图上的各同面投影都互相平行，则两直线在空间也必定平行。且同面投影长度之比与二直线长度之比相同。,图2-20平行两直线的投影,南京师范大学xws,33,【例3】如图2-21（a），AB/CD，已知直线AB两投影ab、ab和c、d，完成CD的投影。,(a)(b)(c)图2-21完成CD的两面投影,南京师范大学xws,34,2）相交两直线相交两直线的各同面投影必相交，且两直线的各组同面投影的交点即为两相交直线交点的各个投影。且符合点的投影规律。反之，两直线在投影图上的各组同面投影都相交，且各组投影的交点符合空间一点的投影规律，则两直线在空间必定相交。,图2-22相交两直线的投影,南京师范大学xws,35,3）交叉两直线既不平行也不相交的两直线为交叉直线。交叉两直线的投影可能会有一组或二组是互相平行，但决不会三组同面投影都互相平行。,图2-23交叉两直线的投影（一）,南京师范大学xws,36,一般情况下，如在两个投影面上两直线的投影都相交，且交点符合点的投影规律，则两直线一定相交。但对于特殊位置的直线是相交两直线还是交叉两直线，有时不能通过两个投影面的投影直接判断，还需要作第三投影面的投影或通过定比定律来确定。如图2-25所示。,(a)(b)图2-24交叉两直线的投影（二）,图2-25判断两直线是否相交,南京师范大学xws,37,2.3.5垂直两直线的投影,两直线垂直（相交垂直或交叉垂直），其投影都不反映直角，但在特定条件下，投影反映直角。当相交两直线互相垂直（即成直角），且其中一条直线平行于某投影面时，则两条直线在该投影面中的投影必定互相垂直，即反映直角。,南京师范大学xws,38,反之，若两直线在同一投影面中的投影互相垂直（即成直角），且其中一条直线平行于该投影面，则两直线在空间必定互相垂直。此投影特性称为直角投影定理,(a)(b)图2-26一直线平行于投影面的垂直相交两直线的投影,南京师范大学xws,39,【例4】求AB、CD两直线的公垂线的投影（图2-27）,(a)(b)(c)图2-27求AB、CD的公垂线,分析：直线AB是铅垂线，CD是一般位置直线，所以它们的公垂线是一条水平线。,南京师范大学xws,40,【例5】已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线，菱形的一边AD位于直线AM上，求该菱形的投影。（图2-28）,(a)(b)(c)(d)图2-28求菱形的投影,分析：菱形的两对角线互相垂直，且其交点平分对角线的线段长度。,南京师范大学xws,41,2.4平面的投影,2.4.1平面的表示法1）用几何元素表示平面由几何学可知，不在同一直线上的三点可确定一个平面。从这个公理出发，在投影图上可以用下列任何一组几何元素的投影来表示平面的投影。如图2-29所示。,南京师范大学xws,42,(1)任意平面图形；(2)相交两直线；(3)一直线和直线外的点；(4)平行两直线；(5)不在一直线上的三点。,(a)(b)(c)(d)(e)图2-29平面的表示法及其投影图,南京师范大学xws,43,2）用迹线表示平面平面与投影面的交线，称为平面的迹线，也可以用迹线表示平面。,（a）(b)图2-30平面的表示法及其投影图,南京师范大学xws,44,2.4.2各类平面的投影特性,平行于投影面的平面，其投影反映实形。垂直于投影面的平面，投影积聚成一条直线。倾斜于投影面的平面，投影呈类似形。所谓类似形即在任何情况下平面与其投影的边数和边之间的平行关系不变。,南京师范大学xws,45,在三投影面体系中，平面有三种位置：投影面倾斜面对三个投影面都倾斜的平面；投影面垂直面只垂直于某一个投影面而对另外两个投影面倾斜的平面；投影面平行面平行于某一个投影面的平面。前一类平面称为一般位置平面，后两类称为特殊位置平面。一般情况下，平面投影多为类似形，因此画多边形平面的投影时，一般先画出其各顶点的投影，然后将它们的同面投影依次连接形成多边形,南京师范大学xws,46,1)一般位置平面如图2-31所示为一般位置平面SAB的投影,由于它对三个投影面都是倾斜的，因此一般位置平面的投影特性是：三个投影(sab、sab和sab)都是小于实形的类似形。,(a)(b)(c)图2-31一般位置平面的投影特性,南京师范大学xws,47,2）投影面垂直面在投影面垂直面中，垂直于正面的平面称为正垂面；垂直于水平面的平面称为铅垂面；垂直于侧面的平面称为侧垂面。,图2-32垂直面的投影特性,（1）水平投影p积聚为一斜直线，且反映平面P与V面的倾角及与W面的倾角。（2）正面投影p和侧面投影p均为类似形，小于实形。表2-3为各种投影面垂直面的投影特性。,南京师范大学xws,48,表2-3投影面垂直面的投影特性,南京师范大学xws,49,表2-4列出了处于三种投影面垂直面位置的迹线平面的立体图、投影图和投影特性。,南京师范大学xws,50,从表2-4可概括出处于投影面垂直面位置的迹线平面的投影特性：(1)在垂直的投影面上的迹线有积聚性；它与投影轴的夹角，分别反映平面对另外两投影面的真实倾角。(2)在另外两面三个投影面上的迹线，分别垂直于相应的投影轴。,南京师范大学xws,51,3）投影面平行面在投影面平行面中，平行于正面的平面称为正平面；平行于H面的平面称为水平面；平行于W面的平面称为侧平面。由于正面投影平行于正面，所以平面上所有点到V面的距离相等，也即所有点的Y坐标相等，则平面一定垂直于水平面和侧平面,南京师范大学xws,52,因此正平面的投影特性是：（1）正面投影反映实形；（2）水平投影平行于OX轴，侧面投影平行于OZ轴，且都有积聚性。,图2-33平行面的投影特性,南京师范大学xws,53,从表2-6可概括出处于投影面平行面位置的迹线平面的投影特性：(1)在平行的投影面上无迹线。(2)