高等数学课件-- 导数与微分.ppt

第一节导数的概念,第二节求导法则,第三节微分及其在近似计算中的作用,导数与微分,第一节导数的概念,一两个实例,四求导举例,二导数的概念,三可导与连续,一、两个实例,1.变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则到的平均速度为,而在时刻的瞬时速度为,自由落体运动,2.曲线的切线斜率,曲线,在M点处的切线,割线MN的极限位置MT,(当时),割线MN的斜率,切线MT的斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,二、导数的概念,定义1.设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,运动质点的位置函数,在时刻的瞬时速度,曲线,在M点处的切线斜率,说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.,若上述极限不存在,在点不可导.,若,也称,在,若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就说函数,就称函数在I内可导.,的导数为无穷大.,在点,的某个右邻域内,2.左右导数,若极限,则称此极限值为,在处的右导数,记作,即,(左),(左),定义2.设函数,有定义,存在,定理函数,在点,且,存在,简写为,定理3.函数,(左),(左),若函数,与,都存在,则称,在开区间内可导,在闭区间上可导.,可导的充分必要条件,是,且,3.导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与x轴平行,称为驻点;,若,切线与x轴垂直.,切线方程:,法线方程:,三、可导与连续,定理1.,证:,设,在点x处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点x连续.,注意:函数在点x连续未必可导.,反例:,在x=0处连续,但不可导.,即,*例3求函数y=c(c为常数)的导数.,解因为y=c为常数,所以,y=0,这就是说:常数的导数等于零.,即,例如:若y=8,则,四、求导举例,解,(sinx)=cosx.,(cosx)=-sinx.,*例4求函数y=sinx的导数.,即,同理可得,1,2,3步合并,解,即,(ex)=ex.,特别地,当a=e时,有,(ax)=axlna.,例5求函数y=ax(a0,a1)的导数.,(当x0时,与xlna是等价无穷小),1,2,3合并,*例6求函数y=lnx(x(0,)的导数.,解,即,同理可得,1,2,3合并,y=(x+x)3-x3=3x2x+3x(x)2+(x)3,解,3x2+3xx+(x)2,即,例8求函数y=x3的导数.,同理可得幂函数求导公式:,(a为任意实数),例9求下列函数在指定点处的导数:,(1),(2),解,(1)因为,所以,(2)因为,所以,思考题：,3.函数在某点处的导数,区别:,是函数,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系?,？,与导函数,小结,1.导数的概念:,2.可导与连续:,3.求导举例:,可导必定连续,连续不一定可导,4.已学过的导数公式,(sinx)=cosx.,(cosx)=-sinx.,(ex)=ex.,(ax)=axlna.,作业P602.3.6.7,谢谢同学们,一、函数的和、差、积、商的求导法则,二、复合函数的求导法则,四、初等函数的求导公式,三、反函数的求导法则,五、三个求导方法,六、高阶导数,第二节求导法则,第二节求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,例2.求证,证:,类似可证:,二、复合函数求导法则,证:,在点u可导,故,（当时),故有,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,解,对于复合函数的分解比较熟悉后,就不必再写出中间变量,而可以采用下列例题的方式来计算,例5.求下列导数:,解:(1),(2),(3),说明:类似可得,例6.设,求,解:,思考:若,存在,如何求,的导数?,练习:设,例7.设,解:,记,则,(反双曲正弦),的反函数,三、反函数的求导法则,三、反函数的求导法则,定理2.,y的某邻域内单调可导,证:,在x处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,例9.求反三角函数及指数函数的导数.,解:1)设,则,类似可求得,利用,则,2)设,则,小结:,解:,1.基本初等函数的导数公式,四、初等函数的求导公式,3复合函数的求导法则,2函数的和、差、积、商的求导法则,小结,.和，差，积，商求导法则,.复合函数求导法则,.反函数求导法则,.初等函数的求导公式,练习1电流电路中某点处的电流i是通过该点处的,求其电流函数i(t)？,(2)t=3时的电流是多少？,(3)什么时候电流为28？,电量q关于时间的瞬时变化率，如果一电路中的电量为,。,解,(1),(2),即当,练习2速度已知某物体做直线运动，路程(单位:m),解,物体运动的速度为,乘积的求导法则,时的速度？,R为的电路中的电压由下式给出：,解,电压V关于可变电阻R的变化率为：,商的求导法则,练习4制冷效果某电器厂在对冰箱制冷后断电,问冰箱温度T关于时间t的变化率是多少？,解,冰箱温度T关于时间t的变化率为,测试其制冷效果，t小时后冰箱的温度为,练习5并联电阻,当电流通过两个并联电阻r1,r2时，总电阻由下式给出：,求R关于r1的变化率，假定r2是常量.,解,由知，因为r2是常数，所以,练习6放射物的衰减,放射性元素碳-14（1g）的衰减由下式给出：,其中Q是t年后碳-14存余的数量(单位：g),问碳-14的衰减速度（单位：g/年）是多少？,解,碳-14的衰减速度v为,(g/年),复合函数的求导法则,案例7电阻中电流与电压的关系,解,因为,由,复合函数的求导法则,求电流i.,在电容器两端加正弦电流电压,从而可知，电容器上电流与电压有下列关系：,（1）电流i与电压U是同频率的正弦波；,（2）电流i比电压Uc相位提前,（3）电压峰值与电流峰值之比为,作业P6.(2)(3)(5)(6)(9)10.15.(2)(7)(11),谢谢同学们,五、三个求导方法,若由方程,可确定y是x的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,.隐函数求导方法:,两边对x求导,(含导数的方程),例12.求由方程,在x=0处的导数,解:方程两边对x求导,得,因x=0时y=0,故,确定的隐函数,例13.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对x求导,故切线方程为,即,例14.求,的导数.,解:两边取对数,化为隐式,两边对x求导,2.对数求导法,1)对幂指函数,可用对数求导法求导:,说明:,注意:,例14求,对x求导,两边取对数,的导数.,3.由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个y与x之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成x是y的函数),关系,不要求掌握,切线方程为:,例17.抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.,解:先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设为切线倾角,则,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出(即t=0)时,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,六、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或,的二阶导数,记作,的导数为,依次类推,分别记作,则称,(sinx)=cosx.,(cosx)=-sinx.,设,求,解:,依次类推,例19.,思考:设,问,可得,例20.设,求,解:,特别有:,解:,规定0!=1,思考:,例21.设,求,例22.设,求,解:,一般地,类似可证:,作业P6221.(1)24.(2)25.(2)27,谢谢同学们,一、微分的概念,二、微分的几何意义,三、微分的运算法则,四、微分在近似计算中的应用,第三节微分及其在近似计算中的作用,一、微分的概念,例1:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为x,面积为A,则,面积的增量为,关于x的线性主部,故,当x在,取,变到,边长由,其,的微分,定义:若函数,在点的增量可表示为,(A为不依赖于x的常数),则称函数,而称为,记作,即,定理:函数,在点可微的充要条件是,即,在点,可微,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,二微分的几何意义,当很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,三、微分的运算法则,设u(x),v(x)均可微,则,(C为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.复合函数的微分,则复合函数,基本初等函数的微分公式(见P57表),例9.,求,解:,例10.设,求,解:利用一阶微分形式不变性,有,例11.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意:数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性,例如,四、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式